2022高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷01理含答案

2022高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷

選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

x|三電@],

1.若集合〃=B={X\X2-X-2<0},則/=

X—1I

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

C

集合J=jx|x+；W。}={x|-2^x<1},

S={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

,Jp|^={x|-l<x<l}=(-l,l).

故選C.

2.若虛數(shù)z滿(mǎn)足z(l+。=|z「，則2=

A.\—iB.l+iC.—1—zD.—1+f

A

設(shè)z=a+6i,a,beR,

則由z(l+i)=|z|2,得(a+bi)(l+i)=\a+bi^=a2+b2,

22

^a-b+(a+b)i=a+bf

所以卜f+J解得

[a+/?=0[b=-1

所以z=1-i.

故選A.

r2V2

3.已知命題p:Vke(l,2),方程------匚=1都表示雙曲線(xiàn)；q；拋物線(xiàn)歹=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

2-kk-\

(1,0)；下列判斷正確的是

A.p是假命題B.q是真命題

C.p/\(—?夕)是真命題D.(―>p)A]是真命題

c

22

方程」----J=1表示雙曲線(xiàn)，則有(2-%)(A-l)>0,解得1“<2,

2-kk-\

22

故命題P:VAc(l,2),方程上——匚=1都表示雙曲線(xiàn)為真命題；

2-kk-\

拋物線(xiàn)y=4X2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,焉)，

故q拋物線(xiàn)y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)是假命題；

所以為真，「0為假，

則pA(rq)為真，(-為假，

故選C.

4.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是

A./(X)=X3+3X2B./(x)=2'+2T

3+x

C./(x)=xsinxD.f(x)=In----

3-x

D

對(duì)于/,???/(-1)=2,f(1)=4,/(-"-/(1),

二函數(shù)不是奇函數(shù)：

對(duì)于8,函數(shù)定義域?yàn)镽,-*+2?，)=2*+27=/(外,

.??函數(shù)為偶函數(shù)：

對(duì)于C,函數(shù)定義域?yàn)镽,/(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),

二函數(shù)為偶函數(shù)：

對(duì)于。，由三日>0,得-3<x<3,函數(shù)定義域?yàn)?-3,3),

3-x

而/(-x)=/n|—?尸=一加卜史=-f(x),

3+x3—x3-x

函數(shù)為奇函數(shù).

故選D.

5.已知4=2"*,b=拒,c=log23,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

C

根據(jù)指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，

a=2°>3,1cb=百<2,1<c=log,3<2?

9=6=108：%c=log23,

由于函數(shù)加=log?f為增函數(shù)，

由于y=2^的值接近于4,

所以Q>6>C.

故選：C.

6.在正方體/BCD—/圈GA中，異面直線(xiàn)4片與BD的夾角為

A.-B.2C.-D.-

2346

B

在正方體ABCD-A】BCQi中，DDJ/BB},且DD】=BBX,

所以四邊形6AA。為平行四邊形，所以

所以異面直線(xiàn)AB】與BD夾角等于/ABR或其補(bǔ)角，

連接力A，因?yàn)椤?4口為正三角形,

所以n/8a=-,

113

所以異面直線(xiàn)/鳥(niǎo)與夾角為工.

13

故選B.

7.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分

為陽(yáng)爻“------”和陰爻“--------”，如圖就是一重卦.如果某重卦中有3個(gè)陽(yáng)爻，3個(gè)陰爻，則它

可以組成種重卦.

A.6B.15C.20D.1

C

每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，某重卦中有3個(gè)陽(yáng)爻，3個(gè)陰爻，則有C；=20種.

故選C.

7T

8.將函數(shù)/(X)=sin(3x+-)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖

6

象向右平移"(〃?〉0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若g(x)為奇函數(shù)，則加的最小值為

.71「乃_71口71

A.—B.-C.—D.—

18963

D

將函數(shù)/(x)=sin(3x+%)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍(縱坐標(biāo)不變)，得到

6

,.14、

y=sin(-x+-)，

2O

再將所得到的圖象向右平移機(jī)(加＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象由，

即g(x)=sin[;(X-機(jī))+g]=sin(＜x+￡-g)，

2o2o2

因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以,￡=keZ.

解得m=——2k兀.

3

因?yàn)閳F(tuán)＞0,所以當(dāng)a=0時(shí)，他的最小值為C.

3

故選D.

9.在圓一+^2=4內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線(xiàn)x+y-2及=0的距離小于1的概率為

A.1B.1-±C.二立D.L3

334萬(wàn)34乃34萬(wàn)

C

由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得原點(diǎn)O到直線(xiàn)x+y-2a=0的距離為在言=2,

故到直線(xiàn)x+y-2&=0距離為1的點(diǎn)在直線(xiàn)x+y+c=0上,

則?，+?=],c_或c=-3應(yīng)(舍去)；

滿(mǎn)足圓/+「=4內(nèi)至IJ直線(xiàn)X+y一0=0的距離小于1的點(diǎn)位于兩直線(xiàn)之間的弓形內(nèi),

由于圓的半徑為2,ZAOB=—,48=2百；

3

S弓形=；x與x2?-gx2^x1=?一生.

故概率尸=加=^-----」一走.

Sggj^7l34萬(wàn)

故選C.

1,

10.已知函數(shù)/(x)=x、x—5(加+1)》2—X有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

A.(--,0)B.(-1,--1)C.(-oo,l-l)I).(-l,+a>)

eee

B

由/(x)=xlnx一；(加+l)x2-x,

得/'(x)=/及x-(加+l)x,x>0.

要使f(x)=xlnx-(/n+\)x2-x有兩個(gè)極值點(diǎn)，

只需/")=歷%-(加+1)工=0有兩個(gè)變號(hào)根，即加+1=蛆有兩個(gè)變號(hào)根.

x

人，、Inx/八、，/、\-lnx

令g(x)=-，(工>0)，則milg(x)=-L，

Xx~

由g'(x)=o得X=e，易知當(dāng)xw(0,e)時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xw(e,+oo)時(shí)，g'(x)<0，此時(shí)g(x)單調(diào)遞減.

所以ga"=g(e)=L

e

而g(-)=-e<0,lim=lim工=0,

e%.v->+<c]

故選B.

11.已知。為橢圓C的中心，戶(hù)為C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在。外，MO=3OF,經(jīng)過(guò)“的直線(xiàn)/與C的

一個(gè)交點(diǎn)為N,戶(hù)是有一個(gè)內(nèi)角為120。的等腰三角形，則。的離心率為

A.旦B.且C.V3-1D.包里

434

B

不妨設(shè)尸(c,0),MO=3OF,則M(-3c,0),

易知AMNF中只能NMNF=120°,

AWNF是有一個(gè)內(nèi)角為120。的等腰三角形，則N(-c,土一六c),

42

/4P2

將N代入橢圓方程得到斗+1=1,即e?+-^―=1,

a2b23(1")

解得92=,或02=3(舍去)，

3

故6=且，

3

故選B

12.己知函數(shù)/■(刈=泌-；,g(x)=-

.若關(guān)于x的方程g(/(x))-m=0有四個(gè)不同的解，則

(x-1)lnx,x>0

實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合為()

./〃2、B.(竽1)Ini

A.(0,—)C.D.(0,1)

A

解：設(shè)r=/(x),方程g(/(x))-加=0有四個(gè)不同的解，

???/(-X)==/(X),

.?”=/(%)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/*)=，-；為增函數(shù)，則當(dāng)試0時(shí)，，=/(、)為減函數(shù),

?二0麗=/(°)=*一；=；'即,

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=(x-\)lnx,則8，(工)=歷工+,。-1)=/九丫一,+1,

xx

另g'(x)=0,解得x=\,

所以當(dāng)xw(0,1)時(shí)，g\x)<0,g(x)為減函數(shù),

當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，g\x)>0,g(x)為增函數(shù),

作出g(x)在x>0時(shí)的圖像，如圖所示:

由圖可知，當(dāng)加€(0,當(dāng))時(shí)，尸g(f),的圖像與廣加圖像有2個(gè)交點(diǎn),

作出f=/(x)的圖像，如下：

此時(shí)y=%與yj分別與y=f(x)有2個(gè)交，即g(/(x))-m=0有4個(gè)不同的解，

故實(shí)數(shù)〃7的取值范圍為(0,等)，

故選A.

二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知雙曲線(xiàn)C:「-==l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F2,過(guò)工的直線(xiàn)/交。的右支于Z,

ab

8兩點(diǎn),且萬(wàn)?麗=0,12|萬(wàn)|=5|斯則C的離心率為.

回

可設(shè)片|=12f,/>0,

由12|萬(wàn)|=5|福可得|/8|=5f,

由雙曲線(xiàn)的定義可得14g|=|凋|-2a=\2t-2a,

|BF21=|AB\-\AF2h5/-(l2t-2a)=2a-7f,

由雙曲線(xiàn)的定義可得|班|=|BF2\+2a=4a-lt,

2

在直角MB"中，可得|此卜yl\AB^+\AFt|=13f=4a-,

即/=L,

在直角中，可得|4耳F+MgfwE笈F，

即為(￡“)2+(|a)2=4c2,即0=§“，

可得e，=昱.

a5

故”

5

14.已知向量I=(2,3),b=(-l,w),且值與之+B垂直，貝1］加=.

H

~T

向量"=(2,3),b=(一1，加),

/.a+h=(1,3+加)，

，?2與2+B垂直,2+3(3+加)=0,解得加=-g.

,,11

故一一.

3

15.在&48c中，內(nèi)角N,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知8=工，a=2,b=B則A48c的

3

面積為.

x/3

V

14+02—3

由余弦定理可得，-=,

24c

解可得，c=l,

所以A/48C的面積S=—acsin5=—x2x1x—=—.

2222

故立

2

2x+3@

16.將滿(mǎn)足卜20的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的主觀(guān)圖面積為一.

y^-1

8

2x+y-3W0

將滿(mǎn)足卜的封閉圖形繞》軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體

*-1

是圓錐,

圓錐的底面半徑為：2,高為4,

幾何體的主視圖圖是等腰三角形,

面積為：-x4x4-8.

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為，4=1,幺+&?+…也+&=〃5》2),neN\

12n—1n

(1)求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

(2)若q,ak,S*+2成等比數(shù)列,keN",—+—++――的值.

5,52

72

(1)<??=?；(2)

37

解:(1)數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和為S,,,q=1,%+幺+…也+%=〃(磅2),①,

12n-1n

當(dāng)〃22時(shí)，&+a+…也=("-1),②,

1277-1

①-②得：%=1,

n

所以(首項(xiàng)符合通項(xiàng)),

故an=n?

(2)由于《,=“，所以，=巴p,

…6+2)("3)

故1+2_2，

由于卬，%，S〃+2成等比數(shù)列，

(左+2)("3)

所以公=

2

解得％=6或-1（負(fù)值舍去）,

￡='^=2(；*)，

1+±+……+-L=2X(1-1+1-1+...+±-±)=2X(1-±)=^

￥S2Sk2S}S2S3622336373737

18.某工廠(chǎng)的工人生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40〃〃〃的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，從該廠(chǎng)的1000件零件中

抽出50件，測(cè)得其內(nèi)徑尺寸如下（單位：〃向）:

25.41x825.42x625.40x425.38x11

25.39x825.44x125.43x725.37x5

這里用.XX”表示有〃件尺寸為x/nm的零件.

(1)求這50件零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)五；

(2)設(shè)這50件零件內(nèi)徑尺寸的方差為s',試估計(jì)該廠(chǎng)1000件零件中其內(nèi)徑尺寸在叵-s,亍+s)內(nèi)

的件數(shù).

參考數(shù)據(jù)：取"記=2.04.

(1)25.40；(2)740.

(1)計(jì)算這50個(gè)零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)為：

x=^x(25.41x8+25.42x6+25.40x4+25.38x11+25.39x8+25.44x1+25.43x7+25.37x5)=25.40;

(2)計(jì)算這50件零件內(nèi)徑尺寸的方差為：

222222

?=—x[0.012X8+0.02X6+02X4+(-0.02)xll+(-0.01)x8+0.04x1+0.03x7+(-0.03)x5]

所以s=—x2.04=0.0204,

100

所以叵-s,x+s)=(25.3796,25.4204),

計(jì)算這50個(gè)零件內(nèi)徑尺寸在（亍-s,亍+s）內(nèi)的件數(shù)是8+6+4+11+8=37,

估計(jì)該廠(chǎng)1000件零件中其內(nèi)徑尺寸在叵-s,三+s）內(nèi)的件數(shù)為1000*347=740.

19.如圖，在正三棱柱力8c-48G中，AC=2AAX=4,E,尸分別是8C,4片的中點(diǎn).

（I）求證：EF//平面4CG4；

(II)求二面角Z-EF-C的余弦值.

(I)證明見(jiàn)解答;

(I)證明：如圖,取4G的中點(diǎn)G,連接EG,FG,

因?yàn)镋,尸分別是8C,4用的中點(diǎn),

所以EG//CG，F(xiàn)G/1A?、,

又EGp|FG=G,C*4G=G，

所以平面EFG//平面ACCX4,

又EFu平面EFG,

所以EF//平面4CG4.

(II)由題意，以N為原點(diǎn)，垂直與XE的直線(xiàn)為x軸，NE為y軸，44為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

則4(0,0,0),￡(0,2也,0),F(1,G，2),C(-2,26,0),

所以荏=(0,26，0),而=(1,-百，2),CE=(2,0,0),

設(shè)平面/E尸的一個(gè)法向量為而=(占，%，21),

則口e=2島=0,取k2,則加=(2,0,7),

in-EF=&-6凹+2z,=0

設(shè)平面CE尸的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(%,y2,z2),

m-CE=2x=O,取為=2,則萬(wàn)=(0,2,6)，

則2

ifi-EF=x2-6y2+2Z2=0

_inn-_J105

所以cos<m〃>=\in\\n\=45xyfl=~^5~

由圖象可得二面角/-EF-C的平面角為銳角,

20.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M(a,4)在C上，|A/F|=4.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)廠(chǎng)的直線(xiàn)/與C交于/,B兩點(diǎn),若/與圓，:(x-l)2+V=_l相切，求A4O8的面積.

(1)/=8x；(2)16.

(1)拋物線(xiàn)C：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F§,0),準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-5,

點(diǎn)"(",4)在C上，|披|=4,可得。+事=4,2pa=16,

解得p=4,則C的方程為/=8x；

(2)由(1)可得尸(2,0),設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=%(x-2),

圓，:(x-l>+y2=；的圓心，(i,o),半徑為:，

/與圓“：(工-1)2+/」相切，可得匕

47TTF2

解得4=±止，

3

則直線(xiàn)/的方程為y=土與(x-2),

聯(lián)立拋物線(xiàn)方程/=8x；可得--28X+4=0,

設(shè)4(玉，必)，B(X2,y2)9則再+/=28,

可得|/8|=芭+%+4=28+4=32,

又。到直線(xiàn)月8的距離為1==^==1,

FI

則A48。的面積為』x1x32=16.

2

a—1

21.已知函數(shù)/(x)=a/〃x+----x,其中a20.

x

(1)討論函數(shù)/(X)的極值；

(2)設(shè)加eZ,當(dāng)。=1時(shí)，若不等式/(x)<m-(x-2)e”對(duì)任意xw(O,1]恒成立，求機(jī)最小值.

(1)當(dāng)時(shí)，/(x)的極小值為/(1)=a-2,無(wú)極大值，當(dāng)1<。<2時(shí)，“X)的極小值為

f(a-\)=aln(a-\)+2-a,極大值為/(1)=a-2；(2)-3.

(1)〃x)的定義域?yàn)?0,”)，

....a,a-\x1-ax+a-\(x-l)[x-(a-l)]

/5)=——[----=--------3---=------;---->

xxxx

①當(dāng)a-KO,即時(shí),當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，f\x)>0,則函數(shù)f(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，/'(x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,/(X)有極小值為/(1)=a-2,無(wú)極大

值；

②當(dāng)即l<a<2時(shí)，當(dāng)xw(O,"l),(l,+oo)時(shí)，f\x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,a-1),

(1,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xw(a-l,l)時(shí),f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在(a-1,1)上單調(diào)遞增,

則“X)的極小值為f(a-l)=a加(°一1)+2-。,極大值為/(1)=a-2.

綜上所述：當(dāng)“W1H寸，〃x)的極小值為/(1)=。-2,無(wú)極大值，

當(dāng)1<。<2時(shí)，/(萬(wàn))的極小值為/(。-1)=。/〃(。-1)+2-。，極大值為/(1)=。-2；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=Inx-x,

由f(x)<m-(x-2)ex,可得”?>-x+(x-2)e*,

設(shè)6(x)=-x+(x-2)e*,(0,1),則〃(x)=(x-l)(e*-！)，

x

當(dāng)0<x^A時(shí)，x-K。，

設(shè)w(x)=e、—'，貝1］"'(幻=d+4，

XX

.?.〃(x)在(0,1］上單調(diào)遞增，

又〃(1)=e-1>0,〃(；)=&-2<0,

???存在不￡(［,1］,使得〃(與)=0,

2%

lnxQ=-x0,

當(dāng)工￡(0,無(wú))時(shí)，M(X)<0,h\x)>0,

當(dāng)xw(%o,1］時(shí)，?(%)>0,，

函數(shù)力(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，在(％,1］上單調(diào)遞減，

12

得h{x}niax-(x0-2)-e"+lnxQ-x0=(x0-2)----2x0=1-(一+2%)，

X。%

???函數(shù)歹=1-(42+2幻在區(qū)間(1，1)上單調(diào)遞增，

x2

h(x0)e(-4,-3),

又加〉〃(五)對(duì)任意的X￡(0,1］恒成立，wGZ,

，加2-3,

故用的最小值為是-3.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選

修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.以直角坐標(biāo)坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)

度單位，已知曲線(xiàn)G的極坐標(biāo)方程為夕=4cos，，曲線(xiàn)G的參數(shù)方程為F='"+'c°saa為參數(shù)

=/sina

TTTT

04<1)，射線(xiàn)6=9，O=(p+—,0=(p---分別與曲線(xiàn)G交于極點(diǎn)O外的三點(diǎn)Z,B,C.

44

(1)求l°B|+|OC|的值;

Q