點(diǎn)與直線(xiàn)的投影課件

教學(xué)要求：

1、熟練掌握點(diǎn)的三面投影規(guī)律及兩點(diǎn)的相對(duì)位置；

2、掌握各種空間直線(xiàn)的投影特性及其基本作圖方法；熟悉點(diǎn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)的相對(duì)位置及其判別。教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)的投影規(guī)律，點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)的相對(duì)位置及其判別。教學(xué)難點(diǎn)：相對(duì)位置及其判別教學(xué)方法：講授+自學(xué)+實(shí)訓(xùn)

2.2點(diǎn)與直線(xiàn)的投影本節(jié)內(nèi)容：一、點(diǎn)的投影二、直線(xiàn)的投影點(diǎn)的投影規(guī)律兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)各種位置直線(xiàn)的投影特性直線(xiàn)上點(diǎn)的投影兩直線(xiàn)的相對(duì)位置XYZO直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)：點(diǎn)A（x，y，z）一、點(diǎn)的投影AXYZOA●a●a●a（x，z）（x，y）（y，z）Pb●●AP采用三面投影。過(guò)空間點(diǎn)A的投射線(xiàn)與投影面P的交點(diǎn)a即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1●B2●B3●點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。點(diǎn)的投影特性a●解決辦法？HWV點(diǎn)的三面投影體系投影面◆正面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正面或V面）◆水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸

V面與H面的交線(xiàn)OZ軸

V面與W面的交線(xiàn)OY軸

H面與W面的交線(xiàn)三投影面互相垂直它與坐標(biāo)系有什么不同？Y點(diǎn)A在三投影面體系中的投影WHVOXZYa●a●a●

A●a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影規(guī)定：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，如A、B、C等，水平投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母a、b、c表示，正面投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母加撇表示，如a′、b′、c′，側(cè)面投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母加兩撇表示，如a″、b″、c″。

投影面展開(kāi)①aa⊥OX軸，V、H投影長(zhǎng)對(duì)正；

a′a″⊥Z軸，V、W投影高平齊；

aay⊥YH，a″ay⊥YW即H、W投影寬相等。②

aax=aaz=y=A到V面的距離;aax=aay=z=A到H面的距離;aay=aaz=x=A到W面的距離?！瘛馳ZazaXYayOaaxaya●點(diǎn)的投影規(guī)律：WHVOXZYa●a●a●

A●點(diǎn)的三面投影和坐標(biāo)的關(guān)系（x，z）（x，y）（y，z）A（x，y，z）aa′a″（x，y）（x，z）（y，z）若把三個(gè)投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，則點(diǎn)的空間位置可用其（X、Y、Z）三個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定，點(diǎn)的投影就反映了點(diǎn)的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系?！瘛馻aax例1：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過(guò)作45°線(xiàn)使aaz=aax解法二:用分規(guī)直接量取aaz=aaxa●例2：已知點(diǎn)A（10，12，15），求作它的三面影。XZYHYWO分析：A（10，12，15）a′aa″（10，15）（10，12）（12，15）aaa特殊位置點(diǎn)：ddeeffefdzxYW

YH0例3：已知點(diǎn)的兩投影，求其第三投影daaa點(diǎn)的投影規(guī)律:②

aax=aaz=y（A到V面的距離）aax=aay=z（A到H面的距離）aay=aaz=x（A到W面的距離）①aa⊥OX軸，V、H投影長(zhǎng)對(duì)正；

a′a″⊥Z軸，V、W投影高平齊；

aay⊥YH，a″ay⊥YW即H、W投影寬相等?？臻g點(diǎn)

點(diǎn)的X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)均不為零，其三個(gè)投影都不在投影軸上。投影面上的點(diǎn)

點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)為零，其一個(gè)投影與投影面重合，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。投影軸上的點(diǎn)

點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，其兩個(gè)投影與所在投影軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。與原點(diǎn)重合的點(diǎn)

點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零，三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。

各種位置點(diǎn)的投影兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：兩點(diǎn)間的相對(duì)位置可通過(guò)它們的坐標(biāo)差來(lái)確定?！魓坐標(biāo)大的在左

◆y坐標(biāo)大的在前◆z坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在A(yíng)點(diǎn)之左、之前、之下。無(wú)軸投影圖

不畫(huà)投影軸的投影圖，稱(chēng)為無(wú)軸投影圖。無(wú)軸投影圖是根據(jù)相對(duì)坐標(biāo)來(lái)繪制的，其投影圖仍符合點(diǎn)的投影規(guī)律。例4：已知點(diǎn)A的三投影，又知另一點(diǎn)B對(duì)點(diǎn)A的相對(duì)坐標(biāo)△X=－12，△Y=－8，△Z=10，求點(diǎn)B的三投影。分析：點(diǎn)A是參考點(diǎn)，根據(jù)相對(duì)坐標(biāo)△X、△Y、△Z的正負(fù)值，可判定點(diǎn)B在點(diǎn)A的右方、后方和上方。注意：側(cè)面投影△Y的量取方向

兩點(diǎn)的相對(duì)位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對(duì)于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣?lái)確定的。X坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左；Y坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前；Z坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上。

根據(jù)一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于另一點(diǎn)上下、左右、前后坐標(biāo)差，可以確定該點(diǎn)的空間位置并作出其三面投影。兩點(diǎn)的相對(duì)位置例5：已知點(diǎn)B的投影和點(diǎn)A的兩個(gè)投影，求點(diǎn)A的第三個(gè)投影。b

bb

a

a解法一：a

b

bb

a

aa

△y△y解法二：例5：已知點(diǎn)B的投影和點(diǎn)A的兩個(gè)投影，求點(diǎn)B的第三個(gè)投影。重影點(diǎn)：空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱(chēng)此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？●●●●●aacc()ac()被擋住的投影加()注意：重影點(diǎn)在三對(duì)坐標(biāo)值中，必定有兩對(duì)相等。從投影方向觀(guān)看，重影點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一個(gè)點(diǎn)的投影遮住而不可見(jiàn)。判斷重影點(diǎn)的可見(jiàn)性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)的投影可見(jiàn)，反之不可見(jiàn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。二、直線(xiàn)的投影

兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，將兩點(diǎn)的同面投影用直線(xiàn)連接，就得到直線(xiàn)在該投影面上的投影直線(xiàn)對(duì)一個(gè)投影面的投影特性一、直線(xiàn)的投影特性AB●●●●ab直線(xiàn)垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線(xiàn)平行于投影面投影反映線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)

ab=AB

實(shí)形性直線(xiàn)傾斜于投影面投影比空間線(xiàn)段短ab=ABcosα類(lèi)似性●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●直線(xiàn)投影的基本特性

一般情況下，直線(xiàn)的投影仍然為直線(xiàn)，特殊情況積聚為一點(diǎn)。二、直線(xiàn)在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線(xiàn)平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線(xiàn)正平線(xiàn)（平行于Ｖ面）側(cè)平線(xiàn)（平行于Ｗ面）水平線(xiàn)（平行于Ｈ面）正垂線(xiàn)（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線(xiàn)（垂直于Ｗ面）鉛垂線(xiàn)（垂直于Ｈ面）一般位置直線(xiàn)與三個(gè)投影面都傾斜的直線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)特殊位置直線(xiàn)垂直于某一投影面而與其余兩投影面平行各種位置直線(xiàn)的投影特性投影面的平行線(xiàn)

各種位置直線(xiàn)的投影特性投影面的平行線(xiàn)

規(guī)定：與H面的夾角為α；與V面的夾角為β；與W面的夾角為γ。baabab正平線(xiàn)γαβγ水平線(xiàn)baaabbbaabba側(cè)平線(xiàn)αβ投影面平行線(xiàn)的投影特性：在與線(xiàn)段平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，該線(xiàn)段的投影為傾斜的線(xiàn)段（反映直線(xiàn)與另兩個(gè)投影面的傾角）。其余兩個(gè)投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且都小于實(shí)長(zhǎng)。投影面的垂直線(xiàn)

各種位置直線(xiàn)的投影特性投影特性：投影面的垂直線(xiàn)

各種位置直線(xiàn)的投影特性②其余兩個(gè)投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且都反映實(shí)長(zhǎng)。①在其垂直的投影面上，投影積聚為一點(diǎn)。一般位置直線(xiàn)

各種位置直線(xiàn)的投影特性一般位置直線(xiàn)

各種位置直線(xiàn)的投影特性一般位置直線(xiàn)

各種位置直線(xiàn)的投影特性投影特性：三個(gè)投影都是傾斜線(xiàn)段，且都小于實(shí)長(zhǎng)。

如何求實(shí)長(zhǎng)？（1）求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角ABbbaaCXO|zA-zB|ABab|zA-zB|XaabbAB|zA-zB|abAB|zA-zB

|ABbbaaCXO（2）求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角

|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|ABab|YA-YB|XZYO（3）求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角

ABbbabaaZXab”aOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|ABabbXabAB例1：已知如圖，線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)為AB，求它的水平投影。a|zA-zB|ab|yA-yB|怎樣在“原圖”上求作？a有兩種方法，有兩解|yA-yB|abAB|zA-zB|直線(xiàn)與點(diǎn)的相對(duì)位置空間直線(xiàn)上的點(diǎn)：直線(xiàn)AB上K點(diǎn)的諸投影必在直線(xiàn)AB的同面投影上，且分直線(xiàn)及其投影成定比。

直線(xiàn)上的點(diǎn)具有兩個(gè)基本特性：屬于性：若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的諸投影必在直線(xiàn)的同面投影上，且遵守點(diǎn)的投影規(guī)律，反之亦然。定比性：線(xiàn)段上的點(diǎn)分割線(xiàn)段及其投影成定比。即：AK：KB

=a'k'：k'b'=a

k：kb=a"k"

：k"b"

定比定理利用這兩個(gè)特性可以在直線(xiàn)上取點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線(xiàn)上。例2：判斷點(diǎn)C是否在線(xiàn)段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?bXaabc例3：已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。cabacabac解法一：應(yīng)用定比定理。例3：已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。解法一：應(yīng)用定比定理。bXaabc解法二：應(yīng)用第三投影。abkkbbXaaBC=L例4：已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，試作出點(diǎn)C的投影，使BC

的實(shí)長(zhǎng)等于已知長(zhǎng)度L。cLczB-zAabABC兩直線(xiàn)的相對(duì)位置平行相交交叉垂直相交空間兩直線(xiàn)的相對(duì)位置平行相交交叉同面直線(xiàn)異面直線(xiàn)垂直相交一般相交垂直交叉一般交叉兩直線(xiàn)平行投影特性：空間兩直線(xiàn)平行，則其同面投影必互相平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbdaabcdcabd例5：判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行。對(duì)于一般位置直線(xiàn)，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線(xiàn)就平行。AB//CDbdcacbaddbac對(duì)于特殊位置直線(xiàn)，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線(xiàn)不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例6：判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行。作出側(cè)面投影如何判斷？?jī)芍本€(xiàn)相交HVABCDKabcdkabckdabcdbacdbcdakkk若空間兩直線(xiàn)相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線(xiàn)的共有點(diǎn)●●cabbacdkkd例7：過(guò)C點(diǎn)作水平線(xiàn)CD與AB相交。先作正面投影dbaabcdc1(2)3(4)兩直線(xiàn)交叉★同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律?！铩敖稽c(diǎn)”是兩直線(xiàn)上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線(xiàn)的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。為什么？?jī)芍本€(xiàn)相交嗎？12●●3

4●●投影特性：例8：判斷圖中兩直線(xiàn)的相對(duì)位置baacddcbX11直線(xiàn)AB與CD交叉！可否作側(cè)面投影來(lái)判別？XOBDACbbaaccdd(3)41(2)4312ⅠⅡ判斷兩直線(xiàn)重影點(diǎn)的可見(jiàn)性

判斷重影點(diǎn)的可見(jiàn)性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見(jiàn)，反之不可見(jiàn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。ⅢⅣ例9：判斷兩直線(xiàn)重影點(diǎn)的可見(jiàn)性bbcddcXaaⅠ、Ⅱ是H面的重影點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ是V面的重影點(diǎn)121(2)3(4)34兩直線(xiàn)垂直相交（或垂直交叉）直角投影定理：若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設(shè)直角邊BC//H面因

BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb所以

BC⊥ABba平面直線(xiàn)在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此

bc⊥ab故

bc⊥ABba平面又因

BC∥bcABCabcHacbabc.證明：dabcabc●●d例10：過(guò)C點(diǎn)作直線(xiàn)CD與AB垂直相交。AB為正平線(xiàn),正面投影反映直角。例11:已知直線(xiàn)AB的兩面投影和C點(diǎn)的水平投影,試過(guò)C點(diǎn)作一條直線(xiàn)CE垂直于A(yíng)B。

cbab'a'OXee'c'e1e1'c1'作法一：作法二：想一想，CE是不是點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離？再想想，為什么有兩個(gè)距離？因?yàn)橛袃山猓狐c(diǎn)C與點(diǎn)C1。ffOcbaabXcddee例12：過(guò)點(diǎn)E作線(xiàn)段AB、CD的公垂線(xiàn)EF。Xa

abbee