北航理論課件靜力學動力學

1作業(yè)已知質(zhì)量為m的質(zhì)點,被約束在y=sin2x的曲線上運動(y軸鉛垂向上,x軸水平).試應用第一類Lagrange方程,建立質(zhì)點的運動微分方程,并求作用在質(zhì)點上的約束力.2§5-5、第一類拉格朗日方程

-

kjnj

=1dt

?

d

?T

?T-

Q

j

dq

j

=

0q

?q

j利用dq

j

(j

=1,,k

)的獨立性，有：j?q- =

Q

jj

qdt

?d

?T

?T一、問題的引出(Fi

-

mi

ai

)

?dri

=

0i=110jttT(j

=

1,,

k

)

dt

?q

j

?q

jd

?T

?T- =

Qq)dt

=

0(dT

+

Q

ddw

=受完整理想約束系統(tǒng)的Hamilton原理:系統(tǒng)的真實運動滿足§5-5、第一類拉格朗日方程x1m1

g

q2m2

gABl0kq33m

gyxDABjqO應用第二類拉格朗日方程必須選取獨立的位形坐標。第二類拉格朗日方程不能求約束力。3AB地面光滑4§5-5、第一類拉格朗日方程dr二、第一類拉格朗日方程r

?dr

=

xdx

+

ydy

+

zdz

=

0xyzm1xdx

+

ydy

+

zdz

=

0r

=

xi

+

yj

+

zk

dr

=

dxi

+dyj

+dzkr反映的微小位移應滿足的關系約束方程f

(x,

y,

z)

=

x2

+

y2

+

z2

-

L2

=

0對上述方程求微分有：2xdx

+2

ydy

+2zdz

=0xz1mm2y約束方程

f

=

(x1

-

x2

)2

+(

y1

-

y2

)2

+(z1

-

z2

)2

-

L2

=

0(x1

-

x2

)dx1

+(

y1

-

y2

)dy1

+(z1

-

z2

)dz1

=(x1

-

x2

)dx2

+(

y1

-

y2

)dy2

+(z1

-

z2

)dz2約束方程求全微分,反映兩點的微小位移在兩點連線上的投影相等.§5-5、第一類拉格朗日方程(i

=1,,

s)設描述系統(tǒng)位形的坐標：q1,qn系統(tǒng)的約束方程為：fi

(q1,,qn

,t)=0,系統(tǒng)的自由度:k=n-s1tt0T

Tdw

=[d

(T

-F

l)

+

Q

dq]dt

=

0受完整理想約束系統(tǒng)的Hamilton原理:系統(tǒng)的真實運動滿足

fs

f1

F

=

=

0sjijjqfi

(q1,,

qn

,

t)

=

0, (i

=

1,,

s), (

j

=

1,,

n)?q?fi?q- =

Q

+j

dt

?d

?T

?Ti=1ls為約束力對應于坐標q

j的廣義力,li

稱為拉格朗日乘子。5其中：lii=1?q

j?fi6§5-5、第一類拉格朗日方程例：在質(zhì)量為m的質(zhì)點被約束在光滑的水平軸y上運動，用第一類拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動力學方程。解：1、給出系統(tǒng)的動能和約束方程2T

=

1

m(x2

+

y

2

+

z2

)f2

=

z

=

0f1

=

x

=

0,xyzmg2、求系統(tǒng)主動力的廣義力Qx

=

0,

Qy

=

0,

Qz

=

-mg,-

, (

j

=

1,2,3)?q=

Q

+?q?Td

?T

dt

?sj?fij

ii=1jj

lqx

=

0,

y

=

ct,

z

=

0,

l1

=

0,

l2

=

mgmx

=

l1,my

=

0,mz

=

-mg

+l2

,72T

=

1

m[(q2r)2

+

r2

]1f

=

r

-

R

=

0rmgOq§5-5、第一類拉格朗日方程例:

質(zhì)量為m的質(zhì)點被約束在半徑為R的光滑圓柱面上，用第一類拉格朗日方程建立質(zhì)點的運動微分方程。解：1、給出質(zhì)點的動能和約束方程2、求系統(tǒng)的廣義力Qq

=mgr

cos

q

,Qr

=

mg

sinqdtm(r-q2r)

=

mg

sin

q

+

l,m

d

(r2q)=

mgrcosq,

, (

j

=

1,2)?q- =

Q

+?qd

?T

?Tdt

?si=1j?fiijjj

lqFN

=

l

=

-mg

sinq

-

mRq2ddtm

(Rq)=

mg

cosq(r,q)8§5-5、第一類拉格朗日方程2、求系統(tǒng)的廣義力Qx

=

02T

=

1

m[x2

+

y

2

]f

=

x2

+

y2

-

R2

=

0解：1、給出質(zhì)點的動能和約束方程Qy

=

mgmy

=

mg

+

2ly,mx

=

2lx

-

, (

j

=

1,2)?f=

Q

+dts

i

?q

jj

ii=1d

?T

?T?q

jjl?q22lR

=

-mgy

-

m(x2

+

y

2

)df=

xx

+

yy

=

0ymgOxdt2dtd2

f=

xx+

yy

+

x2

+

y

2

=

0R

Rmgy

m(x2

+

y

2

)-FN

=

2Rl

=

-(x,

y)m(xx

+

yy)

=

-m(x2

+

y

2

)x(mx)

+

y(my)

=

-m(x2

+

y

2

)§5-5、第一類拉格朗日方程例:

質(zhì)量為m的質(zhì)點被約束在y=sinx的軌道上運動，該軌道在鉛垂平面內(nèi)，用第一類拉格朗日方程建立質(zhì)點的運動微分方程。Qx

=

02=

y

-sin

x

=

0T

=

1

m[x2

+

y

2

]

f解：1、給出質(zhì)點的動能和約束方程

2、求系統(tǒng)的廣義力Qy

=

-mgmx

=

-lcos

xmy

=

-mg

+

l,

, (

j

=

1,2)?q- =

Q

+?qd

?T

?Tdt

?si=1j?fiijjj

lqdfdt

=

y

-

x

cos

x

=

02dt2d2

f=

y

-

xcos

x

+

x

sin

x

=

0221+

cos

9xx

=mg

-

mx2

sin

xl(1+

cos2

x)

=

mg

-

mx2

sin

x

FN

=

l

1+

cos10§5-5、第一類拉格朗日方程例:

質(zhì)量為m1和

m2的質(zhì)點用長度為L的剛性無質(zhì)量桿連接,在鉛垂面內(nèi)運動，用第一類拉格朗日方程建立其運動微分方程。]2

21

12222

21

1

1

2

2+

y

]

+

m

[x

+

yT

=

m

[x解：1、給出質(zhì)點的動能和約束方程f

=

(x1

-

x2

)2

+(

y1

-

y2

)2

-

L2

=

01

2Qx

=

Qx

=

01

2=

-m2

g,Qy

=

-m1g,Qyxym12mgOm1y1

=

-m1g

+

2l(

y1-

y2

),2、求系統(tǒng)的廣義力m1x1

=

2l(x1

-

x2

)m2x2

=

-2l(x1

-

x2

)m2

y2

=

-m2

g

-

2l(

y1

-

y2

),22dt2d2

f=

2(x1

-

x2

)(x1

-

x2

)

+

2(x1

-

x2

)

+

2(

y1

-

y2

)(y1

-

y2

)

+

2(

y1

-

y2

)

=

0§5-5、第一類拉格朗日方程sjjq(i

=

1,,

s)fi

(q1,,

qn

,

t)

=

0,, (

j

=

1,2,,

n)?q?fi?q- =

Q

+j

dt

?d

?T

?Tj

ii=1lFN(m1

+

m2

)L=

l2L

=

-

m1m2

(x1

-

x2

)

+

(

y1

-

y2

)]m1x1

=

2l(x1

-

x2

)m1y1

=

-m1g

+

2l(

y1-

y2

),m2x2

=

-2l(x1

-

x2

)m2

y2

=

-m2

g

-

2l(

y1

-

y2

),sjijjq(i

=

1,,

s)fi

(q1,,

qn

,

t)

=

0,, (

j

=

1,2,,

n)?q?fi?q- =

Q

+j

d

2dt

2dt

?d

?T

?Ti=1l實際求解所用的方程組1112§5-5、第一類拉格朗日方程ymgOxx(0)

=1.0my(0)

=

0.0mx(0)

=

0.0m/sy(0)

=

0.0m/sR=1m

---x

---yt/sx,yf

=(x2

+

y2

-

R2

)"=

0my

=

mg

+

2ly,mx

=

2lx2lR2

=

-mgy

-

m(x2

+

y

2

)第一類拉格朗日方程的數(shù)值求解13§5-5、第一類拉格朗日方程my

=

mg

+

2ly,mx

=

2lxdt2d2

f=

xx+

yy

+

x2

+

y

2

=

0a

=

50.0b

=

50.0x(0)

=1.0my(0)

=

0.0mx(0)

=

0.0m/sy(0)

=

0.0m/sR=1m

---x

---yt/sd2

f

dfdt2

+a

dt

+

bf

=

0x,y1972年Baumgarte

提出的違約修正方法§5-5、第一類拉格朗日方程三、拉格朗日方程的發(fā)展與應用1755－1788年：第一類和第二類Lagrange方程:1894年:用于具有非完整約束質(zhì)點系的Routh方程:sj(

j

=

1,,

n)(i

=

1,,

s),

fi

(q1,,

qn

,

t)

=

0,?q

j?fiq

?q

j

-

dt

?d

?T

?Ti=1=

Q

j

+

lij(

j

=

1,2,,

n)(i

=

1,,

s)q

?q

j

-

dt

?d

?T

?Ts

n=

Q

j

+

li

Aij

,

Aij

q

j

+

Bi

=

0,i=1

j

=11972年:具有Baumgart違約修正的Lagrange方程:sjq(

j

=

1,2,,

n)(i

=

1,,

s)14?q

j?fi?q

j

-

dt

?d

?T

?T,

fi

+af

+

bf

=

0,i

i=

Qj

+

lii=115§5-5、第一類拉格朗日方程具有光滑鉸鏈約束的平面運動多剛體系統(tǒng)的第一類Lagrange方程:設系統(tǒng)有N個剛體,其中第k個剛體的動能為:Ck k

N

NT

=

k

=1

k

=11221mk

(x2

+

y

2

)

+k

k

k

kCk

k

kkkq

0

0

J0

y

0

x

m

0m[xk

,

yk

,q

]

0121221Ck

kk

kJ

q2

=Tk

=

mk

(

x

2

+

y

2

)

+(n

=

3N

)qT

Mq12J

q

2

=(i

=1,,

s)qT

=[x1,y1,q

,,

xN

,

y

N

,q

]

=[q1,,

qn

],1

NM

=

diag(

m1,

m1,

JC1,,

mN

,

mN

,

JCN

)系統(tǒng)的約束方程為:fi

(q1,

,

q3N

)

=

0,

fs

f1

F

=

=

016§5-5、第一類拉格朗日方程sj(

j

=

1,2,,

n)(i

=

1,,

s)?q

j?fiq

?q

j

-

dt

?d

?T

?T,

fi

+af

+

bf

=

0,i

i=

Qj

+

lii=1T21T

=

q

Mq

s

f

q

Mq

-

0

=

Q

+F

T

l1=

0

1

1

s

s

s

f

f

f

f

f

f1

f

+

a

+

b

s

?qn

?f

?f?fs

1

?qn?q1

?q1

?f1

=

TqF

ls

l

=

l1

F

=

F

q

qF

=

F

q

q

+Fq

qqF

q

q

+Fq

q

+

aFq

+

bF

=

0

n

Q

Q1

Q

=

F

=

=

0F

+aF

+bF

=0

設約束是定常的17§5-5、第一類拉格朗日方程qMq

=

Q

+F

T

lqq

=

M

-1Q

+

M

-1F

T

lF

q

q

+Fq

q

+aF

q

q

+

bF

=

0q-1

-1

TqF

(

M Q

+qqM

F

l)

+Fq

+aF

q

+

bF

=

0F-1

TqM

-1Qq

q

q

q+F

M

F

l

+Fq

+aF

q

+

bF

=

0qqM

-1F

TqFq

ql

=

-F

M

-1Q

-F

q

-aF

q

-

bFAbAl

=

bl

=

A-1bqq

=

M

-1Q

+

M

-1F

T

A-1b只需給出：q，M，Q，Φ18§5-5、第一類拉格朗日方程例：圖示機構在鉛垂面內(nèi)運動，均質(zhì)桿AB、BD用光滑鉸鏈與滑塊（質(zhì)點）連接。用第一類拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程。AB＝BD＝2LqT

=[x1,

y1,

x2

,

y2

,q2

,

x2

,

y2

,q2

]32

3

31

1

2

2Q

=

Qx

Qy

Qx

Qy

Qq

Qx

Qy

QqM

=

diag(m1,

m1,

m2

,

m2

,

JC

2,m3,

m3,

JC3

)x11m

g

q22m

gAB0lk3qm3

gyxD132q2

q3Qx

=

Qx23

=0Qx

=

-kx

Qy

=

m1

g

Qy

=

m2

g

Qy

=

m3

g1=

0

3

1

2

3y3

-

y1

-2Lcosq2

-Lcosq3q

-Lsinqx

-x

-2Lsin

2

-x1

-Lsinq2x=

0,

Q

=

Qy1F

=y2

-

y1

-Lcosq219§5-5、第一類拉格朗日方程JC

2

2=

-l2

L

cos

q2

+

l3

L

sin

q2q約束力與拉格朗日乘子