2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）10-5 拋物線（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

10.5拋物線（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用【例1-1】（2022·北京·高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為3，則____________．【答案】2【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為3，所以，得，故答案為：2【例1-2】（2022·廣西貴港）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.【一隅三反】1．（2022·河北）若點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．【答案】5【解析】由題意，知拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故的長度等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，所以,故答案為：52．（2022·吉林）拋物線上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最小值為___________.【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)取得最小值4，故答案為：43．（2022·河南）已知拋物線的焦點(diǎn)是，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為______，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】

【解析】易知點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，則的方程為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，當(dāng)，即，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，代入，得，所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：；．考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】（2022·湖南）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且通徑長為6的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】由拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為，因?yàn)橥◤介L為6，所以，所以，所以所求拋物線方程為．故答案為：．【例2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則此拋物線方程為__________．【答案】【解析】如圖，作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，，故，在直角三角形中，因?yàn)?，，所以，從而得，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.故答案為：.【一隅三反】1．（2022·西藏）已知拋物線過點(diǎn)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】或【解析】∵拋物線過點(diǎn)，且點(diǎn)在第四象限，∴拋物線的開口向右或向下．若開口向右，則設(shè)方程為，∵過點(diǎn)，∴，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若開口向下，則設(shè)方程為，∵過點(diǎn)，∴，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．2．（2022北京）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】或【解析】由于拋物線的準(zhǔn)線方程是，而點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，于是，代入，得，解得或，故該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故答案為：或．3．（2022·全國·課時(shí)練習(xí)）下列條件中，一定能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的是______（填序號）（寫出一個(gè)正確答案即可）．①焦點(diǎn)在x軸上；②焦點(diǎn)在y軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3；④焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；⑤由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為．【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到拋物線的方程為，則焦點(diǎn)一定在x軸上，故①必選，②不選．若選①③，由拋物線的定義可知，得，則拋物線的方程為．若選①⑤，設(shè)焦點(diǎn)，，，，由，得，解得，故拋物線的方程為．由④可知，故還可選擇①④．故答案可為①③或①⑤或①④．故答案為：①③（答案不唯一）考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系【例3】（2022·西安）已知拋物線的方程為，若過點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，消去并整理，得．當(dāng)時(shí)（當(dāng)直線斜率存在時(shí)，需要討論斜率是否為），顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得或．綜上，，故選：A．【一隅三反】1．（2022·黃石市）（多選）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為（）A． B．2 C． D．-2【答案】BD【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以,，，,由題得.因?yàn)椋?滿足.故選：BD2．（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，若，則(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】由題可得，因?yàn)?，所以，，所以為坐?biāo)原點(diǎn))的面積是.故選：A.3．（2022·廣東高三開學(xué)考試）過點(diǎn)的兩條直線與拋物線C：分別相切于A，B兩點(diǎn)，則三角形PAB的面積為（）A． B．3 C．27 D．【答案】A【解析】拋物線，即，故，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，整理得，同理故直線的方程為，由得，故，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，故三角形的面積為故選：.考點(diǎn)四弦長【例4-1】（2022·云南玉溪·高二期末）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為在直線上，故是拋物線的焦點(diǎn)弦，則由得：，所以，，所以，故選：D.【例4-2】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】設(shè)，由A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可得，所以．故選：C．【一隅三反】1．（2021·江蘇揚(yáng)州·高三月考）直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則___________.【答案】8【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點(diǎn)F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.2．（2021·全國高三（理））已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A?B兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)P，若F為PB.中點(diǎn)，且，則|AB|=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，N，由拋物線定義知，，又F為PB.中點(diǎn)，則，，則，，，則故選：D3．（2022·云南）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1