2021-2022學(xué)年北京市朝陽區(qū)高二年級下冊學(xué)期數(shù)學(xué)期中測試數(shù)學(xué)試題解析版

2022北京人朝分校高二（下）期中

數(shù)學(xué)

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

只有一個選項(xiàng)符合題意）

1.（5分）己知物體的運(yùn)動方程為s=*+—Q是時間，s是位移），則物體在時?刻f=2時的

t

速度為（）

A19D17「15c13

A.—D.—C?—L）.—

4444

2.（5分）甲、乙、丙、丁4名同學(xué)和1名老師站成一排合影留念，要求老師必須站在中

間，則不同站法種數(shù)為（）

A.12B.24C.48D.120

3.（5分）某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x的數(shù)據(jù)

如下表：

年份20162017201820192020

年份代號X01234

年銷量y1015in3035

若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為g=6.5x+9,則表中機(jī)的

值為（）

A.22B.20C.30D.32.5

4.（5分）己知100個產(chǎn)品中，有83個產(chǎn)品長度合格，90個產(chǎn)品質(zhì)量合格，80個產(chǎn)品長度

和質(zhì)量都合格.現(xiàn)任取一個產(chǎn)品，若它的質(zhì)量合格，則它長度合格的概率為（）

八4D83八8c9

A.-D.C?-L）.—

5100910

5.（5分）若甲組樣本數(shù)據(jù)%,%，…，/（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2,方差為4,

乙組樣本數(shù)據(jù)34+4,3X2+4,…，3七+。的平均數(shù)為4,則下列說法錯誤的是（）

A.〃的值為-2

B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同

6.（5分）某市高三年級共有14000人參加教學(xué)質(zhì)量檢測，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績J近似服從正

態(tài)分布N（90,〃）（試卷滿分150分），且尸（￡.100）=0.3,據(jù)此可以估計，這次檢測數(shù)學(xué)成

績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)為()

A.2800B.4200C.5600D.7000

7.(5分)已知函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)尸(犬)，g，(x)圖象分別如圖所示，則關(guān)于函數(shù)

y=g(x)-/(x)的判斷正確的是()

B.有3個極小值點(diǎn)

C.有1個極大值點(diǎn)和2個極小值點(diǎn)

D.有2個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)

8.(5分)已知可導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+oo),且4")>f(x),若a>b>0,則(

)

A.bf(a)=af(b)

B.bf(a)<af(b)

C.bf(a)>af(b)

D.bf(a),af(b)的大小關(guān)系不能確定

9.(5分)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,

每次取1個球.甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球

的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的

數(shù)字之和是7"，貝“)

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

10.(5分)在下列函數(shù)①+1；②/(x)=/nr；③/(x)=sinx；④=中，

滿足在定義域內(nèi)r(Xo)(x-Xo)+“Xo).J(x)恒成立的函數(shù)個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：(本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上)

11.(5分)(2Y-亍)"的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則〃=,展開式中的常

數(shù)項(xiàng)為—.

12.(5分)下表記錄了某地區(qū)一年之內(nèi)的月降水量.

月份123456789101112

月降584853465656517156536466

水量

/mm

根據(jù)上述統(tǒng)計表，該地區(qū)月降水量的中位數(shù)是—；80%分位數(shù)是.

13.(5分)如圖為某校1000名高一學(xué)生的體育測試成績的頻率分布直方圖，如果要按照

分層抽樣方式抽取200名學(xué)生進(jìn)行分析，則要抽取的[80,90)之間的學(xué)生人數(shù)是—；估

計這1000名學(xué)生的體育測試平均成績?yōu)橐?

15.(5分)甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜

對的一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為9和1,且每

65

次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響.隨機(jī)變量X表示在3次活動中

甲獲勝的次數(shù)，則P(X..2)=；O(X)=.

16.(5分)記r(x),g[x)分別為函數(shù)。(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在滿足

/(Xo)=g(Xo)且/'(x())=g'(Xo)，則稱與為函數(shù)f(x)與g(x)的一個"S點(diǎn)已知"eR，函

數(shù)/(x)=znr2+?%與g(x)=/?%,給出下列四個結(jié)論:

①存在正數(shù)m,使得/(%)與g(x)恰有1個“S點(diǎn)”；

②存在正數(shù)〃?,使得/(x)與g(x)恰有2個“S點(diǎn)”；

③存在負(fù)數(shù)加，使得/(x)與g(x)恰有1個“S點(diǎn)”；

④存在負(fù)數(shù)m，使得/（x）與g（x）恰有2個“S點(diǎn)”.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

三、解答題：（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（14分）2018年8月16日，中共中央政治局常務(wù)委員會召開會議，聽取關(guān)于吉林長春

長生公司問題疫苗案件調(diào)查及有關(guān)問責(zé)情況的匯報，中共中央總書記習(xí)近平主持會議并發(fā)

表重要講話.會議強(qiáng)調(diào)，疫苗關(guān)系人民群眾健康，關(guān)系公共衛(wèi)生安全和國家安全.因此，

疫苗行業(yè)在生產(chǎn)、運(yùn)輸、儲存、使用等任何一個環(huán)節(jié)都容不得半點(diǎn)瑕疵.國家規(guī)定，疫苗

在上市前必須經(jīng)過嚴(yán)格的檢測，并通過臨床實(shí)驗(yàn)獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，以保證疫苗使用的安全和

有效.某生物制品研究所將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進(jìn)行科研和臨床實(shí)驗(yàn)，得到

統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

未感染病毒感染病毒總計

未注射疫苗40PX

注射疫苗60qy

總計100100200

現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到''感染病毒”的小白鼠的概率為？.

5

（I）求2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)p,q,x,y的值；

（II）能否有99.9%把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？請說明理由：

（III）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進(jìn)行病例分析，

然后從這五只小白鼠中隨機(jī)抽取3只對注射疫苗情況進(jìn)行核實(shí)，記X為3只中未注射疫苗

的小白鼠的只數(shù)，求X的分布列和期望.

n(ad-be)2

附：K2=tt=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.050.010.0050.001

P(K..ku)

3.8416.6357.87910.828

18.（13分）北京地鐵八通線西起四惠站，東至土橋站，全長18.964Am,共設(shè)13座車

站.目前八通線執(zhí)行2014年12月28日制訂的計價標(biāo)準(zhǔn)，各站間計程票價（單位：元）如

下:

四惠333344455555

四惠東33344455555

高碑店3334444555

傳媒大學(xué)333444455

雙橋33344444

管莊3333444

八里橋333344

通州北苑33333

果園3333

九棵樹333

梨園33

臨河里3

土橋

四惠四惠碑傳媒雙橋管莊八里通州果園九棵梨園臨河上橋

東店大學(xué)橋北苑樹里

(I)在13座車站中任選兩個不同的車站，求兩站間票價不足5元的概率；

(II)甲乙二人從四惠站上車乘坐八通線，各自任選另一站下車(二人可同站下車)，記甲

乙二人乘車購票花費(fèi)之和為X元，求X的分布列；

(III)若甲乙二人只乘坐八通線，甲從四惠站上車，任選另一站下車，記票價為g元；乙

從土橋站上車，任選另一站下車，記票價為/7元.試比較g和〃的方差。&和?！ù?/p>

小.(結(jié)論不需要證明)

19.(15分)已知函數(shù)/(彳)=一2?2如；+3￥2+04“€/?).

(I)當(dāng)。=1時，求曲線y=/(x)在(1,7(1))處的切線方程；

(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)當(dāng)。<0時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間口，e］上的最小值.

20.(14分)已知函數(shù)，(%)=知+(4-6)%—-(4,0).

(I)當(dāng)a=0時，求f(x)的最小值；

(H)證明：當(dāng)〃<0時，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

21.(14分)若數(shù)列｛見｝中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱｛%｝為“等比

源數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列｛4｝為4,3,1,2,數(shù)列｛a｝為1,2,6,24,分別判斷｛%｝,｛4｝是否為

”等比源數(shù)列”，并說明理由；

(2)已知數(shù)列｛c,J的通項(xiàng)公式為C,,=2"T+1,判斷｛cj是否為"等比源數(shù)列”,并說明理

由；

(3)已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且4*0,d“wZ(nwN"),求證：｛4｝為

”等比源數(shù)列”.

參考答案

一、選擇題：(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

只有一個選項(xiàng)符合題意)

1?【分析】根據(jù)位移的導(dǎo)數(shù)是速度，求出s的導(dǎo)函數(shù)即速度與時間的函數(shù)，將2代入求出

物體在時刻f=2時的速度.

【解答】解：物體的運(yùn)動速度為H)=s，=2―,

313

所以物體在時刻f=2時的速度為v(2)=2x2--=—

44

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理上的應(yīng)用：對物體位移求導(dǎo)得到物體的瞬時速度.

2.【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)全排列，再將老師

安排在中間，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)全排列，有父=24種排法，

老師必須站在中間，有1種安排方法，

則有24x1=24種站法；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【分析】根據(jù)已知條件，求出x,y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可

求解.

_0+1+2+3+4_10+15+m+30+35_90+w

【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得,x--------------=2,y-------------------

5

用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為y=6.5%+9,

...90_6.5x2+9,解得加=20.

5

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.【分析】由題意可得100個產(chǎn)品中，質(zhì)量合格的產(chǎn)品有90個，其中質(zhì)量合格的產(chǎn)品有

80個，再結(jié)合古典概型及其概率計算公式求解即可.

【解答】解：由題意可得100個產(chǎn)品中，質(zhì)量合格的產(chǎn)品有90個，其中質(zhì)量合格的產(chǎn)品有

80個，

則任取一個產(chǎn)品，若它的質(zhì)量合格，則它長度合格的概率為名=?,

909

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了古典概型及其概率計算公式，屬基礎(chǔ)題.

5.【分析】對于A,結(jié)合平均數(shù)公式，即可求解，

對于8,結(jié)合方差公式，即可求解，

對于C,結(jié)合中位數(shù)的定義，即可求解，

對于。，結(jié)合極差的定義，即可求解.

【解答】解：甲組樣本數(shù)據(jù)％,x2.........(數(shù)據(jù)各不相同)的平均數(shù)為2,方差為4,

又乙組樣本數(shù)據(jù)3百+a,3%+〃，…，3x“+a的平均數(shù)為4,

3x2+a=4,解得a=—2,故A正確，

乙組樣本數(shù)據(jù)方差為3?x4=36,故B正確，

設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為七，

則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3%-2,

，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)不一定相同，故C錯誤，

甲組數(shù)據(jù)的極差為Zs-x而“，

則甲組數(shù)據(jù)的極差為(3k頻-2)-(3x??,-2)=3(xw?-x,?,,),

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故O正確.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查統(tǒng)計的知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【分析】利用正態(tài)分布的對稱性可得尸($,80),可得P(80,,J<90),即可得出結(jié)論.

【解答】解：J近似服從正態(tài)分布N(90,〃)(試卷滿分150分)，且尸100)=0.3,

:.P&,80)=0.3,

P(80?§<90)=>°；x2=02,

這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)=14000x0.2=2800,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

7.【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系進(jìn)行分析即可求解.

【解答】解：結(jié)合函數(shù)圖象可知,當(dāng)xv>時,f'(x)<g'(,x),止匕時y=g，(x)—r(x)>0,

函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)acxvO時,r(x)>g，(x),此時y'=g，(x)-(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<。時，f'(x)<g\x),此時y=g，(x)-函數(shù)單調(diào)遞增,

當(dāng)時，f'(x)>g'(x),此時y=g，(x)_1(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

故函數(shù)在x=a,x=b處取得極大值，在x=0處取得極小值.

故選：D.

8.【分析】令g(x)=』@(x>0),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

X

【解答】解：令g(x)=4^(x>0),

X

則g，⑶N(x)；)(x),

X

礦。)>/(外，

/./(x)>0,g(x)在(0,KO)遞增，

若。>力>0,則g(a)>g(b),

即幽>歿，即(a)>af(b),

ab

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

9.【分析】分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷即可.

【解答】解：由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),

(6,2),

兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

P(甲)=,，P(乙)=,，P(丙)=工=』，p(T)=—=-,

666x6366x66

A:P(甲丙)=OxP(甲)P(丙)，

B-.P(甲丁)=—=P(甲)P(T).

36

C:P(乙丙)——^P(乙)P(丙)，

36

D:P(丙丁)=0二尸(丙)P(T),

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，屬

于中檔題.

10.【分析】分別求得給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合因式分解和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求得最值，可判斷

結(jié)論.

【解答】解：對于①/(解=f+1,f'M=2x,

2

fXx0)(x-x0)+f(x0)-f(x)=2x0(x-x0)+x?+\-(x+1)

2

=2x0(x-x0)+(x0-x)(x0+x)=-(x-x0)?0，

即/'(/)。-入0)+/(/)，J(X)，故①不滿足題意；

對于②f(x)=/nr,導(dǎo)數(shù)為r(x)=」(x>0),

X

設(shè)尸(x)=f'(xn)(x-x0)+f(x0)-/(%)=—(x-x0)+lnxtt-Inx,

%

FfU)=—=,當(dāng)x>x0時，F(xiàn),(x)>0,F(x)遞增；

x0xxr0

當(dāng)0<x<x0時，9(x)<0,尸(x)遞減.

所以F(x)在x=x()處取得最小值0,即F(x)..O,

故②符合題意；

對于③/(X)=sinx,導(dǎo)數(shù)為r(x)=cosx,

設(shè)F(x)=f'[x0\x-x0)+f(xQ)-/(x)=cosxfl(x-^)+sinx0-sinx,

F'(x)=cosx0-cosx,由F(x)=O,可得x有無數(shù)個解，故③不符合題意；

對于④f(x)=-x2,導(dǎo)數(shù)為f\x)=-2x,

--

-%—f(x)=2x0(x—x0)—xj—(—x)

=-2x0(x-x0)-(x0-x)(x0+x)=(x-%)2..0,

即/'5)(x-為)+/(Xo)4(x)，故④滿足題意?

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)恒成立問題解法，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推

理能力，屬于中檔題.

二、填空題：(本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上)

11?【分析】由已知即可求出〃的值，再求出展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0,進(jìn)而可

以求解.

【解答】解：由已知可得2"=32,則〃=5,

1_5r

所以二項(xiàng)式的的這款是的通項(xiàng)公式為7；”=6(2/)5］-;=>=C：25r(-1)5m2,

令io-"=o,解得r=4,

2

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為C>2.(-l)4=10,

故答案為：5；10.

【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12?【分析】把表中數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列，再求中位數(shù)和百分位數(shù).

【解答】解：把表中數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為：46,48,51,53,53,56,56,56,

58,64,66,71；

計算中位數(shù)是gx(56+56)=56；

因?yàn)?2x80%=9.6,所以80%分位數(shù)是第10個數(shù)據(jù)，是64.

故答案為：56；64.

【點(diǎn)評】本題考查了中位數(shù)和百分位數(shù)的計算問題，是基礎(chǔ)題.

13.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，以及平均數(shù)公式，即可求解.

【解答】解：抽取的［80,90)之間的頻率為10x0.02=0.2,

抽取的［80,90)之間的學(xué)生人數(shù)是200x0.2=40,

估計這1000名學(xué)生的體育測試平均成績?yōu)?/p>

55x0.005x10+65x0.04x10+75x0.03x10+85x0.02x10+95x0.005x10=73.

故答案為：40,73.

【點(diǎn)評】本題主要考查頻率與頻數(shù)的關(guān)系，以及平均數(shù)公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬

于基礎(chǔ)題.

14?【分析】由已知得y=3x2+3x,由y=0,得x=0或x=—l,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出

359

函數(shù)y=V+加在［-2,1］上的最大值為)(=|=5+機(jī)=5,由此能求出，"的值.

a

【解答】解：,y=Y+-/，

2

/.y'=3x2+3x,

由y=0,得x=0或x=—l,

y|v=_2=-8+64-zn=/n-2,

兒=。="，

,35

y\x=^^+-+fn^~+m,

Q5Q

函數(shù)y=d+加在［-2,1J上的最大值為y|.i=5+加=萬,

解得m=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的最值的求法，是中檔題，解題時要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

15?【分析】首先根據(jù)甲猜對乙沒有猜對可求出一次活動中，甲獲勝的概率，進(jìn)而可計算在

3次活動中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式

求Q(X).

【解答】解：由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為3x3=2,

653

則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為C；x(|)2x|+(|)3=；

根據(jù)題意可知，X~5(3,女)，

3

212

所以D(X)=叩(1=,

2()2

故答案為：—；

273

【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率的計算與方差的求解，屬于基礎(chǔ)題.

16?【分析】根據(jù)題意得到方程組，消去”后得到m=上華，通過研究

%

力(幻=二竺&>0)的單調(diào)性得到國像，進(jìn)而通過以此與y=加的交點(diǎn)情況得到答案.

X

【解答】解：函數(shù)/(3)=32+MT與g(x)=/nx,

假設(shè)/是函數(shù)f(x)與g。)的一個“S點(diǎn)”，

ITIX^+叫)=依)①

則有：L1e，②X。一①得：

/

1一g人7/、1-lnx.八、、21nx—3業(yè)|.,、八

m-------,令h(x)=——；—(x>0),h(x)=-----——，當(dāng)”時o，h(x)>0,

XoJTX

3

當(dāng)0<x<胸時，〃(x)v0,

3

當(dāng)x=/時，hr(x)=0,

231

故/l(x)在X時取得極小值，力(4)=一”當(dāng)X—>0時，h(x)T+00,

當(dāng)Xf+oo時，〃(犬)->0,畫出圖象如下:

當(dāng)根..0時，〃(幻與y=加有且只有一個交點(diǎn)，所以存在正數(shù)機(jī)，使得/'(%)與g(x)恰有1

個“S點(diǎn)”，①正確，②錯誤;

當(dāng)“一.

時，Mx)與y=%有一個交點(diǎn)，故存在負(fù)數(shù)〃，使得f(x)與g(x)恰有1個

“S點(diǎn)”，③正確;

1

當(dāng)一<m<0(時,6(x)與y=/n有兩個交點(diǎn)，存在負(fù)數(shù)機(jī)，使得f(x)與g(x)恰有2個

“S點(diǎn)”，④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，用到了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.

三、解答題：(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17?【分析】(/)根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，以及列聯(lián)表之間的數(shù)據(jù)關(guān)系，即

可求解.

(〃)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解.

(/〃)由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例為3:2,故抽取的5只小

白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，從中抽取3只，則X的可能取值為1,2,

3,分別求出對應(yīng)的概率，再結(jié)合期望公式，即可求解.

【解答】解：(/)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率

為|,

，竺40=C32,解得犬=100,

x55

貝幼=200-100=100,p=100-40=60,^=100-60=40.

n(ad-bc)2_200x(40x40-60x60)2

=8<10.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~100x100x100x100

沒有99.9%把握認(rèn)為注射此種疫苗有效.

(III)由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例為3:2,

故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只己注射疫苗,

從中抽取3只，

則X的可能取值為1,2,3,

p(x=l)=卑=』，P(x=2)=卑=3,P(X=3)=4=-

C；10C；5Cl10

故X的分布列為:

X123

P331

105lo

3319

feE(X)=lx—+2x-+3x—=-.

1051()5

【點(diǎn)評】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要學(xué)生熟練掌握期望公式，屬于

中檔題.

18?【分析】(I)記兩站間票價不足5元為事件A,在13座車站中任選兩個不同的車站，

基本事件總數(shù)為C；=78個，事件A中基本事件數(shù)為78-15=63.由此能求出兩站間票價

不足5元的概率.

(II)記甲乙花費(fèi)金額分別為a元，b元.X的所有可能取值為6,7,8,9,10,分別求

出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列.

(III)Dr).

【解答】解：(I)記兩站間票價不足5元為事件A,

在13座車站中任選兩個不同的車站，基本事件總數(shù)為￡；=78個,

事件A中基本事件數(shù)為78-15=63.

所以兩站間票價不足5元的概率P(A)=—=—.(3分)

7826

(H)記甲乙花費(fèi)金額分別為4元，b元.

X的所有可能取值為6,1,8,9,10.(4分)

尸(X=6)=P(a=3,8=3)=j,(5分)

p(X=7)=P(a=3,/=4)+P(a=4,b=3)=一,(6分)

6

49

p(X=8)=P(a=3/=5)+P(a=5/=3)+P(a=4,/?=4)=——,(7分)

144

尸(X=9)=P(a=5,8=4)+P(a=4,b=5)=a,(8分)

24

25

p(X=10)=P(〃=5,b=5)=——?(9分)

144

所以X的分布列為

X67891()

P49525

9614424U4

…(10分)

(III)甲乙二人只乘坐八通線，甲從四惠站上車，任選另一站下車，記票價為4元，

乙從土橋站上車，任選另一站下車，記票價為〃元.

.?.4和"的方差。4和?！ù笮∠嗟龋?(13分)

【點(diǎn)評】本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、方差的求法，考查列舉法、古典概型

等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19?【分析】(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的集合意義求解；

(II)轉(zhuǎn)化成討論導(dǎo)數(shù)的符號；

(III)利用(H),討論極值點(diǎn)與定區(qū)間的關(guān)系，再數(shù)形結(jié)合得最小值.

【解答】解：(I)a=l時，f(x)=-2lnx+-x2+x,：.1(x)=d),

2x

33

■-f(1)=7'『⑴=0，曲線y=/(x)在(1，f(1))處的切線方程為：y=1；

.IT,q,、(x+2a)(x-a)

(ID/'(x)=----------，x>0，

x

???①當(dāng)a=0時，/'(X)=X>0,.?./(二)僅有單調(diào)增區(qū)間，其為：(0,+oo)；

②當(dāng)a>0時，x+2a>0,.,.當(dāng)xe(0,a)時/'(%)<0；當(dāng)xe(a,+<?)時，f\x)>0,

，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(0,a),單調(diào)增區(qū)間為：3,48);

③當(dāng)"0時，X-0>0,...當(dāng)xe(0,-初時r(x)<0；當(dāng)x€(-2a,+co)時，/'(x)>0,

??J(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(0,-2。)，單調(diào)增區(qū)間為：(-2a,4w),

綜合得：當(dāng)〃=0時，僅有單調(diào)增區(qū)間，其為：(0,+8)；

當(dāng)”>0時，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(0,4)，單調(diào)增區(qū)間為：3,”)；

當(dāng)a<0時，/（x）的單調(diào)減區(qū)間為：（0,-2a）,單調(diào)增區(qū)間為：（-2a,+00）.

（Ill）當(dāng)avo時，由（II）中③知/（X）在（0,-2。）上單調(diào)單調(diào)遞減，在（-2a,+00）上單調(diào)遞

增，

；?①當(dāng)Ov—2a,1，即ae［-g,O）時，/（%）在［1,e］上單調(diào)遞增，/??,.=/（1）=?+.

p1

②當(dāng)iv—2ave,即”（-5,—5）時，/⑴在（1，-2。）上單調(diào)遞減，在（-2。0上單調(diào)遞增,

/（%）?,?=/（-2a）=-2a2ln（-2a）