數(shù)學(xué)建模暑期培訓(xùn)

數(shù)學(xué)建模暑期培訓(xùn)第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型…~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)…~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物.模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.1.1

從現(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速為20km/h.甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順?biāo)叫行?0h，從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少?x=20y=5求解第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速為20km/h）.第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)表述.建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透.數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視.

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地.第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)”.數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競爭力具有重要意義”.“計(jì)算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑”.數(shù)學(xué)建模的重要意義第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識經(jīng)濟(jì)如虎添翼第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三1.3

數(shù)學(xué)建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地.第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來.椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性.xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置.四只腳著地距離是的函數(shù).四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對稱性第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來.f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法3）由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0(0<0</2)

,使h(0)=0,即f(0)=g(0).1）將椅子旋轉(zhuǎn)90o，對角線AC和BD互換.由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.2）令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.4）因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三評注和思考建模的關(guān)鍵：假設(shè)條件中哪些是本質(zhì)的,哪些是非本質(zhì)的?考察四腳連線呈長方形的椅子(?).用表示椅子的位置椅子的旋轉(zhuǎn)軸在哪里，它在旋轉(zhuǎn)過程中怎樣變化？用

f(),g()表示椅腳與地面的距離證明過程的粗糙之處：第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三1.3.2

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員.要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,…sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~過程的決策D~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,…sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律D={(u

,v)u+v=1,2,u,v=0,1,2}狀態(tài)因決策而改變第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)

~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11給出安全渡河方案d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).模型構(gòu)成第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三商人和隨從人數(shù)增加或小船容量加大;商人們怎樣安全過河智力游戲多步?jīng)Q策過程(數(shù)學(xué)模型)易于推廣:規(guī)格化方法考慮4名商人各帶一隨從的情況.多步?jīng)Q策模型:恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策,確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律及目標(biāo)(目標(biāo)函數(shù)).便于求解(計(jì)算機(jī)編程等).第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三場景1.3.3如何施救藥物中毒兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫(yī)院急診室.訴說兩小時(shí)前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿的成人用量是100~200mg/次，兒童是3~5mg/kg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過高，100μg/ml濃度會出現(xiàn)嚴(yán)重中毒，200μg/ml濃度可致命.醫(yī)生需要判斷：孩子的血藥濃度會不會達(dá)到100~200μg/ml；如果會達(dá)到，應(yīng)采取怎樣的緊急施救方案.第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三調(diào)查與分析轉(zhuǎn)移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外認(rèn)為血液系統(tǒng)內(nèi)藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看作一個(gè)房室，建立“一室模型”

.藥量x(t)藥量y(t)血液系統(tǒng)對藥物的吸收率(胃腸道到血液系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移率)和排除率可以由半衰期確定.半衰期可以從藥品說明書上查到.第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三通常，血液總量約為人體體重的7~8%，體重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目測這個(gè)孩子的體重約為成年人的一半，可認(rèn)為其血液總量約為2000ml.調(diào)查與分析血藥濃度=藥量/血液總量口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的2倍.臨床施救的辦法：體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但是安全性不能得到充分保證.第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型假設(shè)

1.胃腸道中藥物向血液的轉(zhuǎn)移率與x(t)成正比，比例系數(shù)λ(>0)，總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道.2.血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t)成正比，比例系數(shù)μ(>0)，t=0時(shí)血液中無藥物.3.氨茶堿被吸收的半衰期為5小時(shí)，排除的半衰期為6小時(shí).4.孩子的血液總量為2000ml.胃腸道中藥量x(t),血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時(shí)間t以孩子誤服藥的時(shí)刻為起點(diǎn)（t=0）.第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數(shù)λ),總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道.轉(zhuǎn)移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是λx，由排除而減少的速度與y(t)成正比(比例系數(shù)μ),t=0時(shí)血液中無藥物.第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型求解

藥物吸收的半衰期為5小時(shí)藥物排除的半衰期為6小時(shí)只考慮血液對藥物的排除第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三血液總量2000ml血藥濃度200μg/ml結(jié)果及分析胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴(yán)重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時(shí)施救，約3小時(shí)后將致命！y(2)=236.5第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三施救方案

口服活性炭使藥物排除率μ增至原來的2倍.

孩子到達(dá)醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作z(t)λ=0.1386(不變)，μ=0.1155*2=0.2310第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三施救方案

t=5.26z=318施救后血液中藥量z(t)顯著低于y(t).

z(t)最大值低于致命水平.要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少應(yīng)為0.4885.若采用體外血液透析，μ可增至0.1155*6=0.693，血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定.第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律.將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究

(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析.二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù).1.4

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個(gè)比較清晰的“問題”第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型假設(shè)針對問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù).如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性.模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題.選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答.將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對象.用現(xiàn)實(shí)對象的信息檢驗(yàn)得到的解答.實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三1.5

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、…數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)、…表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力學(xué)習(xí)、分析、評價(jià)、改進(jìn)別人作過的模型.親自動手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目.第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的意義和作用

1992年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(CSIAM)開始組織

1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月)2010年33省/市/區(qū)(含港澳)的1195校17200隊(duì)第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星