向量與向量的線性組合

向量與向量的線性組合第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（一）向量及其線性運(yùn)算二維向量二元有序數(shù)組（x,y）(x,y)0三維向量三元有序數(shù)組（x,y,z）n維行向量n元有序數(shù)組ai

的第i個(gè)分量n維列向量1.定義第二頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二分量為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量；分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。負(fù)向量n維(基本)單位向量：零向量特殊向量：或第三頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.

運(yùn)算相等加法減法數(shù)乘k(k>1)k(k<0)設(shè)第四頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二向量的加法與數(shù)乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律：3.運(yùn)算律對(duì)于所有n維向量組成的集合，按定義的加法和數(shù)乘，滿足八條運(yùn)算法則，我們稱這個(gè)集合對(duì)規(guī)定的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個(gè)n維向量空間。記為Rn.定義3.4（P.122（126）)與矩陣的加法、數(shù)乘運(yùn)算律同。第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例（P.123（127））解第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二用向量的觀點(diǎn)看矩陣則或第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二用向量的觀點(diǎn)看線性方程可寫(xiě)成：即線性方程組的向量表示系數(shù)列向量第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二令稱為滿足方程的一個(gè)解向量。第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例（P.110(113))方程組若記方程組有解使得第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）向量組的線性組合問(wèn)題的提出：線性方程組可用向量表示為方程組是否有解的問(wèn)題歸結(jié)為：是否存在一組數(shù)使得上式成立。則稱是向量組的線性組合或稱可由向量組線性表示（或線性表出）定義3.5（P.124(128)）對(duì)于給定的向量若存在一組數(shù)使得可否全為零？1.定義如前例第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例（P.124例3(129例2)）零向量是任何向量組的線性組合。設(shè)任一向量組為，一些常用結(jié)果零向量數(shù)零第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二n維單位向量組（基本向量）：例

（P.124例2(129例1)）任何n維向量都可由n維基本單位向量組線性表示。

例

（P.125例4（129例3））向量組中任一向量都可由這個(gè)向量組線性表出。因?yàn)榻M內(nèi)向量可由本組向量表示第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.能否表示的判定定理及求組合系數(shù)的方法對(duì)比線性方程組的向量表示：及線性組合的定義：知，

是否為向量組的線性組合，等價(jià)于方程組有無(wú)解，等價(jià)于

r(A|)是否等于r(A)。設(shè)其中第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二定理3.3

（P.124（128））

可由向量組線性表示以向量j為列！注意：若，j是行向量，則須組合系數(shù)為方程組的解。思考題：若可由向量組線性表示，問(wèn)：“表示”是否唯一？列向量，行變換！第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例5P.125判斷向量是否各為下列向量組的線性組合。若是，寫(xiě)出表示式。解(1)（表示唯一嗎？）第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二練習(xí)設(shè)R3中的向量判斷能否由1，2，3線性表示？若能，寫(xiě)出一個(gè)表示式。解若不需寫(xiě)出“表示式”，則不必化行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。（表示式不唯一，為什么？）第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二取x3=0,得x1=5,x2=-1.于是得線性表示式：再求一表示式取x3=1,得x1=6,x2=-3.第十九頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二定義

設(shè)有兩個(gè)向量組?若向量組(A)的每個(gè)向量都可由向量組(B)中的向量線性表出，則稱向量組(A)可由向量組(B)線性表出。三、兩個(gè)向量組之間的關(guān)系

(P.125(137))即?若向量組(A)與向量組(B)可互相線性表出，則稱它們等價(jià)。(定義3.6）第二十頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二線性表出的傳遞性：(A)可由(B)線性表出，(B)可由(C)線性表出，(A)可由(C)線性表出。設(shè)定理3.4（P.126（137定理3.8））證略第二十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例6P.126判斷下列向量組是否等價(jià)解因?yàn)樗?B)可由(A)線性表示。又所以(A)可由(B)線性表示。故向量組(A)與(B)等價(jià)。(C)可由(A)線性表示:但(A)不能由(C)線性表示:因不能由(C)線性表示故(A)與(C)不等價(jià)，由此(B)與(C)也不等價(jià)。為什么？第二十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，編輯