最適合初學(xué)者看的能帶理論

最適合初學(xué)者看的能帶理論1第一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三§8.1晶體的能帶一.電子共有化晶體具有大量分子、原子或離子有規(guī)則排列的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。電子受到周期性勢(shì)場(chǎng)的作用。a按量子力學(xué)須解定態(tài)薛定格方程。第二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

解定態(tài)薛定格方程(略），可以得出兩點(diǎn)重要結(jié)論：1.電子的能量是分立的能級(jí);2.電子的運(yùn)動(dòng)有隧道效應(yīng)。原子的外層電子(高能級(jí))，勢(shì)壘穿透概率較大，電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng),稱為共有化電子。原子的內(nèi)層電子與原子核結(jié)合較緊,一般不是共有化電子。第三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三二.能帶(energyband)量子力學(xué)計(jì)算表明，晶體中若有N個(gè)原子，由于各原子間的相互作用，對(duì)應(yīng)于原來(lái)孤立原子的每一個(gè)能級(jí),在晶體中變成了N條靠得很近的能級(jí),稱為能帶。晶體中的電子能級(jí)有什么特點(diǎn)？第四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三能帶的寬度記作E，數(shù)量級(jí)為E～eV。

若N~1023,則能帶中兩能級(jí)的間距約10-23eV。一般規(guī)律：

1.越是外層電子，能帶越寬，E越大。

2.點(diǎn)陣間距越小，能帶越寬，E越大。3.兩個(gè)能帶有可能重疊。第五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三離子間距a2P2S1SE0能帶重疊示意圖第六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三三.能帶中電子的排布晶體中的一個(gè)電子只能處在某個(gè)能帶中的某一能級(jí)上。

排布原則：

1.服從泡里不相容原理（費(fèi)米子）

2.服從能量最小原理設(shè)孤立原子的一個(gè)能級(jí)Enl，它最多能容納2(2+1)個(gè)電子。這一能級(jí)分裂成由N條能級(jí)組成的能帶后，能帶最多能容納2N(2l+1)個(gè)電子。第七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

電子排布時(shí)，應(yīng)從最低的能級(jí)排起。

有關(guān)能帶被占據(jù)情況的幾個(gè)名詞：1．滿帶（排滿電子）2．價(jià)帶（能帶中一部分能級(jí)排滿電子）

亦稱價(jià)帶3．空帶（未排電子）亦稱導(dǎo)帶4．禁帶（不能排電子）2ｐ、3ｐ能帶，最多容納6N個(gè)電子。例如，1ｓ、2ｓ能帶，最多容納2N個(gè)電子。2N(2l+1)第八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三一.布洛赫定理一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)應(yīng)具有哪些基本特點(diǎn)？在量子力學(xué)建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里淵（Brillouin）等人就致力于研究周期場(chǎng)中電子的運(yùn)動(dòng)問題。他們的工作為晶體中電子的能帶理論奠定了基礎(chǔ)。布洛赫定理指出了在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)的特點(diǎn)?！?.2（補(bǔ)充）布洛赫定理空間第九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三在一維情形下，周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子能量E(k)和波函數(shù)必須滿足定態(tài)薛定諤方程

k-------表示電子狀態(tài)的角波數(shù)V(x)----周期性的勢(shì)能函數(shù)，它滿足

V(x)=V(x+na)a----晶格常數(shù)n-----任意整數(shù)第十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三布洛赫定理：式中也是以a為周期的周期函數(shù)，即*

注*：關(guān)于布洛赫定理的證明，有興趣的讀者可以查閱《固體物理學(xué)》黃昆原著韓汝琦改編（1988）P154具有(2)式形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù),或布洛赫函數(shù)。滿足（1）式的定態(tài)波函數(shù)必定具有如下的特殊形式第十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三布洛赫定理說(shuō)明了一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)為：一個(gè)自由電子波函數(shù)與一個(gè)具有晶體結(jié)構(gòu)周期性的函數(shù)的乘積。

只有在等于常數(shù)時(shí)，在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)才完全變?yōu)樽杂呻娮拥牟ê瘮?shù)。

這在物理上反映了晶體中的電子既有共有化的傾向，又有受到周期地排列的離子的束縛的特點(diǎn)。

因此，布洛赫函數(shù)是比自由電子波函數(shù)更接近實(shí)際情況的波函數(shù)。它是按照晶格的周期a調(diào)幅的行波。第十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三實(shí)際的晶體體積總是有限的。因此必須考慮邊界條件。

設(shè)一維晶體的原子數(shù)為N,它的線度為L(zhǎng)=Na,則布洛赫波函數(shù)應(yīng)滿足如下條件此式稱為周期性邊界條件。二.周期性邊界條件采用周期性邊界條件以后，具有N個(gè)晶格點(diǎn)的晶體就相當(dāng)于首尾銜接起來(lái)的圓環(huán)：在固體問題中，為了既考慮到晶體勢(shì)場(chǎng)的周期性，又考慮到晶體是有限的，我們經(jīng)常合理地采用周期性邊界條件：第十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三由周期性邊界條件可以推出:布洛赫波函數(shù)的波數(shù)k只能取一些特定的分立值。aa周期性邊界條件對(duì)波函數(shù)中的波數(shù)是有影響的。圖2周期性邊界條件示意圖第十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三左邊為右邊為所以由周期性邊界條件即周期性邊界條件使k只能取分立值：證明如下:按照布洛赫定理：第十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三k是代表電子狀態(tài)的角波數(shù),n是代表電子狀態(tài)的量子數(shù)。對(duì)于三維情形,電子狀態(tài)由一組量子數(shù)(nx、ny、nz)來(lái)代表。它對(duì)應(yīng)一組狀態(tài)角波數(shù)（kx、ky、

kz）。一個(gè)對(duì)應(yīng)電子的一個(gè)狀態(tài)。第十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三我們以為三個(gè)直角坐標(biāo)軸，建立一個(gè)假想的空間。這個(gè)空間稱為波矢空間、空間，或動(dòng)量空間*。kx、ky、

kz由于德布洛意關(guān)系，即，所以空間也稱為動(dòng)量空間。注：在空間中，電子的每個(gè)狀態(tài)可以用一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)來(lái)表示，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是三.空間第十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三kykx0-112-23-31-12-2-33上式告訴我們，沿空間的每個(gè)坐標(biāo)軸方向，電子的相鄰兩個(gè)狀態(tài)點(diǎn)之間的距離都是。圖3表示二維空間每個(gè)點(diǎn)所占的面積是。因此，空間中每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占的體積為。

圖3二維空間示意圖第十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三§8.3克朗尼格-朋奈模型能帶中的能級(jí)數(shù)目

一.克朗尼格-朋奈模型

能帶理論是單電子近似理論。

布洛赫定理指出，一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子，其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。下面我們通過(guò)一個(gè)最簡(jiǎn)單的一維周期場(chǎng)-------克朗尼格-朋奈（Kroning-Penney）模型來(lái)說(shuō)明晶體中電子的能量特點(diǎn)。周期性邊界條件的引入,說(shuō)明了電子的狀態(tài)是分立的。它把每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)立地在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在再來(lái)說(shuō)明電子的能量有什么特點(diǎn)？回顧：第十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三克朗尼格-朋奈模型是把圖1的周期場(chǎng)簡(jiǎn)化為圖4所示的周期性方勢(shì)阱。假設(shè)電子是在這樣的周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。在0<x<a一個(gè)周期的區(qū)域中，電子的勢(shì)能為0caU0U(x)xb圖4克朗尼格-朋奈模型第二十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三按照布洛赫定理，波函數(shù)應(yīng)有以下形式式中即可得到滿足的方程將波函數(shù)代入定態(tài)薛定諤方程第二十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三利用波函數(shù)應(yīng)滿足的有限、單值、連續(xù)等物理（自然）條件，進(jìn)行一些必要的推導(dǎo)和簡(jiǎn)化，最后可以得出下式注*：有興趣的讀者可參閱〈固體物理基礎(chǔ)〉蔡伯熏編（1990）P268。式中而是電子波的角波數(shù)*。（4）式就是電子的能量E應(yīng)滿足的方程,也是電子能量E與角波數(shù)k之間的關(guān)系式。第二十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三(4)式的左邊是能量E的一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)，記作f(E)；由于，所以使的E值都不滿足方程。下圖5為給出了一定的a、b、U0數(shù)值后的f(E)：右邊是角波數(shù)k的函數(shù)。第二十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三由圖看出，在允許取的E值（暫且稱為能級(jí)）之間，有一些不允許取的E值（暫且稱為能隙）。下面的圖6為E~k曲線的某種表達(dá)圖式。圖5f(E)函數(shù)圖f(E)E第二十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達(dá)圖式第二十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三兩個(gè)相鄰能帶之間的能量區(qū)域稱為禁帶。晶體中電子的能量只能取能帶中的數(shù)值，而不能取禁帶中的數(shù)值。圖中為“許可的能量”，稱為能帶*。E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達(dá)圖式第二十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三E~k曲線與a有關(guān)、與U0b乘積有關(guān)。乘積U0b反映了勢(shì)壘的強(qiáng)弱。由于原子的內(nèi)層電子受到原子核的束縛較大，與外層電子相比，它們的勢(shì)壘強(qiáng)度較大。計(jì)算表明：U0b的數(shù)值越大所得到的能帶越窄。所以，內(nèi)層電子的能帶較窄。外層電子的能帶較寬。第二十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三從E~k曲線還可以看出：k值越大，相應(yīng)的能帶越寬。由于晶體點(diǎn)陣常數(shù)a越小，相應(yīng)于k值越大。因此，晶體點(diǎn)陣常數(shù)a越小，能帶的寬度就越大。有的能帶甚至可能出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。這些都與§8.1節(jié)“概述”中介紹的結(jié)論是一致的。E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達(dá)圖式第二十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三二.能帶中的能級(jí)數(shù)晶體中電子的能量不能取禁帶中的數(shù)值，只能取能帶中的數(shù)值。由圖5可以看出：第一能帶k的取值范圍為

第二能帶k的取值范圍為

第三能帶k的取值范圍為

每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的k的取值范圍都是*。注*：我們把以原點(diǎn)為中心的第一能帶所處的k

值范圍稱為第一布里淵區(qū);第二、第三能帶所處的

k值范圍稱為第二、第三布里淵區(qū)，并以此類推。第二十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三所以，晶體中電子的能帶中有N個(gè)能級(jí)。電子在晶體中按能級(jí)是如何排布的呢？電子是費(fèi)密子，它的排布原則有以下兩條：（1）服從泡里不相容原理（2）服從能量最小原理而在空間每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占有的長(zhǎng)度為，因此，每一能帶中所包含的（狀態(tài)數(shù)）能級(jí)數(shù)為每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的k的取值范圍都是。第三十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)于孤立原子的一個(gè)能級(jí)Enl按照泡里不相容原理，最多能容納2（2l+1）個(gè)電子。在形成固體后，這一能級(jí)分裂成由N

條能級(jí)組成的能帶了，它最多能容納的電子數(shù)為2N(2l+1)個(gè)。例如，對(duì)孤立原子的1S、2S能級(jí),在形成固體后相應(yīng)地成為兩個(gè)能帶。它們最多能容納的電子數(shù)為2N個(gè)。對(duì)孤立原子的2P、3P能級(jí),在形成固體后也相應(yīng)地成為兩個(gè)能帶。它們最多能容納的電子數(shù)為6N個(gè)。電子排布時(shí)還得按照能量最小原理從最低的能級(jí)排起。第三十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三孤立原子的最外層電子能級(jí)可能填滿了電子也可能未填滿了電子。若原來(lái)填滿電子的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。若孤立原子中較高的電子能級(jí)上沒有電子，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶上也沒有電子。若原來(lái)未填滿電子的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也未填滿電子。孤立原子的內(nèi)層電子能級(jí)一般都是填滿的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。第三十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三排滿電子的能帶稱為滿帶；排了電子但未排滿的稱為未滿帶（或?qū)В晃磁烹娮拥姆Q為空帶；（有時(shí)也稱為導(dǎo)帶）；兩個(gè)能帶之間的禁