2022年上海高三二模數(shù)學(xué)解答題匯編

2021-2022第二學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)二模解答題

寶山區(qū)

三.解答題

17.已知正方體4BCD-&BCB的棱長為1,P是CG的中點，過ZP的平面與BB1、

分別交于。、R,且80=:.

⑴求異面直線PR與AA所成角的大小;

⑵求G到平面AQPR的距離.

_,x>l,k>0

己知函數(shù)/(x)={x尸(x)=/(x)+4x

2\x<\

(1)當(dāng)A=1時，解不等式E(x)i6；(2)若尸(x)在R上是增函數(shù)，求A的取值范圍.

19.如圖，某市在兩條直線公路OA、OB上修建地鐵站A和8,EAOB=120?，為了方便市

民出行，要求公園。到AB的距離為1物?.設(shè)三加。=9.

(1)試求AB的長度/關(guān)于9的函數(shù)關(guān)系式；

(2)問當(dāng)如何值時，才能使AB的長度最短，并求其最短距離.

1

、

20.已知點KF2分別為雙曲線r：亍一/=1的左右焦點,直線/：歹=h+1與r有兩個

不同的交點A、B.

⑴當(dāng)居時，求工至”的距離；

(2)若。為原點，直線/與r的兩條漸近線在一、二象限的交點分別為c、。，證明：

當(dāng)ACOD的面積最小時,直線CD平行于x軸；

(3)設(shè)P為x軸上一點,是否存在實數(shù)k(k>0),使得APAB是以點P為直角頂點的等

腰直角三角形？若存在，求出k的值及點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

設(shè)數(shù)列上｝,仇｝的項數(shù)相同，對任意不相等的正整數(shù)s,f都有(4—%)("—")>0(<0),

則稱數(shù)列｛4｝,也｝成同序(反序).

(1)若=!,“,=log“〃，且｛a“｝,｛4｝成反序，求a的取值范圍；

(2)記等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，公差為d,求證：｛為｝和｛S,,｝同序的充要條件是

d(q+d)〉0；

(3)若數(shù)列｛%｝的通項公式為4=/T(qWl,q>0)其前〃項的和為S"，令

n

研究｛?！埃?，｝是成同序‘反序,還是其它情況？請說明理由.

2

楊浦區(qū)

三、解答題(本大題滿分76分)本大題共5題，解答下列各題必須在

答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖所示，正四棱柱ABCD-/向GR的底面邊長1,側(cè)棱長4,AAt中點為E,CQ中

點、為F.

(1)求證：平面BDE〃平面B\D\F；

(2)連結(jié)B\D,求直線BiD與平面BDE所成的角的大小

18.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

已知函數(shù)/(X)=fsinx+cosx,其中常數(shù)te火.

(1)討論函數(shù)/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)\ABC中內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且a=2,b=5,/(/)=2,求

當(dāng)f=3時,/UBC的面積.

3

19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖所示，鳥類觀測站需同時觀測兩處鳥類棲息地.A地在觀測站正北方向，且距離觀測站

2公里處，8地在觀測站北偏東arcsing方向，且距離觀測站5公里.觀測站派出一輛觀測

車（記為點M）沿著公路向正東方向行駛進(jìn)行觀測，記AMB為觀測角.

（1）當(dāng)觀測車行駛至距觀測站1公里時，求觀測角4例的大??；（精確到0.1）.

（2）為了確保觀測質(zhì)量，要求觀測角AMB不小于45,求觀測車行駛過程中滿足要求

的路程有多長.（精確到0」公里）

北

?B

A■

----------*7---------------東

20.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第

3小題滿分6分.

如圖，中心在原點。的橢圓「的右焦點為F（2V3,0）,長軸長為8.橢圓「上有兩點

P,Q,連結(jié)。尸，記它們的斜率為kop,koQ,且滿足kop-koQ^-\.

（1）求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：IOP|2+I。。I2為一定值，并求出這個定值；

（3）設(shè)直線00與橢圓「的另一個交點為R,直線R尸和P0分別與直線x=4V3交于

點〃，N,若\PQR和kPMN的面積相等，求點P的橫坐標(biāo).

4

21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3

小題滿分8分.

已知數(shù)列｛/｝滿足：％=1,=-?！盎騛“+i+2,對一切〃eN*都成立.記S“為

數(shù)列｛可｝的前〃項和.若存在一個非零常數(shù)TeN”,對于任意〃eN*,a,,+r=a“成立，

則稱數(shù)列｛%｝為周期數(shù)列，T是一個周期.

（1）求陽、%所有可能的值，并寫出出022的最小可能值；（不需要說明理由）

（2）若勺＞0,且存在正整數(shù)使得”與色■均為整數(shù)，求見.的值；

qp

（3）記集合S=｛〃|S“=O,〃eN*｝,求證：數(shù)列｛%｝為周期數(shù)列的必要非充分條件為“集

合S為無窮集合”.

5

徐匯區(qū)

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)解答下列各題必須在答題

紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.(本題滿分14分，第(1)小題6分，第(2)小題8分)

如圖，在正三棱柱ABC-4向G中，44=4,異面直線BC】與AA,所成角的大小為多.

(1)求正三棱柱ABC-4與G的體積；

(2)求直線8G與平面AA,C,C所成角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

18.(本題滿分14分，第(1)小題6分，第(2)小題8分)

己知函數(shù)/(x)=A/sin(ax+/)|。＞0,0＜的部分圖像如圖所示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)在NN為銳角的AZBC中，角4B、C的對邊分別為a、b、c,

若=巫;近,b+c=2+3近且4BC的面積為3,求a的值.

6

19.（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）

某油庫的設(shè)計容量為30萬噸，年初儲量為10萬噸，從年初起計劃每月先購進(jìn)石油加萬

噸，以滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸，區(qū)域外前x個月的需求量y（

萬噸）與淵函數(shù)關(guān)系為>=房］（p>0,1共x共16,x=N）,并且前4個月，區(qū)域外的

需求量為20萬噸.

（1）試寫出第x個月石油調(diào)出后，油庫內(nèi)儲油量/萬噸）與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使16個月內(nèi)每月按計劃購進(jìn)石油之后，油庫總能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，且

每月石油調(diào)出后，油庫的石油剩余量不超過油庫的容量，求/帝J取值范圍.

20.（本題滿分16分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）

已知橢圓M：》/l（a>b〉0）焦距為2近，過點加，*）?斜率為4的直線/與

橢圓"有兩個不同的交點兒B.

（1）求橢圓"的方程；

（2）若2=1,求|48|的最大值;

（3）設(shè)尸（一2,0）,直線處與橢圓"的另一個交點為C,直線以與橢圓"的另一個交點為

7j_

D.若C,〃和點0共線，求實數(shù)%的值.

452

7

21.（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）

記實數(shù)a、6中較小者為min｛a,6｝,例如min｛l,2｝=1,min｛1,1｝=1,對于無窮數(shù)列｛《,｝，

記hk=minJ-若對任意%eN?均有hk<hk+x,則稱數(shù)列｛an｝為“趨向遞增數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列｛%｝、也｝的通項公式分別為a“=cos修、〃=（一，判斷數(shù)列｛《,｝、

｛4｝是否為“趨向遞增數(shù)列”？并說明理由.

（2）已知首項為1,公比為q的等比數(shù)列｛&｝是“趨向遞增數(shù)列"，求公比（7取值范圍；

⑶若數(shù)列｛4｝滿足4、4為正實數(shù)，且"”=|d"+2一4/，求證：數(shù)列｛4｝為''趨向

遞增數(shù)列”的必要非充分條件是｛4｝中沒有0.

8

黃浦區(qū)

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)解答下列各題必須在答題卷

的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)如圖，直角邊長為1的等腰直

角三角形ABC及其內(nèi)部繞3C邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個圓錐.

(1)求該圓錐的側(cè)面積S;

(2)三角形ABC繞BC逆時針旋轉(zhuǎn)二到AXBC,M為線段AA,中點，求CM與平面AAXB

2

所成角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

設(shè)a為常數(shù),函數(shù)/(X)=log,電工.

x+a

⑴若a=0,求函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)y=/T(x);

(2)若a④0,根據(jù)a的不同取值,討論函數(shù)y=/(x)的奇偶性,并說明理由.

9

19.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

某公園要建造如圖所示的綠地0Z6C,040C為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄

AB與BC的總長度為12米,且NBAO=NBCO.設(shè)NBAO=a(O<a<1).

TT

(1)當(dāng)N8=4,a=上時，求ZC的長；(結(jié)果精確到0.1米)

3

(2)當(dāng)AB=6時,求S的最大值及此時a的值.

20.(本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)

已知雙曲線「：土一匕=1,b為左焦點，P為直線x=l上一動點，0為線段尸尸與「的交

412

點.定義:d(P)=

\FQ\

⑴若點Q的縱坐標(biāo)為Ji1,求d(P)的值;

(2)設(shè)“(P)=%,點P的縱坐標(biāo)為1,試將t2表示成2的函數(shù)并求其定義域;

⑶證明:存在常數(shù)m、n，使得md(P)=\PF\+n.

10

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

已知數(shù)列｛4｝滿足以下兩個條件：⑴q=1,當(dāng)〃>2時，,“-1|=卜,_1+1];(2)若存在某一

項-3,則存在kG｛1,2,…，加一1｝,使得ak=am+2(加22且加eN*).

(1)若。2>0,求a2M3M4；

⑵若對一切正整數(shù)二冊均成立的T的最小值為6,求該數(shù)列的前9項之和;

(3)在所有的數(shù)列｛%｝中,求滿足冊=-2021的〃?的最小值.

11

崇明區(qū)

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）

［解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.】

17.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分7分，第⑵小題滿分7分）

如圖，正方體/88—/EGA的棱長等于4,點￡是棱的中點.D

（1）求直線/￡與直線8。所成的角；八

（2）若底面/BCD上的點尸滿足尸〃，平面4EG，

求線段OP的長度.

18.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分）

已知/（%）=5/3sin2x-2cos2x-1.

（1）求函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）設(shè)△/8C的內(nèi)角A滿足/8）=0,且在.就=3,求BC邊長的最小值.

19.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分）

環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號的電動汽車在國道

上進(jìn)行測試，國道限速80km/h.經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速

度v（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示：

V0104060

M0132544007200

為了描述國道上該汽車每小時耗電量M與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇

（1）當(dāng)0WvW80時，請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），

并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式：

（2）現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從4地行駛到B地，其中高速上行駛200km,國道上行駛30km

,若高速路上該汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關(guān)系滿

足N（v）=2/_10v+200（80<vW120）,則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為

多少？

12

20.（本題滿分16分，本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5分，第

（3）小題滿分7分）

已知雙曲線=雙曲線「的右焦點為b，圓C的圓心在y軸正半軸上，且經(jīng)

過坐標(biāo)原點。，圓C與雙曲線「的右支交于/、8兩點.

（1）當(dāng)△的是以E為直角頂點的直角三角形，求△OE4的面積；

（2）若點4的坐標(biāo)是（6,1）,求直線的方程；

（3）求證：直線N8與圓彳2+產(chǎn)=2相切.

21.（本題滿分18分，本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）

小題滿分8分）

已知集合M=機(jī),xwZ｝（Z是整數(shù)集，機(jī)是大于3的正整數(shù)）.若含有加項

的數(shù)列｛?！埃凉M足：任意的都有q且當(dāng)iw/時有。尸力,當(dāng)時有

|%-％|=2或除lq|=3,則稱該數(shù)列為尸數(shù)列.

（1）寫出所有滿足〃?=5且為=1的尸數(shù)列；

（2）若數(shù)列｛%｝為P數(shù)列，證明：｛%｝不可能是等差數(shù)列；

（3）已知含有100項的尸數(shù)列也｝滿足名,即）,…，陽，…，％oo（%=1，2,3,…,20）是公差為

d（d>0）等差數(shù)列，求”所有可能的值.

13

虹口區(qū)

三.解答題(本大題滿分76分)

17.(本題滿分14分.第(1)小題7分，第(2)小題7分.)

如圖，四棱錐尸-Z8CD的底面是矩形，尸底面48CD,/為3C的中點,

7T

PD=DC=1,直線尸8與平面Z8CQ所成的角為一.

6

(1)求四棱錐尸一Z8CD的體積：

(2)求異面直線工〃與尸。所成的角的大小.

18.(本題滿分14分.第(1)小題7分，第(2)小題7分.)

l,xA

已知函數(shù)/(x)=:苫+是定義域為R的奇函數(shù).

(1)求實數(shù)b的值，并證明/(x)在R上單調(diào)遞增;

3,

(2)已知。＞0且awl,若對于任意的％、X2G[1,3],都有/(3)+萬2優(yōu)廠2恒成立

,求實數(shù)”的取值范圍.

19.(本題滿分14分.第(1)小題7分，第(2)小題7分.)

如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形N88的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別

以/OC8和/D48為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與8。相切.

(1)若2。=4歷,/3=3歷,80=37(長度單

位：米)，求種植花卉區(qū)域的面積；

(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則/3D4

多大時，平行四邊形綠地N5CD占地面積最小？

14

20.（本題滿分16分.第（1）小題3分，第（2）小題6分，第（3）小題7分）

已知拋物線。：/=2川（2〉0）的焦點為/，準(zhǔn)線為/,記準(zhǔn)線/與x軸的交點為/,

過Z作直線交拋物線C于M（X|，M）,NO2,必）（/>斗）兩點?

（1）若再+%=2"，求IWl+lNEl的值；

（2）若〃是線段NN的中點，求直線九W的方程；

（3）若P,Q是準(zhǔn)線/上關(guān)于x軸對稱的兩點，問直線

PM與。N的交點是否在一條定直線上？請說明理由.

21.（本題滿分18分.第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）.

對于項數(shù)為的數(shù)列｛/｝,若滿足：14%<a2V4,，且對任意j

與也中至少有一個是｛q｝中的項，則稱｛《,｝具有性質(zhì)尸.

ai

（1）分別判斷數(shù)列1,3,9和數(shù)列2,4,8是否具有性質(zhì)尸，并說明理由；

（2）如果數(shù)列。］,出，。3，。4具有性質(zhì)2，求證：%=1,包=02?%；

（3）如果數(shù)列｛/｝具有性質(zhì)P,且項數(shù)為大于等于5的奇數(shù).判斷｛%｝是否為等比數(shù)列

?并說明理由.

15

嘉定區(qū)

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要

的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖，圓錐的底面半徑。/=2,高P0=6,點。是底面直徑N8所對弧的中點，點。

是母線E4的中點.求：

(1)該圓錐的表面積；

(2)直線C。與平面R18所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

設(shè)常數(shù)aeR,函數(shù)/(X)=2*+I+￡.

(1)若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值：

(2)若對任意xe[l,+oo),/(%)>3>求實數(shù)a的取值范圍.

16

19.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱與地面垂直，燈桿3c與燈柱

N8所在的平面與道路走向垂直，路燈。采用錐形燈罩，射出的光線與平面48c的部分截

面如圖中陰影部分所示.已知乙48=四，路寬/。=24米.設(shè)/4。8=。

33

7T

(1)當(dāng)6='時，求△NBC的面積：

6

(2)求燈桿8c與燈柱Z8長度之和￡(米)關(guān)于。的函數(shù)解析式，并求當(dāng)。為何值

時，L取得最小值.

20.(本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)

已知雙曲線C:5一5=1(。>0/>0)的一條漸近線的方程為X3_=0,它

a2b21V13

的右頂點與拋物線「=4&的焦點重合,經(jīng)過點4(_9,0)且不垂直于x軸的直線與雙

曲線C交于“、N兩點.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點M是線段ZN的中點，求點N的坐標(biāo)；

(3)設(shè)尸、0是直線x=-9上關(guān)于x軸對稱的兩點，求證：直線與QN的交點

必在直線x=—L上.

3

17

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

若項數(shù)為％(%6^1*且左23)的有窮數(shù)列｛4｝滿足：

|a,-a2|<|a2-a3|<---<|a,_1-aA.|,則稱數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)M

(1)判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)M”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

(2)設(shè)““=|%(加=1,2,…水―1),若數(shù)列［,｝具有“性質(zhì)M”，且各

項互不相同.求證：“數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列｛%,｝為常數(shù)列”；

(3)已知數(shù)列｛凡｝具有“性質(zhì)河”.若存在數(shù)列｛4｝,使得數(shù)列｛4｝是連續(xù)上個正整

數(shù)1,2,…,左的一個排列，且何一4|+|。2-。3|+…+除-「％|=左+2,求1的所有可能的

值.

18

金山區(qū)

三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

如圖，已知四棱錐的底面N8C。是梯形，AD〃BC,NBAD=90。,SAA.

平面/BCD,SA=BC=\,AD=2,AB=6

（1）求四棱錐S-48CD的體積：

（2）求直線8s與平面SC。所成角的大小.

18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

在△NBC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知2bsinN—Jia=O,

且8為銳角.

（1）求角B的大?。?/p>

Q）若3c=3。+屈，證明△Z8C是直角三角形.

19

19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某公司生產(chǎn)的某種時令商品在未來一個月（30天）內(nèi)的日銷售量

加。）（百件）與時間第，天的關(guān)系如下表所示：

第/天1310???30

日銷售量加（，）（百件）236.5??.16.5

未來30天內(nèi)，受市場因素影響，前15天此商品每天每件的利潤（元）與時間第f天

的函數(shù)關(guān)系式為/（/）=-3，+88（1?，?15,且/為整數(shù)），而后15天此商品每天每件的利潤

（元）與時間第￡天的函數(shù)關(guān)系式為人（。=等+2（16、?30,且f為整數(shù)）.

（1）現(xiàn)給出以下兩類函數(shù)模型：①m（t）=kt+b（k、b為常數(shù)）；②

=6為常數(shù)，?！?且4H1）.分析表格中的數(shù)據(jù)，請說明哪類函數(shù)模型更合

適，并求出該函數(shù)解析式；

（2）若這30天內(nèi)該公司此商品的日銷售利潤始終不能超過4萬元，則考慮轉(zhuǎn)型.請判斷該

公司是否需要轉(zhuǎn)型？并說明理由.

20

20.(本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)

x2y2

已知橢圓r：一+4=1的左、右焦點分別為耳、F2,設(shè)P是第一象限內(nèi)橢圓「上一

4312

點，PF-尸鳥的延長線分別交橢圓「于點2、Q2,直線。鳥與。2片交于

點、R.

(1)求△尸g8的周長；

(2)當(dāng)尸居垂直于x軸時，求直線的方程；

(3)記△片。述與△鳥。2尺的面積分別為S1、S2,求邑—5的最大值.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

對于集合〃={。1，。2，。3，,-，%}，“比且〃eN*，定義

A+A={x+y\xeA,yeASJCy}.集合力中的元素個數(shù)記為|Z|,當(dāng)

|。+川=叱-D時,稱集合力具有性質(zhì)

⑴判斷集合4={1,2,3},4={1,2,4,5}是否具有性質(zhì)「，并說明理由；

(2)設(shè)集合8={l,3,p,q}(p,0GN,且3<p<q)具有性質(zhì)「，若8+3中的所有

元素能構(gòu)成等差數(shù)列，求夕、夕的值；

(3)若集合N具有性質(zhì)「，且/+4中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，問：集合力中的元

素個數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值：若不存在，請說明理由.

21

閔行區(qū)

三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，四棱錐

P-ABCD的底面為菱形，PD±平面ABCD,NBAD=60°,E為棱8C的中點.

（1）求證：EDI平面P4D;

⑵若尸。==2,求點D到平面PBC的距離.

18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知｛%｝是公差

為d的等差數(shù)列，前〃項和為42M3，4的平均值為4的平均值為12.

2

⑴求證：Sn-n;

⑵是否存在實數(shù)/,使得4包—<1對任意neN*恒成立,若存在,求出t的取值范圍,若

%

不存在，請說明理由.

22

19.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.某學(xué)校舉辦畢業(yè)聯(lián)

歡晚會,舞臺上方設(shè)計了三處光源.如圖，AASC是邊長為6的等邊三角形，邊8c的中點”

處為固定光源，E、r分別為邊N6、NC上的移動光源，且腔始終垂直于三處光源

把舞臺照射出五彩繽紛的若干區(qū)域.

(1)當(dāng)E為邊NC的中點時,求線段EF的長度;

(2)求AEFM的面積的最小值.

20.(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.

已知點片、鳥分別為橢巨「：萬+/=1的左、右焦點，直線/：y=Ax+f與橢圓「有且僅

有一個公共點,直線F、M1l,F2N11,垂足分別為點M、N.

(1)求證：/=2/+1；

(2)求證：麗為定值，并求出該定值;

⑶求|西+麗H兩-網(wǎng)的最大值.

23

21.(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.

對于定義域為R的函數(shù)》=/(x),若存在實數(shù)4使得/(》+4)+/(，)=2對任意》€(wěn)氏恒

成立,則稱函數(shù)y=/(x)具有尸(a)性質(zhì).

⑴判斷函數(shù)/(x)=/與人(x)=l+sirw是否具有P(a)性質(zhì)，若具有P(a)性質(zhì)，

請寫出一個。的值，若不具有P(a)性質(zhì)，請說明理由；.

(2)若函數(shù)y=〃x)具有尸(2)性質(zhì),且當(dāng)xe[0,2]時，/(x)=,一1|,解不等式

(3)已知函數(shù)y=/(x),對任意xeA,/(x+l)=/(x)恒成立，若由“y=/(x)

具有尸性質(zhì)”能推出“/(x)恒等于1”，求正整數(shù)〃的取值的集合.

24

青浦區(qū)

三.解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖，已知圓柱的軸截面/5CD是邊長為2的正方形，E是弧3萬的中點.

（1）求該圓柱的表面積和體積；

（2）求異面直線BE與/。所成角的大小.4廠——

18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

在△/8C中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若acosC+百asinC-b-c=O.

（1）求角〃的大?。?/p>

（2）若a=2,△NBC的面積為如，求b,c的值.

25

19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

治理垃圾是改善環(huán)境的重要舉措.A地在未進(jìn)行垃圾分類前每年需要焚燒垃圾量為200

萬噸，當(dāng)?shù)卣畯?020年開始推進(jìn)垃圾分類工作，通過對分類垃圾進(jìn)行環(huán)保處理等一系列

措施，預(yù)計從2020年開始的連續(xù)5年，每年需要焚燒垃圾量比上一年減少20萬噸，從第6年

開始，每年需要焚燒垃圾量為上一年的75%（記2020年為第1年）.

（1）寫出Z地每年需要焚燒垃圾量與治理年數(shù)〃eN*）的表達(dá)式；

（2）設(shè)4為從2020年開始〃年內(nèi)需要焚燒垃圾量的年平均值，證明數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列.

20.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6

分.

已知楠圓「：工+匕

=1的右焦點為尸，過尸的直線/交「于48兩點.

43

（1）若直線/垂直于x軸，求線段N8的長；

（2）若直線/與x軸不重合，O為坐標(biāo)原點，求△ZO3面積的最大值；

（3）若橢圓「上存在點C使得|NC|=|8C|,且△NBC的重心G在y軸上，求此時直

線/的方程.

26

21.(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8

分.

設(shè)函數(shù)/(x)=x2+px+q(p,qeR),定義集合O'={x|/(/(x))=x,xeR},集合

號={x|/(/(x))=O,xeR}.

(1)若p=q=O,寫出相應(yīng)的集合0和號：

(2)若集合Z\={0},求出所有滿足條件的夕,夕；

(3)若集合E/只含有一個元素，求證：p>Q,q>Q.

27

松江區(qū)

三、解答題

17.如圖，在四棱錐尸-Z8C。中，底面/8C。是矩形，尸/，平

面ABCD,PA=AD=l,AB=C,E是PZ)的中點，點E在棱CD

上.

(1)求四棱錐P-48C。的全面積；

(2)求證：PEVAF.

18.在等差數(shù)列｛”“｝中，已知6+02=10，%+%+%=30.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛%+"｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列也｝的前〃項和S”.

28

19.如圖，農(nóng)戶在/8=100米、8c=80米的長方形地塊

488上種植向日葵，并在4處安裝監(jiān)控攝像頭及時了解向

日葵的生長情況.監(jiān)控攝像頭可捕捉到圖像的角度范圍為

NP40=45。，其中點P、。分別在長方形的邊8C、CDk

，監(jiān)控的區(qū)域為四邊形4PC0.記N8/尸=。（0。4"45。）.

（1）當(dāng)。=30。時，求尸、。兩點間的距離：（結(jié)果保留整數(shù)）

（2）問當(dāng)。取何值時，監(jiān)控區(qū)域四邊形4PC。的面積S最大？最大值為多少？（結(jié)果保留

整數(shù)）

20.已知橢圓r：=1（〃>6>0）的右頂點坐標(biāo)為4（2,0）,左、右焦點分別為耳、F

7+F2

且歸段=2,直線/交橢圓「于不同的兩點"和N.

（1）求橢圓「的方程；

（2）若直線/的斜率為1,且以MV為直徑的圓經(jīng)過點/,求直線/的方程;

（3）若直線/與橢圓「相切，求證：點與、鳥到直線/的距離之積為定值.

29

21.

對于定義在&上的函數(shù)/(x),若存在正數(shù)“與集合N,使得對任意的再,&€及，當(dāng)

xt<x2,且為一再一加時,都有|/(々)一/(苞)歸/,則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)(”/).

(1)若/(x)=|2x-l|,判斷/(x)是否具有性質(zhì)(1,[0,2]),并說明理由；

(2)若/(x)=sinx,且/(x)具有性質(zhì)(見[0,1])，求，的最大值;

(3)若函數(shù)/(x)的圖像是連續(xù)曲線，且當(dāng)集合Z=(0,。)(。為正常數(shù))時，/(x)具有

性質(zhì)(1,4),證明：/(x)是R上的單調(diào)函數(shù).

30

長寧區(qū)

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要

的步驟.

17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

已知圓錐的頂點為S,底面圓心為。，母線S/的長為2J5.

（1）若圓錐的側(cè)面積為2屆，求圓錐的體積；

（2）/、8是底面圓周上的兩個點，N40B=90。，M為線段的中點，若圓錐的

底面半徑為2,求直線SW與平面SCM所成角的大小.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

在△ZBC中，角4、8、。的對邊分別為a、b、c.

（1）若sin?4usin?B+sin?C+sin6sinC，求力；

（2）若C=60。，△ABC的面積S=JJ，求△ZBC外接圓半徑R的最小值.

31

19.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分).

甲、乙兩人同時分別入職4、8兩家公司，兩家公司的基礎(chǔ)工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：Z公司

第一年月基礎(chǔ)工資數(shù)為3700元，以后每年月基礎(chǔ)工資比上一年月基礎(chǔ)工資增加300元；B公

司第一年月基礎(chǔ)工資數(shù)為4000元，以后每年月基礎(chǔ)工資都是上一年的月基礎(chǔ)工資的1.05倍.

(1)分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎(chǔ)工資收入總量(精確到1元)；

(2)設(shè)甲、乙兩人入職第〃年的月基礎(chǔ)工資分別為%、b“元,記c“=a”-b”,討論

數(shù)列｛c“｝的單調(diào)性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基礎(chǔ)工資高于乙的月基礎(chǔ)工資，

并說明理由.

20.(本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分).

v-2

已知/、3分別為橢圓「：/+=1(a>1)的上、下頂點，F(xiàn)是橢圓r的右焦點，M是

橢圓「上異于4、8的點.

TT

(1)若NAFB=—,求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

(2)設(shè)直線/：歹=2與丁軸交于點尸，與直線交于點。，與直線"8交于點E,

求證：|P0」PR|的值僅與a有關(guān);

(3)如圖，在四邊形M4O8中，MAA.AD,MBLBD,若四邊形加ZZ)8面積S的

最大值為3，求。的值.

2

32

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分).

已知函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),若存在常數(shù)7>0,使得對任意xe(0,+oo),都

有/(以)=/(x)+T,則稱函數(shù)/(x)具有性質(zhì)尸(T).

(1)若函數(shù)/(x)具有性質(zhì)尸(2),求/(2)—的值；

(2)設(shè)/(x)=log?x,若0<a<1,求證：存在常數(shù)7>0,使得/(x)具有性質(zhì)P(T)

(3)若函數(shù)/(x)具有性質(zhì)尸(T),且/(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，求證：函

數(shù)/(x)在(0,+8)上存在零點.

33

靜安區(qū)

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)

17.在L/6C中，角48,C的對邊分別,cosCsin\A-I—j—sinCsin[A—|=—.

(1)求8；

(2)若口ZBC的周長為4,面積為立，求b.

3

18.如圖，在三棱錐4—3CD中，平面平面BCD,AB=AD,。為80的中點.

(1)證明：O41CQ；

(2)已知口。8是邊長為1的等邊三角形，且三棱錐8。。的體積為立，若點E在棱2。上，且二

6

DF

面角七一8。一。的大小為45。，求力.

EA

34

19.已知｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，％〉0,且%是2%和%一2的等比中項.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛"｝滿足'+%+…+4=2e，求｛“｝的前〃項和7；.

a\a2an

20.已知橢圓C：=+與=1(a〉b〉0)的左，右焦點分別為耳，F(xiàn)2,上，下頂點分別為N,B,四

ah

邊形AFiBF2的面積和周長分別為2和40.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：y=%(x+l)(%工0)與橢圓C交于E,尸兩點，線段E尸的中垂線交y軸于M點，且

△EMF為直角三角形,求直線/的方程.

35

21.因函數(shù)歹=x+-(/>0)的圖像形狀象對勾，我們稱形如“y=x+—(/>0)”的函數(shù)為“對勾函

數(shù)”，*X

(1)證明對勾函數(shù)具有性質(zhì)：在(o,JT|上是減函數(shù)，在(JF,+8)上是增函數(shù).

(2)已知/'(x)=2x+a--5,xe[l,3]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；

2x-l

(3)對于(2)中的函數(shù)/(x)和函數(shù)g(x)=》2_/“x+4,若對任意玉總存在％e[l,3],使得

g(%)</(%)成立，求實數(shù)加的取值范圍.

36

浦東新區(qū)

三、解答題(本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的

規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖,直三棱柱ABC-&81cl中，Z.ACB=90°,CA=CB=

CG=2,點D是線段的中點.

(1)求三棱柱4BC-&B1G的體積；

(2)已知P為側(cè)棱8當(dāng)?shù)闹悬c，求點P到平面BCO的距離.

解：

18.(本題滿分14分)本題共有2個小