2022-2023學年蘇教版必修第一冊子集、全集與補集復習講義

專題1.2子集、全集與補集

一、考情分析

二、考點梳理

i.子集

(1)子集的概念

一般地，對于兩個集合4B,如果集合A中都是集合B中的元素，我們就說

這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合8的子集，記作AqB(或5衛(wèi)A),讀作“A

含于B”(或“8包含A").用Venn圖表示如圖所示：

(2)子集的性質

①任何一個集合是它自身的子集，即A=A.

②傳遞性，對于集合A,B,C,如果AqB,且那么AqC.

2.真子集

(1)子集的概念

如果集合A=8,但存在元素,我們稱集合A是集合8的真子集，記作

A麋B(或6*4).

如果集合A是集合B的真子集，在Venn圖中，就把表示A的區(qū)域畫在表示8的區(qū)域的內

部.如圖所示:

B

(2)真子集的性質

對于集合A,B,C,如果A與8,B注C,那么A弓C.

辨析：子集與真子集的區(qū)別：若A=8,則4反8或A=B；若4反8,則A=8.

3、空集的概念

(1).空集的概念

我們把任何元素的集合叫做空集，記作0,并規(guī)定：空集是任何集合的子集.

(2).空集的性質

(1)空集是任何集合的,即0=4；

(2)空集是任何非空集合的,即09A.

注意：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問

題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導致漏解.

【知識拓展】

1.若有限集A中有n個元素，則集合A的子集個數為2",真子集的個數為2"-1.

2.奇數集：{x[x=2"+l,〃eZ}=^x\x-2n-\,neZ}={x|x=4〃±l.〃eZ}.

4、全集與補集

(1).全集的概念

一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,

通常記作U,是相對于所研究問題而言的一個相對概念.

說明：“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據具體的問題來加以選擇

的.例如：我們常把實數集R看作全集，而當我們在整數范圍內研究問題時，就把整數集Z

看作全集.

(2).補集的概念

對于一個集合4由全集U中集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對

于全集。的補集，簡稱為集合A的補集，記作距A,即MA={x|xeU,且TEA}.用Venn

圖表示如圖所示:

說明：(1)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算.求集合A的補

集的前提是A是

全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、

不可分割的兩個

概念.

(2)若xwU,則xeA或尤wMA,二者必居其一.

(3).全集與補集的性質

設全集為U,集合A是全集U的一個子集，根據補集的定義可得：

(1)6/=0；(2)為0=0；(3)瘠(”A)=A；

(4)AU(即A)=U；(5)AA(M)=0-

三、題型突破

重難點題型突破1求集合的子集和真子集

(1)從集合關系的定義入手，對兩個集合進行分析，

首先，判斷一個集合4中的任意元素是否屬于另一集合B,若是，則AcB,否則4不是8

的子集；

其次，判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A,若是，則8UA,否則8不

是A的子集；若既有AU8,又有則A=B.

(2)確定集合是用列舉法還是描述法表示的，對于用列舉法表示的集合，可以直接比較它

們的元素；

對于用描述法表示的集合，可以對元素性質的表達式進行比較，若表達式不統一，要先將表

達式統一，然后再進行判斷.也可以利用數軸或生圖進行快速判斷.

例1.(1)、(2020?貴州省銅仁第一中學高一期中)已知集合4={1,3,2〃?+3},B={3,療},

若B=則實數

【答案】1或3

【分析】

利用子集關系3三4可知，1=裙或2根+3=//12,求出m再驗證即得結果.

【詳解】

解：?j8aA,3wA,3w8,1=〃?2或2機+3=機2,

解得，〃?=1或〃?=-1或，”=3,

將"?的值代入集合A、8驗證，知，〃=-1不符合集合的互異性，

故加=1或3

故答案為：1或3

（2）.（2021?浙江高一期末）已知集合"={0,1,2},則用的子集有（）

A.個B.4個C.個D.個

【答案】D

【分析】

根據集合子集的個數計算公式求解.

【詳解】

因為集合知={0,1,2}共有個元素，所以子集個數為23=8個.

故選：D.

【變式訓練1-11.（2021?上海高一專題練習）集合4={X|X2=1},B={x\ax=l},若80，則實數

。的值為（）

A.1B.-1C.+1D.0或±1

【答案】D

【分析】

對。進行分類討論，結合8=A求得。的值.

【詳解】

,因為BZ,所以，=1

A={X|X2=1}={1,-1}.當a=0時，B=0,滿足B0；當e0時，8=

{?}a

或■!■=1，即a=±l.

a

綜上所述，Q=0或。二士1.

故選：D

【變式訓練1-2】.（2021?上海高一專題練習）已知集合A={1,3,而},3={1,加},8屋A,則〃Z

()

A.或6B.或3C.1或GD.1或3

【答案】B

【分析】

利用集合的包含關系可得加=3或機=而，求出小，再根據集合的互異性即可求解.

【詳解】

因為集合A=[1,3,而},B=,且8=所以5=3或機=詬，

若加=3,則4=卜,3,6},8={1,3},滿足B=A；

若機=5/企，則，"=0或"7=1,

當機=0時，A={1,3,0},8={1,0},滿足8=A；

當機=1時，集合A中元素不滿足互異性，舍去，

故選：B.

例2.(2021?上海高一專題練習)設集合M={x|x=4n+1,nWZ},N={x|x=2n+1,nWZ},

貝()

A.MNB.NMC.MEND.NGM

【答案】A

【分析】

根據集合元素的特征確定正確選項.

【詳解】

對于集合N,當n=2k時，，x=4k+l(kWZ)；當n=2k-l時，x=4k-l(kWZ).所以N=

{x|x=4k+l或x=4k—l,AWZ},所以MN.

故選：A

【變式訓練2-1】.(2020?江西南昌二中高一期中)集合M=1Ha=&±g,Aez}與

汽=卜,=3＜之間的關系是()

A.MqNB.NjMC.M=ND.McN=0

【答案】A

【分析】

根據AeZ表示所有的整數，2k±1表示所有的奇數，結合題中條件，即可得出結果.

【詳解】

集合M=卜,=ez},N={a|a=ez},

因為kwZ表示所有的整數，2Z±1表示所有的奇數，

所以M=N.

故選：A.

重難點題型突破2空集

例3.(1)(2020?安徽安慶市?桐城市第八中學高一月考)下列六個關系式中正確的個數是

()

(1)0(={0}(2)0={0}(3)0=0(4)0G{0}(5)Oe0(6)0a0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根據空集的概念及性質、集合相等的含義以及元素與集合、集合與集合的關系，判斷各項的

正誤，即可知正確關系式的個數.

【詳解】

空集是任意集合的子集，所以(1),(6)正確；

由集合相等，即所含元素相同，所以(2)錯誤；

元素與集合只有屬于、不屬于關系，所以(3)錯誤；

而0e{0}正確，Oe0錯誤，所以(4)正確，(5)錯誤；

共有3個正確.

故選：C

(2).(2021?江蘇)(多選題)下列集合的關系，正確的是()

A.0U{0}B.0={0}

C.{0}20D.0e{0}

【答案】ACD

【分析】

根據元素與集合的關系、集合與集合的關系、空集是任意集合的子集逐項判斷.

【詳解】

解：A.空集是任意非空集合的真子集，故A正確；

C.空集是任意集合的子集，因為{0}是含有一個元素的集合，所以{0}2。正確；

D.空集是空集構成的集合中的元素，滿足屬于關系，故D正確，

B中左邊是空集，右邊是含有一個元素的集合，不相等，B不正確；

故選：ACD.

【變式訓練3-11.（多選題）（2020?深州長江中學）下列各式中，正確的選項是（）

A.{0}e{0,l,2}B.{0,1,2}c{2,l,0}C.0a{0,1,2}D.0={0}

【答案】BC

【分析】

利用集合間的關系及空集的性質，即可知各選項的正誤.

【詳解】

A中，集合與集合間沒有從屬關系，錯誤.

B中,{0,1,2},{2,1,0}是相等的集合,所以{0,1,2}/{2,1,0},正確.

C中，空集是任何集合的子集，正確.

D中，空集與一個非空集合不相等，錯誤.

故選：BC

【變式訓練3-2】.（2021?江蘇揚中市第二高級中學高一開學考試）若。是卜,44，。e4的

真子集，則實數。的取值范圍是.

【答案】［。,+8）

【分析】

根據題意以及真子集定義分析得出x2<a有實數解即可得出答案.

【詳解】

若0是{小"“，ae/?}的真子集，則卜,。a€可不是空集，即x*a有實數解，故

a>0,即實數”的取值范圍是[0,+w).

故答案為:[0,用)

重難點題型突破3集合相等

從集合相等的概念入手，尋找兩個集合中元素之間的關系，看一個集合中的元素與另一集

合中的哪個元素相等，一般需要分類討論，在求出參數值后，要注意檢驗是否滿足集合中元

素的互異性及是否使有關的代數式有意義.

例4.(2020?安徽省含山中學高一月考)已知集合A={a-3,2a+l,/+l},集合8={0,l,x}.

(1)若-3eA,求“的值；

(2)是否存在實數X,使A=8.

【答案】(1)a=-2；(2)不存在.

【分析】

(1)轉化條件為a—3=—3或2a+l=—3,驗證元素的互異性即可得解；

(2)按照a-3=0、2a+l=0討論，驗證即可得解.

【詳解】

(1)由題意，a—3=—3或2a+l=—3,解得a=0或a=—2,

當〃=0時，A={-3,1,1},不成立；

當a=—2時，A={-5-3,5),成立；

a=—2.

(2)由題意,片+1H0,

若。一3=0,則a=3,A={0,7,10}wB,不合題意；

若2a+l=0,則a=_g,A=不合題意；

二不存在實數“，%使得A=B.

【變式訓練4-1】.(2020?河北省曲陽縣第一高級中學高一月考)設a,〃eR,若集合

{1,。+8。}={().，/卜求/儂+)2020的值

【答案】2.

【分析】

由集合{1,〃+6,“}={o,，，，列出方程組，求得。力的值，即可求解.

【詳解】

由題意，集合{La+〃,a}={o,g力},可得"0,a",

[/?=1

由兩個集合相等定義可知，若,7得。=-1,經驗證，符合題意；

[a+Z?=O

2=1

若,由于4*0,則方程組無解，

a+h=0

綜上可知，a=-i,b=\,故/。2。+從。2。=2.

【點睛】

本題主要考查了根據集合相等求參數，其中解答中熟記集合相等的概念，結合元素的互異性

求解是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.

重難點題型突破4子集和真子集個數問題

1.有限集子集的確定問題，求解關鍵有三點：

（1）確定所求集合；（2）注意兩個特殊的子集：。和自身；

（3）依次按含有一個元素的子集，含有兩個元素的子集，含有三個元素的子集……寫出子

集.就可避免重復和遺漏現象的發(fā)生.

【名師點睛】如果有限非空集合A中有c個元素，則：

（1）集合A的子集個數為2"；

（2）集合A的真子集個數為2"-1；

（3）集合A的非空子集個數為2"-1；

（4）集合A的非空真子集個數為2"-2.

例5.（1）、（2021?上海高一專題練習）集合{。力,0的所有子集為,其中

它的真子集有個.

【答案】0,㈤，{印，{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

【分析】

根據列舉法寫出子集，即可得出結果.

【詳解】

集合{a,b,c}的子集有:0,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,h,c\,

其中除{a,A,c}外，都是{a1,c}的真子集，共個.

故答案為:0,{〃},{%{c},{a,b},{a,c},{b,c\,{a,b,c}；.

【點睛】

本題主要考查列舉集合的子集，以及求真子集的個數，屬于基礎題型.

（2）.（2019?鎮(zhèn)江市實驗高級中學高一月考）集合4=卜尸_1=0}的子集個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

先求得集合A,根據元素的個數，即可求得子集的個數，即可得答案.

【詳解】

由爐=1,解得X=±1,

所以集合4={-1，1},含有2個元素

所以集合A的子集個數為2?=4.

故選：D

【變式訓練5-1】.（2020?江蘇省板浦高級中學高一月考）滿足的{1}aAU{1，2,3,4}集合的個

數（）

A.4B.8C.15D.16

【答案】B

【分析】

由{1}GAU{1,2,3,4},可得集合4是集合{1,2,3,4}的子集且1在子集中，從而可求出集合4

【詳解】

解：因為{l}aAg{123,4},

所以A={1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4},

所以滿足集合A的個數為8,

故選：B

［變式訓練5-2】.（2020?西安市第八十三中學高一月考）滿足{1}cX=123,4}的集合X有

（）

A.4個B.6個C.8個D.16個

【答案】C

【分析】

根據子集的概念可知，集合X中必含有元素1,且最多含有4個元素，對集合X中元素個數

分類，即可列舉出滿足題意的集合X,從而求出個數.

【詳解】

解：由題意可以確定集合X中必含有元素1,且最多含有4個元素，

因此集合X可以是{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4）,

{1,2,3,4},共8個.

故選：C.

重難點題型突破5全集與補集及其運算

例6.（1）、（2021?江蘇高一課前預習）已知全集。=七集合M={x|x<-2或X22},則

【答案】{x|-2MX<2}

【分析】

由題意結合集合的補集運算，計算即可得解.

【詳解】

因為全集。=%集合乂=口卜<一2或貶2},

所以小M={x|—24x<2}.

故答案為：卜卜2"<2}.

【點睛】

本題考查了集合的補集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.

（2）.（2020?貴陽市清鎮(zhèn)養(yǎng)正學校高一期中）設集合4={0,2,4,6,8,1。},8={4,8},則3*=

A.{4.8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}

【答案】C

【詳解】

試題分析：由補集的概念，得。3={0,2,6,10},故選C.

【考點】集合的補集運算

【名師點睛】研究集合的關系，處理集合的交、并、補的運算問題，常用韋恩圖、數軸等兒

何工具輔助解題.一般地，對離散的數集、抽象的集合間的關系及運算，可借助韋恩圖，而

對連續(xù)的集合間的運算及關系，可借助數軸的直觀性，進行合理轉化.

【變式訓練6-1】.（2020?翁牛特旗烏丹第二中學高一期中）設全集U=R,集合

A={x\2<x<5}f則QA=.

【答案】{x|x<2或x>5}

【分析】

根據補集的定義，利用數軸觀察集合A在全集。下的補集.

【詳解】

因為U=R,A={x|2<x<5},所以<7儲={x|x?2或x>5}.

【點睛】

集合中求補集時，要注意端點是否可取到.

【變式訓練6-2】.（2021?江蘇高一課前預習）已知集合U=R,>4={x|-1<X<1},B={x\x-a

<0},若滿足Bq則實數a的取值范圍為

【答案】a<-1

【分析】

求出CM,再利用集合的包含關系即可求解.

【詳解】

因為A={x\-1<X<1},所以GJA={X|X>1或x<-1},

8={x|x-a<0}={x|x<a}

若8口小,則av-l.

故答案為：o<-1.

重難點題型突破6根據兩個集合之間的關系求參數范圍

例7.（2019?金華市江南中學高一月考）集合A={x|x-4=0},集合

B={x|x2-2（?+l）x+a2-l=0},若Ad,求實數。的值.

【答案】。=1或4=7

【分析】

將4代入方程^-2（。+1）苫+〃-1=0,從而可求。的值.

【詳解】

A={4},

因為A=8,故4w3,所以16—8（t7+l）+6T-1=0,

整理得到蘇-8〃+7=0,解得。=1或4=7.

【點睛】

本題考查集合的包含關系，注意將包含關系轉化為參數滿足的方程，本題屬于基礎題.

例8、（2020?江蘇省海頭高級中學高一月考）設機為實數，若全集U=R,A={x|x<l},

8={小>〃”.

（1）若&A8,借助數軸求實數機的取值范圍；

（2）若它B,借助數軸求實數，”的取值范圍.

【答案】（1）（—1）;（2）[l,+oo）.

【分析】

（D本題首先可根據4={小<1}得出①A={x|讓1},然后根據aAB即可得出結果;

（2）本題可根據6A巨B得出結果.

【詳解】

（1）因為A={x|x<l},所以6A={x|xNl},

因為Q,AB,B={x\x>m],如圖,

0m

所以〃?<1,實數團的取值范圍為（口」）.

（2）因為6A={X|XN1},即A^B,B={x|x>/n},如圖,

01m

所以加2/,實數用的取值范圍為［l,+oo）.

四、定時訓練（30分鐘）

1.（2016?江西南昌?高三月考（文））集合A={-1,5,1},A的子集中，含有元素5的子集

共有

A.2個B.4個C.6個D.8個

【答案】B

【詳解】

試題分析：由集合A中的元素有-1,5,1共3個，含有元素5的子集，可能含有-1,1,

代入公式得結論.

解：由集合A中的元素有-1,5,1共3個，含有元素5的子集，可能含有-1,1,代入公

式得：2?=4,

故選B.

考點：子集與真子集.

2.（2020?上海高一單元測試）定義A*B={x|xwA且%任用，若A={xwN|04x413},

8={xeN|x>9},則A*8的子集個數為,非空真子集個數為

【答案】10241022

【分析】

先判斷A*B中有幾個元素，再判斷A*B有多少個子集；非空真子集個數為子集個數減2.

【詳解】

由A*3的定義知：

若A={0,1,2,3,4,5,6,7,9,10/1,12,13},8={10,11,12,…},

則A*8={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9},

，子集個數為2'°=1024,非空真子集個數為210-2=1022.

故答案為：1024；1022.

【點睛】

本題考查集合子集、真子集個數的判斷問題，較簡單.一般地，對于含一個有〃個元素的集

合，其子集個數為2"個，真子集個數為2"-1個，非空真子集為2"-2個.

3.(2022?上海高三專題練習)設/={(x,y)|,nx+秒=4},且{(2,1),(-2,5)}UM,則

44

【答案】?I

【分析】

(2m+n=4-

根據題意得到。解得答案.

[~2m+5n=4

【詳解】

f2m+n=444

{(2,1),(-2,5)}M,則cc.解得M=\n=-.

[-2機+5〃=433

44

故答案為：—:—?

33

【點睛】

本題考查了根據集合的包含關系求參數，意在考查學生的計算能力.

4.(2020?江蘇儀征市第二中學高一月考)集合的子集共有個.

【答案】

【分析】

將子集一一列出即可.

【詳解】

集合A={-1,0,1}的子集有:0,{-1),{0},{1},{T,0},{0,1},{-1,1},

{-I,0,1}共8個

故答案為:.

5.(2020?揚州大學附屬中學高一月考)設P,Q為兩個非空實數集合，定義集合

尸*0={z|z=",awRbe。},若尸={—1,0,1},Q={-2,2},則集合尸*。有________,個子

集.

【答案】8

【分析】

根據條件求出集合P*Q即可.

【詳解】

因為P={—l,0,l},Q={-2,2},P^Q={z\z=ab,aeP,beQ}

所以P*Q={-2,0,2}

所以集合P*Q有23=8個子集

故答案為：8

【點睛】

本題考查的是集合的新定義的題和集合的子集個數，較簡單.

6.（2019?江蘇揚州中學（文））設A=k|x2-8x+15=0},B={x|ar-l=0},若8=則

實數。組成的集合C=.

【答案】卜算

【分析】

先求出A的元素，再由8G4,分B=。和8H巾求出a值即可.

【詳解】

A={x\x2-8x+15=0},

A4={3,5}

又,:B—{x\ax-1=0},

二①3時，a=0,顯然80

②時，B={-},由于8。

a

：.-=3或5

a」或」

35

故答案為{0,g-}

【點睛】

本題主要考查由集合間基本關系求參數值或范圍的問題，屬于基礎題.

7.（2015?江蘇高郵?）已知集合。={2,4,5,7,8},4={4,8},則Q,A=.

【答案】{2,5,7}

【解析】

試題分析：集合A的補集為全集中不在集合A