集合的概念與集合間的關(guān)系

§1.1.1 集合的含義與表示學(xué)習(xí)目標(biāo)-了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；探究學(xué)習(xí)淤探索新知探究1：觀察下列實例：1?20以內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)； ②2014年參加世界杯的國家；③所有的銳角三角形； ④x2,3x+2,5y3f,”+產(chǎn)；⑤淄博市實驗高一級的全體學(xué)生； ⑥方程x2+3x=0的所有實數(shù)根;張店區(qū)2014年參加中考的所有同學(xué)；中華人民共和國境內(nèi)的四大高原試回答：各組對象分別是一些什么？有多少個對象？新知1：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，把一些元素組成的總體叫做集合(set).探究2：“好心的人”與“1,2,1”是否構(gòu)成集合？新知2：集合元素的三大特征確定性：對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何對象或者是該集合的元素，或者不是該集合的元素。如：“地球上的四大洋”(太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋)可以構(gòu)成集合。“數(shù)學(xué)必修1課本上的所有難題”就不能構(gòu)成集合，因為“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定?；ギ愋裕和患现胁粦?yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.相同的元素歸入一個集合盡算一個元素。如：student中的字母構(gòu)成的集合中兩個“t”只寫一次。無序性：集合中的元素沒有順序限制。集合｛1，2｝與｛2,1｝是一樣的。定義：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們稱這兩個集合.【練習(xí)】到定點的距離等于定長的所有點;滿足3x到定點的距離等于定長的所有點;滿足3x-2>x+3的全體實數(shù)；未來世界的高科技產(chǎn)品；由：數(shù)字1、2、5、7；

成的集合相等，求a,b成的集合相等，求a,b中國男子足球隊中技術(shù)很差的隊員；2014年參加山東夏季高考的學(xué)生；.1由-，0.5，|—0.5|，-0.5組成的集合有個元素。3.由1，a2，b組成的集合與由1,2,a組新知3：元素與集合的關(guān)系：集合通常用大寫的拉丁字母4B,C,…表示，集合的元素用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示.如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作：aeA；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作：awA.注：①符號"e”和“W”只用于表示元素與集合之間的關(guān)系；②“e”和“W”具有方向性，左邊是元素，右邊是集合?！揪毩?xí)】設(shè)B表示“5以內(nèi)的自然數(shù)”組成的集合，則5B，0.5—B，0B，-1B.新知4：常見數(shù)集的表示非負整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負整數(shù)組成的集合，記作N；正整數(shù)集：所有正整數(shù)的集合，記作N*或N；+整數(shù)集：全體整數(shù)的集合，記作Z；有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合，記作Q；實數(shù)集：全體實數(shù)的集合，記作R.若aeN若aeN,則-aWN若aeZ,則a2eZ若aeQ,則|a|eQ若aeR,則3aeR【練習(xí)3】填e或w：0N，0R，3.7N，3.7Z，—EQ，<3-還___R.( )1AeR ②，：'2wQ2③|-3|eN ④-摹4eZ1 B.2 C.3 D.4【練習(xí)2】下列結(jié)論中，不正確的是( )二、集合的表示方法：1、列舉法：把集合的元素——列舉出來，并用花括號"{}”括起來表示集合的方法。

注：(1)用列舉法表示集合時，元素間用“，”隔開；(2)對于有限集，在元素不太多時，宜用列舉法表示；(3)對于元素較多的有限集或無限集，一般不采用列舉法，但當(dāng)元素有一定規(guī)律時也可用列舉法表示，需將規(guī)律表示清楚后再用“…”表示。如從51到100的所有整數(shù)組成的集合：{51，52，53，?,100}2、 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。如：所有奇數(shù)的集合A={小=2k+1,keZ}，不等式x-7<3的解集B={斗<10}注：①寫清集合的代表元素；②集合的元素與其所采用的字母無關(guān)，只與集合中元素的共同特征有關(guān)；③所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)；④在不引起混淆的情況下，元素的取值范圍常常省略。3、 Venn圖：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖。常用圓、橢圓、正方形、長方形等表示集合?！揪毩?xí)】1、用列舉法表示下列集合：(4)能被3整除的整數(shù)的集合15以內(nèi)的質(zhì)數(shù)；(4)能被3整除的整數(shù)的集合(2)方程x(x2-1)=(2)方程x(x2-1)=0的所有實數(shù)根組成的集合；⑸平面直角坐標(biāo)系中第二、四象限點的集合；能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；一次函數(shù)y=x與y=2x-1的圖象的交點組成的集合.小于1000的所有自然數(shù)組成的集合2、用描述法表示下列集合：(1)小于10的所有非負整數(shù)的集合;方程2x+y=5的解集；⑶x軸上所有點的集合;{1，3，5，7，…}非負偶數(shù)的集合3、用描述法分別表示下列集合(1)拋物線y=x2上的點的集合；⑵拋物線y=x2上點的橫坐標(biāo)的集合⑶拋物線y=x2上點的縱坐標(biāo)的集合【注意】(1)對某一具體的集合而言，其表示方法并不是唯一的；(2)表示集合時，花括號內(nèi)不用寫“所有”二字，因為花括號本身就有“全部”“所有”的意思。 ，L—典例精析例1：下列說法正確的是（ ）數(shù)學(xué)成績較好的同學(xué)可以組成一個集合例1：下列說法正確的是（ ）數(shù)學(xué)成績較好的同學(xué)可以組成一個集合所有絕對值接近于零的數(shù)可以組成一個集合集合｛1,2,3｝和｛3,2,1｝表示同一個集合194.1，0.5，1,2,4組成一個含有5個236元素的集合例2：若集合A=｛a-3,2a-1,a2-4｝,且-3GA，求實數(shù)a的值?！痉椒记伞浚?）考察一組對象是否能組成一個集合，關(guān)鍵是看這組對象是否具備確定無疑的具體特征（或標(biāo)準(zhǔn)），即確定性。（2）集合元素的互異性常隱形考查，相同的元素在一個集合中只能算作一個元素?！痉椒记伞窟\用分來討論的思想，分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。例3:定義集合運算例3:定義集合運算A*B={z|z=頃工+y）,xgA,ygB}，設(shè)集合A={0,1},B={2,3},則集合A*B的所有元素之和為（ ）A.0 B.6 C.12 D.18【方法技巧】與集合有關(guān)的創(chuàng)新題主要以集合的表示方法和元素與集合的關(guān)系為背景，經(jīng)常是給出新的定義，依據(jù)新背景或新定義，借助于集合的含義與表示和元素與集合的關(guān)系來解決問題。4 拓展提升1.下面四個命題正確的是l1.下面四個命題正確的是l）10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是｛0,3,5,7｝“個子較高的人”不能構(gòu)成集合方程x2-2x+1=0的解集是｛1,1｝偶數(shù)集為｛x|x=2k,xgN｝2.已知集合S=｛A,B,C｝中三個元素是dABC的三個邊長，那么口ABC一定不是（）A.銳角三角形 B.直角三角形鈍角三角形 D.等腰三角形已知集合A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛（x,y）xgA,ygA,x一ygA｝，則B中所含元素的個數(shù)為（ ）A.3 B.6 C.8 D.10元素的個數(shù)為（ ）A.3 B.6 C.8 D.10直線y=2x+3上的點的集合為P,則P=。點（2,7）與P的關(guān)系為（2,7）P集合A=｛x|8<x<12,xeN｝，用列舉法可表示為 已知集合A=｛（x,y）y=2x-1｝，B=｛（x,y）|y=x+3｝，aeA,aeB,求a。9.已知集合A={x,x+1,1}，B={x,x+x2,x2}，且A=B,求實數(shù)x。10.已知集合A=｛xe R3 -a2xF 0 =x,7.用列舉法和描述法分別表示下列集合.方程x3+4x7.用列舉法和描述法分別表示下列集合.方程x3+4x=0的所有實數(shù)根組成的集合；所有奇數(shù)組成的集合.值范圍；若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；若A中至多有一個元素，求a的取值范圍。8.已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4}，若2eM,求滿足條件的x組成的集合。

§1.1.2集合間的基本關(guān)系,J學(xué)習(xí)目標(biāo)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；理解子集、真子集的概念；能利用Venn圖表達集合間的關(guān)系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用；了解空集的含義.探究學(xué)習(xí)思考1:類比實數(shù)的大小關(guān)系，如5<7,心，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？思考2：比較下面幾個例子，試發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關(guān)系：A=｛3,6,9｝與B=｛xIx=3k,keN*目人<333｝；C=｛東升高中學(xué)生｝與D=｛東升高中高一學(xué)生｝；E=｛xIx（x-1）（x-2）=0｝與F=｛0,1,2｝.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.1、子集：一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有關(guān)系，稱集合A是集合B的（subset），記作：，讀作：A含于B，或B包含A.當(dāng)集合A不包含于集合B時，記作AB.用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系為:AcB（或B^A）2、集合相等：若AcB且BcA，則A與B中的元素是一樣的，因此.3、真子集:若集合AcB，存在元素xeB且xWA，則稱集合A是集合B的，記作：，讀作：A真包含于B（或B真包含A）.【拓展】（1）兩個集合間的“包含”關(guān)系包括“真包含”與“相等”兩種，可類比兩個實數(shù)間的大小關(guān)系。（2）要注意“e”和“c”的區(qū)別，“e”只用于元素與集合之間，“c”用于集合與集合之間。

4、空集：不含有任何元素的集合稱為（emptyset），記作：例如，（x|x2+1=0｝=0，｛x|ax+1=0,a=0｝=0。并規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.5、 常用結(jié)論：（1） 任何一個集合是它本身的子集，即AcA。（2） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。⑶對于集合A,B,C,如果AcB,BcC,那么AcC?！揪毩?xí)】1、用適當(dāng)?shù)姆柼羁?（1、用適當(dāng)?shù)姆柼羁?（1）{a,b}{a,b,c}，a{a,b,c}；（2）0{xIX2+3=0}，0—R；（3） N{0,1}，QN；（4）{0}{xIx2-x=0}.A.McNB.NMC.N&MD.M=N3.寫出數(shù)集N*,N,Z,Q,R之間的關(guān)系。2、已知M={1,2,3,4,5},N={1,4}，則有（）例1寫出集合｛a,b,c｝的所有的子集，【方法技巧】如果一個集合含有n個并指出其中哪些是它的真子集.元素，那么它的子集有個，真子集有—個，非空真子集有個.例2判斷下列集合間的關(guān)系：A例2判斷下列集合間的關(guān)系：A={xIx-3>2}與B={xI2x-5>0}；例3:若集合A=｛xIx>a｝，B=｛xI2x-5>0｝，且滿足AcB，求實數(shù)a的取值范圍.【方法技巧】判斷集合間的關(guān)系，其方法主要有：（1）列舉觀察；（2）集合元素特征法。首先明確集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷。（3）數(shù)形結(jié)合法，利用數(shù)軸或Venn圖。【易錯提醒】對于AcB,不要忽略A=0的情況。布、拓展提升TOC\o"1-5"\h\z下列結(jié)論正確的是（ ）.A.0UA B.0G{0} C.{1,2}qZD.{0}昌0,1}設(shè)A=（r|x〉1},B=（r|x〉舟且AqB，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）.A.a<1 B.a<1 C.a〉1 D.a>1若{1,2}={xIx2+bx+c=0}，則（ ）.A.b=—3,c=2B.b=3,c=—2 C.b=—2,c=3D.b=2,c=—3滿足{a,b}qAu{a,b,c,d}的集合A有個.已知集合AU{1,2,3}，且