數(shù)列求和各種方法總結(jié)歸納詳解

數(shù)列求和各種方法總結(jié)歸納當(dāng)前第1頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的．當(dāng)前第2頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)2．分組求和法若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減．【分組求和法】數(shù)列{(－1)n·n}的前n項(xiàng)和Sn=？當(dāng)前第3頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求.【錯(cuò)位相減法】設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＝n·2n，則Sn＝當(dāng)前第4頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．當(dāng)前第5頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)

(1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和．

數(shù)列求和的方法(2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：①轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成．②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和．當(dāng)前第6頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)[例1]

(2011·山東高考)等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nlnan，求{bn}的前2n項(xiàng)和S2n當(dāng)前第7頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)[自主解答]

(1)當(dāng)a1＝3時(shí)，不合題意；當(dāng)a1＝2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時(shí)，符合題意；當(dāng)a1＝10時(shí)，不合題意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝2·3n－1.當(dāng)前第8頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第9頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第10頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)2．(2011·北京東城二模)已知{an}是首項(xiàng)為19，公差為－2的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．(1)求通項(xiàng)an及Sn；(2)設(shè){bn－an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn當(dāng)前第11頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)[沖關(guān)錦囊]分組求和常見類型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解；(3)an＝bn±cn，數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和.當(dāng)前第12頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第13頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第14頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第15頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第16頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)在本例條件不變情況下，求數(shù)列{2n－1·an}的前n項(xiàng)和Sn.當(dāng)前第17頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第18頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第19頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第20頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第21頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)[沖關(guān)錦囊]用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)

的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“

錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.當(dāng)前第22頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第23頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第24頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第25頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)當(dāng)前第26頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)答案：A當(dāng)前第27頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第28頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第29頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第30頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)解：(1)證明：由題意得2bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．又∵a1＝2b1＋1＝1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.故數(shù)列{bn＋1}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．當(dāng)前第31頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)當(dāng)前第32頁\共有34頁\編于星期日\(chéng)1點(diǎn)(12分)(2010·四川高考)已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為－4.(1)求數(shù)列