課程數(shù)分課件bit101級數(shù)

例

2

計(jì)算曲線積分2222(

y

-

z

2

)dx

+

(z

2

-

x

)dy

+

(

x

-

y

)dzG其中G是平面x

+y

+z

=3截立方體:0

￡

x

￡

1,20

￡

y

￡

1,0

￡

z

￡

1的表面所得的截痕,若從ox軸的正向看去,取逆時(shí)針方向.解3取Σ為平面x

+y

+z

=2的上側(cè)被G所圍成的部分.則1n

=

3

{1,1,1}zxyoSnG即3cosa

=

cos

b

=

cosg

=

1

,dS?x

?y

?zy2

-

z2

z2

-

x2

x2

-

y2\

I

=

S3?3?3?1

1

1S3=

-

4

(

x

+

y

+

z)dS3 2

S3

Dxy=

-

4 3

dS

=

-223dxdy

=

-

9

.2(在S上x

+y

+z

=3)Dxy2x

+

y

=

32x

+

y

=

1定理1

設(shè)空間開區(qū)域

G

是一維單連通域，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則空間曲線積分G

Pdx

+Qdy

+Rdz在G

內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G

內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式?P

=?Q

,?Q

=?R

,?R

=?P

在G

內(nèi)恒成立．?y

?x

?z

?y

?x

?z空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件?P

=?Q

,?Q

=?R

,?R

=?P

在G

內(nèi)恒成立．?y

?x

?z

?y

?x

?z定理2

設(shè)區(qū)域

G

是空間一維單連通域，

函數(shù)P(

x,

y,

z)、Q(

x,

y,

z)、R(

x,

y,

z)

在

G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則表達(dá)式

Pdx

+

Qdy

+

Rdz在

G

內(nèi)成為某一函數(shù)

u(

x,

y,

z)

的全微分的充分必要條件是等式Pdx

+

Qdy

+

Rdz且

u(

x,

y,

z)

=(

x

,

y

,z

)0

0

0(

x

,

y

,z

)+=zz0+

R(

x,

y,

z)dz.yyxQ(

x,

y,

z

)dy00用定積分表示為u(

x,

y,

z)xP(

x,

y0

,

z0

)dx0其中M

(x0

,y0

,z0

)為G

內(nèi)某一定點(diǎn)，點(diǎn)M

(x,y,z)?

G.M0

(

x0

,

y0

,

z0

)M1

(

x,

y0

,

z0

)M2

(

x,

y,

z0

)M

(

x,

y,

z)zxyO三、物理意義---環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:.稱為向量場A沿曲線C按所取方向的環(huán)流量則沿場A中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分設(shè)向量場C

CG

=

A

dl

=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz

A(

x,

y,

z)

=

P(

x,

y,

z)i

+

Q(

x,

y,

z)

j

+

R(

x,

y,

z)k2.旋度的定義:(rotA)

.?

為向量場的旋度

i

j

k??x

?y

?zP

Q

R稱向量?9-4

6（1）121),

B(這里A(-1,-,

0),

C(0,1)L是有向折線ABCxdy

-

ydx

x2

+

y2L例1 求I

=?Q

y2

-

x2

?P解

=

=?x

x2

+

y2

?y\積分與路徑無關(guān)可選路徑AEFC，則110222-111+

x1+

y1+

xL-1xdy

-

ydx

=

dxx2

+

y2dy-dxI

=++

1102054=

5=

5

arctan

x

|

=1+

xdxp請思考：能否取折線ADCx

yx2

y2

z2例2求

1dydz

+1

dzdx

+1

dxdy

,S

:

橢球面

+

+a2

b2

c2z=1的外側(cè)(a

>0,b

>0,c

>0)S12z

z

zS

SS解

此題不可用高斯公式,因?yàn)椴粷M足公式條件.設(shè)S1

,S2為上半橢球面的上側(cè)和下半球面的下側(cè),x2

y2則兩曲面在xOy面上投影域?yàn)?/p>

+

￡1.a2

b2

1dxdy

=

1dxdy

+

1dxdyx2

y22dxdyx2

y21-

-a2

b2=c+

￡1a2

b2200x2aa

dy2cx2

y2b

1-4

dx=c21-

-a2

b24pabcx20b

1-a220=

8ab

1-x2

ydx

=a

arcsinc

b2dzdx

=

4pabc

.xa2yS

Sdydz

=

4pabc

,類似地,有a2

b2

2c

\

原式

=

4pabc

1

+

1

+

1

.r

(x,

y,

z

)點(diǎn)O

(0,

0,

0)到平面P

的距離,求

z

dS.22

2x2

y2例3

設(shè)S為橢球面

+ +

z

=

1的上半部分,點(diǎn)P

(x,y,z

)?

S

,P

為S在點(diǎn)P處的切平面,r

(x,y,z

)為S22

2x2

y2解

S

:

+ +

z

=

1

,n

=

(x,

y,

2z).過點(diǎn)P(x,y,z)的切平面為x(

X

-

x)

+

y(Y

-

y)

+

2z(Z

-

z)

=

0.注意到

x2

+

y2

+

2z2

=

2上述方程寫成

xX

+

yY

+

zZ

=12

2原點(diǎn)到此平面的距離為22

2x2

y2代入z

=

1-

-

,則4

-

x2

-

y2

dxdy

x2

y2

2

1-

2

+

2

dS

=1-222+

z2

,r(x,

y,

z)

=4x

+

y

44

-

x2

-

y212r(x,

y,

z)

=,4

4x2

y21-

-=

x2

y2

22,

D

:

x

+

y

￡

2

又

z

=

1-

2

+

2

2

x2

y2

r

(x,

y,

z

)4

-

x2

-

y24

-

x2

-

y2ds

x2 2

=

DS\

2

1-+

y

2

2

z

dS1-

2

+

2

2214(4

-

x-

y

)dxdyD=2p001422

2

3(4

-

r

)rdr

=

pdq=我國早在魏晉時(shí)代(公元200-350年)，劉徽已經(jīng)用無窮級數(shù)的概念來計(jì)算圓的面積了。直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉開辟了無窮級數(shù)的理論研究。Leonhard

Euler

(1707-1783)一、問題的提出1.計(jì)算圓的面積R正六邊形的面積正十二邊形的面積a1a1

+

a2a1

+

a2

+

+

an正3

·

2n

形的面積即

A

?

a1

+

a2

+

+

an++

+

+1

=

3

+

3

33

10

100

100010n32.從上例可知：無限和可能存在（例1、2），可能不存在（例3），無限和是與

有限和有重大區(qū)別的新概念．那么，在什么條件下無限和是一個(gè)確定的數(shù)？在什么條件下無限和不是一確定的數(shù)，這就構(gòu)成了研究數(shù)項(xiàng)級數(shù)最基本的問題．3.

1+

2

+3

++

n

+

=

+￥二、級數(shù)的概念1.級數(shù)的定義:￥

un

=

u1

+

u2

+

u3

+

+

un

+n=1(數(shù)列項(xiàng))無窮級數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列s1

=

u1

,

s2

=

u1

+

u2

,i=1nsn

=

u1

+

u2

+

+

un

=

ui級數(shù)的部分和s3

=

u1

+

u2

+

u3

,,sn

=

u1

+

u2

+

+

un

,2.級數(shù)的收斂與發(fā)散:￥當(dāng)n無限增大時(shí),如果級數(shù)

un

的部分和n=1nfi

￥數(shù)列sn

有極限s,

即

lim

sn

=

s

則稱無窮級數(shù)￥

￥

un

收斂,這時(shí)極限s

叫做級數(shù)

un

的和.并n=1

n=1寫成

s

=

u

1

+

u

2

+

+

u

n

+

￥如果sn

沒有極限,則稱無窮級數(shù)

un

發(fā)散.n=1即

數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂(發(fā)散)nfi

￥lim

sn

存在(不存在)余項(xiàng)￥rn

=

s

-

sn

=

un+1

+

un+2

+

=

un+ii

=1即nfi

￥sn

?

s

誤差為rn

(lim

rn

=

0)無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”．觀察雪花分形過程設(shè)三角形第一次分叉：9312

1面積為

A

=

A

+

3

1

A

;2

1周長為

P

=

4

P

,依次類推3

;4周長為P1

=3,1面積為

A

=播放n-1P

=

(4)

P n

=

1,2,n

3

111[( )n-1

A

]}9n-2An

=

An-1

+

3{41121

11n-1

A+

+

3

4n-2

(

)9919=

A

+

3

1

A

+

3

4

(

)

An

=

2,3,周長為面積為(

)

]}3

91

43

3

9

3

9n-221=

A

{1

+[1

+

1

(4)

+

1

(4)

+

+第n

次分叉：于是有nfi

￥lim

Pn

=

￥4131

-

9lim

A

=

A

(1

+n

1nfi

￥53

.51)

=

A

(1

+

3)

=

2雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．例1

討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))￥aqn

=

a

+

aq

+

aq2

+

+

aqn

+

(a

?

0)n=0的收斂性.解如果q

?1時(shí)2

n-1sn

=

a

+

aq

+

aq

+

+

aq1

-

qa

-

aqn=a

aqn-

,=

1

-

q

1

-

q當(dāng)q

<1時(shí),lim

qn

=

0

\nfi

￥1

-

qanlim

s

=nfi

￥當(dāng)q

>1時(shí),lim

qn

=

￥

\nfi

￥nfi

￥lim

sn

=￥

發(fā)散收斂如果q

=1時(shí)當(dāng)q

=1時(shí),當(dāng)q

=-1時(shí),sn

=

na

fi

￥發(fā)散級數(shù)變?yōu)閍

-a

+a

-a

+nfi

￥\lim

sn不存在發(fā)散￥當(dāng)q

?1時(shí),發(fā)散綜上

aq

n

當(dāng)q

<1時(shí),收斂n=0n=1

n例

2

證明：調(diào)和級數(shù)

1

lim

1

0nfi

￥

n￥雖有

=

，但是它是發(fā)散的.調(diào)和級數(shù)部分和證

我們利用定積分的幾何意義加以證明.nn

S

=k

=11k，如圖所示.考察曲線y

=1

,x

=1,x=n

+1和y

=0所x圍成的曲邊梯形的面積S與陰影表示的階梯形面積An之間的關(guān)系，Oy11/21

2

3

4n

n+1x可以看到陰影部分的第一個(gè)矩形面積A1

=1，第二個(gè)矩形面積A2

=1

2，第三個(gè)矩形面積A3

=1

3，……，第n個(gè)矩形面積An

=1

n

，所以陰影部分的總面積為nn

A

=k

=1nk

=1nA

=1+1

2

+1

3

++1

n

=1k，它顯然大于曲邊梯形的面積S

，即有=

ln(n

+1)

，dx

=

ln

x1xn+11n+11A

>A

=nk

=1kn而lim(n

+1)=￥

，表明An

的極限不存在，所以該級數(shù)nfi

￥發(fā)散.￥￥根據(jù)定義來討論無窮級數(shù)

an

的斂散性,n=1將面臨部分和數(shù)列Sn

的計(jì)算(即n

項(xiàng)求和問題).于是研究出不從定義出發(fā)(從而回避Sn的計(jì)算)討論級數(shù)

an

的斂散性的方法就成為研究無窮級數(shù)n=1問題的關(guān)鍵.為此我們先討論無窮級數(shù)的一些基本性質(zhì)從上面例子可知:三、基本性質(zhì)￥n=1￥n=1性質(zhì)1

如果級數(shù)

un

收斂,則

kun

亦收斂.￥

￥性質(zhì)2

設(shè)兩收斂級數(shù)s

=

un

,s=vn

,n=1

n=1￥則級數(shù)(un

–vn

)收斂,其和為s

–s

.n=1結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.結(jié)論:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.例

3

求級數(shù)￥1

n=1

+5nn(n

+

1)

2的和.解￥1

=

5n=1

+n￥n=15n(n

+

1)￥n=1+21n￥￥n

+

1-

1

1=

5n(n

+

1)

25n=1n=1

nn(n

+

1)k

+

1

=

5(1

--nnk

=1

k

1

1令g

=

5),n

+

11)

=

5,n

+

11=

5

lim(1

-nfi

￥n\

lim

gnfi

￥2是等比級數(shù),1￥n=1n公比q

=1<1,首項(xiàng)是2，12nfi

￥￥1n=1

2=

5

+

1

=

6.51

+￥n=1

nn(n

+

1)

2故=

1,21

-

1\

n

=

lim

hn

=12￥

￥性質(zhì)

3

若級數(shù)

un

收斂,則

un

也收斂n=1

n=k

+1(k

?1).且其逆亦真.證明uk

+1

+

uk

+2

+

+

uk

+n

+sn

=

uk

+1

+

uk

+2

+

+

uk

+n=

sn+k

-

sk

,n

n+k

knfi

￥

nfi

￥

nfi

￥=

lim

s

-

lim

s則limsk=

s

-

s

.類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)

4

收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和.證明

(u1

+

u2

)

+

(u3

+

u4

+

u5

)

+

s1

=

s2

,

s2

=

s5

,

s3

=

s9

,則limsm

=

lim

sn

=

s.mfi

￥

nfi

￥,

sm

=

sn

,注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.例如

(1

-

1)

+

(1

-

1)

+

收斂1

-

1

+

1

-

1

+推論

如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原來級數(shù)也發(fā)散.發(fā)散四、收斂的必要條件nfi

￥級數(shù)收斂的必要條件:當(dāng)n無限增大時(shí),它的一般項(xiàng)un趨于零,即級數(shù)收斂

lim

un

=

0.證明￥

s

=

un則

un

=

sn

-

sn-1

,n=1\

lim

un

=

lim

sn

-

lim

sn-1

=

s

-

s

=

0.nfi

￥

nfi

￥

nfi

￥注意1.如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;+

-

+

(-1)

+1

2

3

n2

-

3

4

n

+