隨機(jī)過(guò)程的發(fā)展

隨機(jī)過(guò)程的發(fā)展隨時(shí)間推進(jìn)的隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受許多隨機(jī)因素的影響，它本身具有隨機(jī)性，因此兇『=1,2,...｝便是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。類似地，森林中某種動(dòng)物的頭數(shù)，液體中受分子碰撞而作布朗運(yùn)動(dòng)的粒子位置，百貨公司每天的顧客數(shù)，等等，都隨時(shí)間變化而形成隨機(jī)過(guò)程。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)過(guò)程都具有程度不同的隨機(jī)性。氣體分子運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于相互碰撞等原因而迅速改變自己的位置與速度,其運(yùn)動(dòng)的過(guò)程是隨機(jī)的。人們希望知道，運(yùn)動(dòng)的軌道有什么性質(zhì)（是否連續(xù)、可微等等）？分子從一點(diǎn)出發(fā)能達(dá)到某區(qū)域的概率有多大？如果有兩類分子同時(shí)運(yùn)動(dòng)，由于擴(kuò)散而互相滲透，那么擴(kuò)散是如何進(jìn)行的,要經(jīng)過(guò)多久其混合才會(huì)變得均勻？又如，在一定時(shí)間內(nèi)，放射性物質(zhì)中有多少原子會(huì)分裂或轉(zhuǎn)化？電話交換臺(tái)將收到多少次呼喚？機(jī)器會(huì)出現(xiàn)多少次故障？物價(jià)如何波動(dòng)？這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象為隨機(jī)過(guò)程論提供了研究的課題。一些特殊的隨機(jī)過(guò)程早已引起注意，例如1907年前后，A.A.馬爾可夫研究過(guò)一列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過(guò)程）；又如1923年N.維納給出了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義（后人也稱數(shù)學(xué)上的布朗運(yùn)動(dòng)為維納過(guò)程），這種過(guò)程至今仍是重要的研究對(duì)象。雖然如此，隨機(jī)過(guò)程一般理論的研究通常認(rèn)為開始于30年代。1931年，A.H.柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》；三年后，A.只.辛欽發(fā)表了《平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程奠定了理論基礎(chǔ)。稍后，P.萊維出版了關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)與可加過(guò)程的兩本書，其中蘊(yùn)含著豐富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《隨機(jī)過(guò)程論》問(wèn)世，它系統(tǒng)且嚴(yán)格地?cái)⑹隽穗S機(jī)過(guò)程的基本理論。1951年伊藤清建立了關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的理論（見隨機(jī)積分），為研究馬爾可夫過(guò)程開辟了新的道路；近年來(lái)由于鞅論的進(jìn)展，人們討論了關(guān)于半鞅的隨機(jī)微分方程；而流形上的隨機(jī)微分方程的理論，正方興未艾。60年代，法國(guó)學(xué)派基于馬爾可夫過(guò)程和位勢(shì)理論中的一些思想與結(jié)果，在相當(dāng)大的程度上發(fā)展了隨機(jī)過(guò)程的一般理論，包括截口定理與過(guò)程的投影理論等，中國(guó)學(xué)者在平穩(wěn)過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程、鞅論、極限定理、隨機(jī)微分方程等方面也做出了較好的工作。研究隨機(jī)過(guò)程的方法是多樣的，主要可分為兩大類：一是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時(shí)、隨機(jī)微分方程等；另一是分析方法，工具是測(cè)度論、微分方程、半群理論、函數(shù)論、希爾伯特空間等。但許多重要結(jié)果往往是由兩者并用而取得的。此外，組合方法、代數(shù)方法在某些特殊隨機(jī)過(guò)程的研究中也起一定的作用。研究的主要課題有：多指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程、流形上的隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)微分方程以及它們與微分幾何的關(guān)系、無(wú)窮質(zhì)點(diǎn)馬爾可夫過(guò)程、概率與位勢(shì)、各種特殊過(guò)程的專題討論等。隨機(jī)過(guò)程論的強(qiáng)大生命力來(lái)源于理論本身的內(nèi)部，來(lái)源于其他數(shù)學(xué)分支如位勢(shì)論、微分方程、力學(xué)、復(fù)變函數(shù)論等與隨機(jī)過(guò)程論的相互滲透和彼此促進(jìn)，而更重要的是來(lái)源于生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)研究和工程技術(shù)中的大量實(shí)際問(wèn)題所提出的要求。目前隨機(jī)過(guò)程論已得到廣泛的應(yīng)用，特別是對(duì)統(tǒng)計(jì)物理、放射性問(wèn)題、原子反應(yīng)、天體物理、化學(xué)反應(yīng)、生物中的群體生長(zhǎng)、遺傳、傳染病問(wèn)題、排隊(duì)論、信息論、可靠性、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)以及自動(dòng)控制、無(wú)線電技術(shù)等的作用更為顯著。隨機(jī)過(guò)程的定義設(shè)（Q,F,p）為概率空間（見概率），T為指標(biāo)t的集合（通常視t為時(shí)間），如果對(duì)每個(gè)tET,有定義在Q上的實(shí)隨機(jī)變量x(t)與之對(duì)應(yīng)，就稱隨機(jī)變量族x=｛x(t),tET｝為一隨機(jī)過(guò)程(簡(jiǎn)稱過(guò)程)。研究得最多的是T為實(shí)數(shù)集R=(-8,呵的子集的情形；如果T為整數(shù)n的集，也稱｛xn｝為隨機(jī)序列。如果T是d維歐幾里得空間Rd(d為大于1的正整數(shù))的子集，則稱x為多指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程。過(guò)程x實(shí)際上是兩個(gè)變?cè)?t,3)(tET,3①)的函數(shù)，當(dāng)t固定時(shí)，它是一個(gè)隨機(jī)變量；當(dāng)3固定時(shí)，它是t的函數(shù)，稱此函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程(對(duì)應(yīng)于3)的軌道或樣本函數(shù)。如不限于實(shí)值情況，可將隨機(jī)變量與隨機(jī)過(guò)程的概念作如下一般化:設(shè)(EQ為可測(cè)空間(即E為任意非空集,￡為E的某些子集組成的。域)，稱X=(X(3),3EQ)為取值于E的隨機(jī)元，如果對(duì)任一B巨,｛3：x(3)EB｝EF。特別,如果為Rd中全體波萊爾集所成的。域(稱波萊爾域)，則取值于Rd中的隨機(jī)元即d維隨機(jī)向量。如果其中RT為全體實(shí)值函數(shù)了=(六t),tET)的集,而為包含一切RT中有限維柱集的最小。域，則取值于E的隨機(jī)元x即為上述的(實(shí)值)隨機(jī)過(guò)程。如對(duì)每個(gè)tET，有取值于E的隨機(jī)元x(t)與之對(duì)應(yīng)，則稱｛x(t),tET｝為取值于E的隨機(jī)過(guò)程。以下如無(wú)特別聲明，只討論取值于(R1,B1)的隨機(jī)過(guò)程。有窮維分布族一維分布函數(shù)描述了隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律(見概率分布)，對(duì)隨機(jī)過(guò)程x=｛x(t),tET｝起類似作用的是它的全體有窮維分布函數(shù)：對(duì)任意n個(gè)tjET,i=1,2,.”n,考慮的聯(lián)合分布函數(shù)，，全體聯(lián)合分布稱為x的有窮維分布族,它顯然滿足下列相容性條件①對(duì)(1,2,...，n)的任一排列(入1,入2,...，入n)，②若m<n，則。反之有著名的柯爾莫哥洛夫定理：設(shè)已給T及一族分布函數(shù)如果它滿足①②則必存在概率空間(Q,F,p)及定義于其上的隨機(jī)過(guò)程x，而且x的有窮維分布族重合于F。從測(cè)度論的觀點(diǎn)看，每一隨機(jī)過(guò)程x=｛x(t),tET｝在(RT,BT)上產(chǎn)生一概率測(cè)度PX，稱為x的分布，它在上述柱集上的值就是正態(tài)過(guò)程有窮維分布都是正態(tài)分布的隨機(jī)過(guò)程,又稱高斯過(guò)程。就象一維正態(tài)分布被它的均值(見數(shù)學(xué)期望)和方差所確定一樣，正態(tài)過(guò)程｛x(t),tET｝被它的均值函數(shù)m(t)=Ex(t)和協(xié)方差函數(shù)A(s,t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所確定，其中A(s，t)是對(duì)稱非負(fù)定函數(shù)，即A(s，t)=A(t,s)，而且對(duì)任意的tjET及實(shí)數(shù)aj，1<i<n，有反之，對(duì)任給的有限實(shí)值函數(shù)m(t)和對(duì)稱非負(fù)定函數(shù)A(s,t)，由柯爾莫哥洛夫定理可證，存在一個(gè)正態(tài)過(guò)程，以m(t)為其均值函數(shù)，以A(s,t)為其協(xié)方差函數(shù)。根據(jù)中心極限定理，許多實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的隨機(jī)過(guò)程可近似地視為正態(tài)過(guò)程。此外，正態(tài)過(guò)程有一系列的好性質(zhì)，如它的最佳線性估計(jì)重合于條件期望,這一點(diǎn)在應(yīng)用上是很方便的，既準(zhǔn)確又便于計(jì)算。因此正態(tài)過(guò)程在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，在無(wú)線電通訊及自動(dòng)控制中尤為重要。為方便計(jì)，設(shè)m(t)啪0。任取tj,teT,用L(x(t1),x(t2),...,x(tn))表示由x(t1),x(t2),.”x(tn)的線性組合所構(gòu)成的希爾伯特空間，x(t)在此空間上的投影記作稱為x(t)關(guān)于x(t1),x(t2),...，x(tn)的最佳線性估計(jì),即線性最小均方誤差估計(jì);條件期望E(x(t)|x(t1),x(t2),...，x(tn))則是非線性的最小均方誤差估計(jì)。對(duì)正態(tài)過(guò)程來(lái)講，這兩種估計(jì)以概率1相等?？煞中栽O(shè)F是p-完備的，即F包含任何概率為零的集的一切子集。在隨機(jī)過(guò)程的研究中,Q的某些重要的子集并不能由事件(即F中的元素)經(jīng)可列次集運(yùn)算而得到。例如對(duì)一切若T不可列，則作為不可列多個(gè)事件的交,A未必是一個(gè)事件，也就談不上它的概率。為了解決這類問(wèn)題，杜布引進(jìn)了隨機(jī)過(guò)程可分性的概念。稱過(guò)程x關(guān)于T的某一可列稠集Q可分(或簡(jiǎn)稱可分)，是指除了一個(gè)概率為零的集N外,x在每一teT處的值，可以用限于Q的x在t附近的值來(lái)任意逼近；即任給不屬于N的3,存在｛rj｝eQ，使得rj^t,且x(rj,3)一x(t,3)。所謂Q為T的稠集，是指T的每一點(diǎn)必是Q中某個(gè)點(diǎn)列的極限。如果x關(guān)于Q可分，則可以證明上述的A是一個(gè)事件，而且有p(A)=p((w:|x(r,w)|<a,對(duì)一切reQ｝)。如果過(guò)程x關(guān)于T的任一可列稠集都可分，則稱x完全可分。設(shè)x=｛x(t)，teT｝與Y=｛Y(t),teT｝為定義在概率空間(Q，F(xiàn)，p),上的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)任何teT,p(x(t)=Y(t))=1,則稱x與Y等價(jià)(x與Y互為修正);這時(shí)，x和Y有相同的有窮維分布族。雖然任給的過(guò)程x未必可分，但杜布證明了下列重要結(jié)果：對(duì)任一過(guò)程x,必存在與它等價(jià)的可分過(guò)程Y。因此在討論僅與有窮維分布有關(guān)的性質(zhì)時(shí)，可取一可分過(guò)程Y來(lái)代替x。過(guò)程x稱為隨機(jī)連續(xù)，如果對(duì)任一t0eT，在依概率收斂的意義下(見概率論中的收斂)有，對(duì)隨機(jī)連續(xù)的過(guò)程x，必存在一個(gè)完全可分過(guò)程Y與之等價(jià)?？蓽y(cè)性為了研究樣本函數(shù)對(duì)t的積分等問(wèn)題，需要x(t,3)關(guān)于兩個(gè)變量(t,3)的可測(cè)性。設(shè)T是R中某區(qū)間，B(T)是T中全體波萊爾集所成的。域,B(T)xF表示乘積。域,p=LxP表示勒貝格測(cè)度L(見測(cè)度論)與p的乘積測(cè)度，表示B(T)xF關(guān)于p的完備化。域。稱隨機(jī)過(guò)程x為可測(cè)的，如果對(duì)任一實(shí)數(shù)a，有：稱隨機(jī)過(guò)程x為波萊爾可測(cè)的，如果對(duì)任一實(shí)數(shù)a，有。如果過(guò)程x隨機(jī)連續(xù)，則必存在與x等價(jià)的、可測(cè)而且完全可分的過(guò)程Y。有時(shí)還需要更強(qiáng)的可測(cè)性。設(shè)給了F的一族子。域｛，teT｝，其中T=R+=【0，-)，滿足：①單調(diào)性，對(duì)s<t，嶅；仞右連續(xù)性，③完備性，F(xiàn)0包含F(xiàn)的一切概率為零的集。稱x為｛｝-適應(yīng)的，如果對(duì)任一t，xt為可測(cè)；稱xt為｛卜循序可測(cè)的，如果對(duì)任一teT及實(shí)數(shù)a，有｛(s,3)：x(s,3)<a,s<t)(【0,t】)x0循序可測(cè)過(guò)程一定是適應(yīng)的而且是波萊爾可測(cè)的，但逆之不然，除非樣本函數(shù)性質(zhì)較好。例如所有樣本函數(shù)都右連續(xù)的適應(yīng)過(guò)程一定是循序可測(cè)。使一切樣本函數(shù)右連續(xù)的適應(yīng)過(guò)程都可測(cè)的TxQ上的最小。域，稱為可選Z域，關(guān)于可選z域可測(cè)的過(guò)程稱為可選過(guò)程。可見，可選可測(cè)性是比循序可測(cè)性更強(qiáng)的一種可測(cè)性。進(jìn)一步,使一切樣本函數(shù)連續(xù)的適應(yīng)過(guò)程都可測(cè)的TxQ上的最小。域，稱為可料Z域，關(guān)于可料z域可測(cè)的過(guò)程稱為可料過(guò)程。這又是一種比可選可測(cè)性更強(qiáng)的可測(cè)性?？梢宰C明，樣本函數(shù)左連續(xù)的適應(yīng)過(guò)程都是可料過(guò)程。軌道性質(zhì)當(dāng)人們觀察物體作隨機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)，最感興趣的問(wèn)題之一是它的軌道性狀，因此隨機(jī)過(guò)程論中一個(gè)重要問(wèn)題是研究軌道性質(zhì)，例如探討在什么條件下，過(guò)程的軌道x(t,3),a<t<b,以概率1有界，或無(wú)第二類斷點(diǎn)，或是階梯函數(shù)，或是連續(xù)函數(shù)，等等。函數(shù)了(t)在【a,b】上無(wú)第二類斷點(diǎn)是指：對(duì)每一個(gè)t0e(a,b)，存在左、右極限及而在a、b)處，則存在單側(cè)極限。設(shè)過(guò)程｛x(t),圮【a,b】｝可分，而且存在常數(shù)a>0,￡>0,c>0，使得對(duì)任意的te[a,b],t+Ate【a,b】，有,則過(guò)程的軌道以概率1在【a,b】上一致連續(xù)。設(shè)可分過(guò)程｛x(t),te【a,b】｝隨機(jī)連續(xù)，而且存在常數(shù)p>0,q>0,r>0,c>0,使得對(duì)任意的。勺1勺2勺3企，有則過(guò)程的軌道以概率1無(wú)第二類斷點(diǎn)。正態(tài)過(guò)程的軌道性質(zhì)有更好的結(jié)果對(duì)均值函數(shù)m(t)啪0的可分正態(tài)過(guò)程｛x(t),te【a,b】｝,只要存在c>0,a>0,使得x的軌道就以概率1連續(xù)。停時(shí)這一概念的引進(jìn)是隨機(jī)過(guò)程論發(fā)展史中的一件大事，它帶來(lái)了許多新的研究課題，而且擴(kuò)大了理論的應(yīng)用范圍。早在1945年，J.L.杜布關(guān)于馬爾可夫鏈的文章中已經(jīng)有了停時(shí)的思想。60年代杜布、E.5.登金(又譯鄧肯)、R.M.布盧門塔爾等應(yīng)用停時(shí)于鞅及強(qiáng)馬爾可夫過(guò)程的研究；70年代，由于法國(guó)概率論學(xué)派的工作而使停時(shí)的理論更加完善。直觀上，停時(shí)是描述某種隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的時(shí)刻，它是普通時(shí)間變量t的隨機(jī)化。例如，燈泡的壽命、一場(chǎng)球賽持續(xù)的時(shí)間都可看成是停時(shí)。又如，作隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的粒子首次到達(dá)某集A的時(shí)刻T,T(3)=inf｛t>0,x(t,3)eA｝,且約定inf==8，當(dāng)x的軌道連續(xù)而且A是一個(gè)閉集時(shí)，t就是一個(gè)停時(shí)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，而且對(duì)任何t>0,｛T<t｝so｛x(u),u<t｝o一般地，設(shè)在可測(cè)空間(Q,F)中已給F的一族單調(diào)、右連續(xù)、完備的子。域族｛,teR+｝,稱定義在Q上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)t=t(w)(可取+8為值)為停時(shí)，如果對(duì)任意t>0,總有｛T<t｝e。這一定義的直觀背景是：把理解為到t為止的全部信息，一個(gè)可觀測(cè)的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的時(shí)刻T是否不遲于t這一信息應(yīng)包含在之中。類似于，對(duì)停時(shí)t可以定義。域，其中為包含一切的最小。域。Ft可理解為過(guò)程到t為止的全部信息。停時(shí)有許多好的性質(zhì)，例如，若t1、t2是停時(shí)，則t1Vt2、t1At2也是停時(shí)，其中,;還有，這里表示包含、的最小。域；進(jìn)一步，若｛Tn｝是一列停時(shí)，則也是停時(shí)。更細(xì)致地研究停時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)行分類，重要的類型有可料時(shí)、絕不可及時(shí)等。二階過(guò)程均值和方差都有限的實(shí)值或復(fù)值隨機(jī)過(guò)程稱為二階過(guò)程。二階過(guò)程理論的重要結(jié)果之一是它的積分表示。設(shè)F是可測(cè)空間(人A)上的有限測(cè)度，如果對(duì)每一AeA,有一復(fù)值隨機(jī)變量Z(A)與它對(duì)應(yīng),且滿足：?|Z(A)|2<8②則稱Z=｛Z(A),AeA｝為(A,A)上的正交隨機(jī)測(cè)度。定義在八上、關(guān)于A可測(cè)而且關(guān)于F平方可積的函數(shù)全體記為L(zhǎng)2(AA,F)。給了一個(gè)正交隨機(jī)測(cè)度乙一族函數(shù),，就可以產(chǎn)生一個(gè)二階過(guò)程，滿足(1)它的二階矩為。(2)反之，對(duì)給定的二階過(guò)程，只要它的二階矩有積分表示(2),就一定存在一個(gè)正交隨機(jī)測(cè)度乙使過(guò)程本身有積分表示(1)。(1)和(2)分別稱為過(guò)程x和它的二階矩的譜表示。對(duì)均方連續(xù)的實(shí)二階過(guò)程｛x(t),t￡【a,b)】｝,則有級(jí)數(shù)展開