物理 氣體動(dòng)理論

物理氣體動(dòng)理論第一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三熱學(xué)的研究對(duì)象：由大量微觀粒子（原子、分子等）所構(gòu)成的物質(zhì)系統(tǒng)，稱為熱力學(xué)系統(tǒng)（系統(tǒng)）熱學(xué)的內(nèi)容劃分：熱學(xué)分為氣體動(dòng)理論和熱力學(xué)。氣體動(dòng)理論：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的方法推求系統(tǒng)宏觀量與微觀量統(tǒng)計(jì)平均值之間的關(guān)系。研究的是某一個(gè)狀態(tài)。熱力學(xué)：從能量出發(fā)，以大量實(shí)驗(yàn)觀測(cè)為基礎(chǔ)來研究物質(zhì)的熱運(yùn)動(dòng)的宏觀基本規(guī)律及其應(yīng)用。研究的是變化過程中的規(guī)律。熱學(xué)的研究?jī)?nèi)容：熱現(xiàn)象的宏觀特征及其微觀本質(zhì)。第二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第六章氣體動(dòng)理論研究對(duì)象：理想氣體研究方法：統(tǒng)計(jì)方法研究?jī)?nèi)容：研究大量氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其微觀模型解釋。第三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三一、平衡態(tài)：1、狀態(tài)與過程：2、平衡態(tài)：系統(tǒng)在不受外界影響的條件下，宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。3、平衡態(tài)的特點(diǎn)：平衡態(tài)是實(shí)際情況的一種抽象和近似。是一種熱動(dòng)平衡。第一節(jié)理想氣體的物態(tài)方程不受外界影響：既不做功也不傳熱。第四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三二、氣體的狀態(tài)參量1、體積V：宏觀上講體積表示容器的容積。微觀上看是容器中分子所能夠到達(dá)的區(qū)域。單位是立方米。2、壓強(qiáng)P：宏觀上看，壓強(qiáng)表示容器內(nèi)的氣體對(duì)容器壁單位面積上的壓力。微觀上看，壓強(qiáng)表示容器內(nèi)分子熱運(yùn)動(dòng)對(duì)容器壁單位面積上的平均沖力。單位：帕斯卡。1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓=1.013×105Pa。3、溫度T：宏觀上看，溫度表示系統(tǒng)的冷熱程度。微觀上看，表示氣體熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。國際單位是：開爾文（K）。宏觀上描寫氣體狀態(tài)的參量有如下三個(gè)：第五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三三、理想氣體物態(tài)方程：1、理想氣體的定義：嚴(yán)格遵守玻意爾定律、蓋-呂薩克定律、查里定律的氣體叫理想氣體。2、理想氣體平衡態(tài)的狀態(tài)方程（克喇伯龍方程）:其中R為普適氣體常數(shù)為氣體的物質(zhì)的量為阿伏加德羅常數(shù)第六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三3、狀態(tài)方程的其他形式：分子數(shù)密度RTNNpVA=nkTTNRVNp==A玻爾茲曼常數(shù)ANRk=第七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)理想氣體平衡態(tài)的壓強(qiáng)與溫度公式一、理想氣體的微觀模型：2、分子本身的大小與分子間平均距離相比可以忽略不計(jì)，分子可以看成是質(zhì)點(diǎn)。3、除碰撞的瞬間外，分子間的相互作用力可忽略不計(jì)。因此在兩次碰撞之間分子的運(yùn)動(dòng)可以當(dāng)作勻速直線運(yùn)動(dòng)。氣體分子與分子之間的碰撞以及分子與容器壁之間的碰撞可以看作是完全彈性碰撞?？傊?，理想氣體可看作是一群彼此間無相互作用的無規(guī)運(yùn)動(dòng)的彈性質(zhì)點(diǎn)的集合。1、分子永不停息地作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。第八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三二、平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)——等幾率原理1、理想氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子出現(xiàn)在容器內(nèi)各處的幾率相等。即分子數(shù)密度處處相等，具有分布的空間均勻性。2、分子朝各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，具有運(yùn)動(dòng)的各向同性。第九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三推論：分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的速度分量的各種平均值應(yīng)該相等。結(jié)論：速度分量的方均值等于速度平方的平均值的三分之一。第十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三三、壓強(qiáng)公式：1、壓強(qiáng)的微觀解釋（伯努利）：大量氣體分子單位時(shí)間內(nèi)給予器壁單位面積上的平均沖力。2、推導(dǎo)過程：一次碰撞給予A的沖量為：碰撞前的速度{}碰撞后的速度{}l1l2l3vAviximxyz第十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三l1l2l3mviA--單位時(shí)間內(nèi)該分子給予A沖量：--N個(gè)分子在單位時(shí)間給予A的總沖量：--分子在容器中x方向來回做速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，假設(shè)在這期間沒有與其它分子碰撞，與A發(fā)生的兩次相鄰碰撞的時(shí)間間隔（周期）第十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三--單位時(shí)間內(nèi)給予A的沖量即平均沖力：--壓強(qiáng)：此即是理想氣體的壓強(qiáng)公式l1l2l3mviA第十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三由理想氣體的壓強(qiáng)公式，可以看出壓強(qiáng)取決于分子的數(shù)密度和分子平均平動(dòng)動(dòng)能。理想氣體的壓強(qiáng)公式適用于由大量分子構(gòu)成的系統(tǒng)。且與容器的形狀無關(guān)。理想氣體的壓強(qiáng)公式第十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三四、溫度公式：溫度公式上式表明：溫度是分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的反映，并且只具有統(tǒng)計(jì)意義，即只有當(dāng)組成系統(tǒng)的分子數(shù)目很大時(shí)，溫度才具有意義。幾個(gè)分子構(gòu)成的系統(tǒng)，溫度是沒有意義的。由理想氣體的物態(tài)方程及理想氣體的壓強(qiáng)公式第十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第三節(jié)能量均分定理和理想氣體的內(nèi)能一、自由度1、自由度的定義：確定一個(gè)物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，叫該物體的自由度。飛機(jī)（看成質(zhì)點(diǎn)）在天空飛行，自由度為3；輪船（看成質(zhì)點(diǎn)）在大海中航行，自由度為2；火車（看成質(zhì)點(diǎn)）在鐵道上運(yùn)行，自由度為1；結(jié)論：物體受到的約束越多,自由度就越小。第十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三2、單原子氣體分子的自由度：i=33、剛性雙原子氣體分子的自由度：xyz3個(gè)平動(dòng)自由度（t）和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（r）。4、剛性多原子氣體分子的自由度：3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。xyz第十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三二、能量按自由度均分定理1、分子的平均平動(dòng)動(dòng)能根據(jù)平均平動(dòng)動(dòng)能的定義可知：由于得第十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三表明：當(dāng)理想氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子的每個(gè)平動(dòng)自由度平均分得的能量。由理想氣體的溫度公式：與比較得：2、平動(dòng)自由度均分的能量第十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三3、能量按自由度均分定理當(dāng)理想氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子的每個(gè)平動(dòng)自由度和每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度平均分得的能量為。分子的平均動(dòng)能：第二十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三三、理想氣體平衡態(tài)的內(nèi)能：1、內(nèi)能的定義：系統(tǒng)中熱運(yùn)動(dòng)能量的總和，叫系統(tǒng)的內(nèi)能。用E表示。由于熱運(yùn)動(dòng)在微觀上看是分子的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。所以系統(tǒng)的內(nèi)能就是系統(tǒng)內(nèi)分子的動(dòng)能和勢(shì)能之和。即：由于任何物體的熱運(yùn)動(dòng)是不可能停止的，所以內(nèi)能不可能為零。熱力學(xué)溫度不能達(dá)到零度，只能接近零度。第二十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三由于理想氣體平衡態(tài)分子之間只有在碰撞時(shí)才有相互作用，因此沒有考慮分子之間的勢(shì)能存在；而且沒有考慮原子間的振動(dòng)；所以系統(tǒng)的內(nèi)能只與分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能相關(guān)。2、理想氣體平衡態(tài)的內(nèi)能在平衡態(tài)下，能量按自由度均分，所以理想氣體內(nèi)能為：或第二十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三例1.一容器內(nèi)貯有理想氣體氧氣，壓強(qiáng)p＝1.00atm，溫度t＝27.0℃，體積V＝2.00m3。求：（1）氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；（2）氧分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；（3）氧分子的內(nèi)能。解：氧分子為雙原子分子，自由度i＝5，其中，平動(dòng)自由度t＝3，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r＝2。由能量均分定理和理想氣體的內(nèi)能公式，可得：第二十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三例題2、1摩爾溫度為T1氫氣與2摩爾溫度為T2氦氣混合后的溫度為多少？解：混合前后內(nèi)能相等就可以求解此題。氫氣的自由度為5，氦氣的自由度為3，則混合前的總內(nèi)能為：設(shè)混合后溫度為T，則混合后的總內(nèi)能為：混合前后內(nèi)能相等，則有：第二十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三一、分子的速率分布1.離散分布第四節(jié)分子速率分布麥克斯韋速率分布律年齡人數(shù)/總?cè)藬?shù)1819202122第二十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三2.速率分布函數(shù)vf（v）vv+dv即在平衡態(tài)下，設(shè)分子總數(shù)為N，速率在v~v+dv區(qū)間的分子數(shù)為dN個(gè)，那么表示：——速率在v~v+dv區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率?；蛞粋€(gè)分子速率處于v~v+dv區(qū)間的概率。第二十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三稱為分子的速率分布函數(shù)。其物理意義是：在速率v附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率?；蛞粋€(gè)分子速率出現(xiàn)在v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率。所以也稱為分子速率分布的概率密度。得vf（v）vv+dv由第二十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三v1到v2速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。v1到v2速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。速率分布函數(shù)必須滿足的歸一化條件。即函數(shù)曲線下面積恒等于1。3、關(guān)于速率分布函數(shù)的幾點(diǎn)重要討論：vf（v）v1v2第二十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三二、統(tǒng)計(jì)平均速率1.分子的平均速率dN表示速率在v~v+dv區(qū)間的分子數(shù)，dv是一個(gè)微小量，因此這dN個(gè)分子可以認(rèn)為具有相同的速率v，那么這dN個(gè)分子的速率之和為：所有N個(gè)分子的速率之和為：分子的平均速率為：第二十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三解釋：（1）表示把每個(gè)分子的速率相加，再除以總的分子數(shù)N得；（2）

表示速率v與速率在v~v+dv區(qū)間的概率相乘后，再相加得。第三十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三2.方均根速率推廣：如第三十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三3.最概然速率其物理意義是在附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率最大；或?qū)σ粋€(gè)分子而言，其速率剛好處于附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率最大。最概然速率是速率分布函數(shù)曲線峰值所對(duì)應(yīng)的速率。求最概然速率的方法——求極值法第三十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三【例3】一個(gè)由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，平衡態(tài)下粒子的速率分布曲線如下圖所示。試求：（1）速率分布函數(shù)；（2）一個(gè)分子速率出現(xiàn)在0～v0/2范圍的概率；（3）速率在0～v0/2范圍內(nèi)的粒子數(shù)；（4）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。第三十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三解(1)按圖所示的速率分布曲線形狀，應(yīng)有

由速率分布函數(shù)的歸一化條件，可得

故速率分布函數(shù)為 (2)由，速率在范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：方法2，求面積方法2，求面積第三十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三（3）速率在范圍內(nèi)的分子數(shù)

(4)粒子的平均速率

方均速率

故方均根速率

最概然速率是具有最大值，即速率分布曲線峰值所對(duì)應(yīng)的速率。由圖中的速率分布曲線，可得 第三十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三三、理想氣體平衡態(tài)的速率分布函數(shù)—麥克斯韋速率分布律1、麥克斯韋速率分布函數(shù)是平衡態(tài)溫度是氣體分子質(zhì)量其中:Tm第三十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三2、理想氣體平衡態(tài)的速率分布特點(diǎn)存在唯一極大值同種氣體，不同溫度同一溫度，不同氣體第三十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三對(duì)于理想氣體平衡態(tài)，由其滿足的麥克斯韋速率分布律可得：(1)平均速率：3、理想氣體平衡態(tài)的特征速率：分部積分公式第三十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三（2）方均根速率：方均根速率有兩種計(jì)算方法，一是通過麥克斯韋分布函數(shù)來計(jì)算，二是通過平均平動(dòng)動(dòng)能來計(jì)算：第三十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三（3）最概然（最可幾）速率vp：4.理想氣體三個(gè)特征速率比較：vf（v）vpfmax同一溫度，同種氣體第四十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三例4、一理想氣體處于平衡態(tài)時(shí)，壓強(qiáng)為p，質(zhì)量密度為ρ。試求其方均根速率。解：本題的求解具有典型意義，可以幫助我們掌握很多公式。類似的方法，還可以求解最概然速率和平均速率。第四十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三五、玻爾茲曼能量分布律（了解）對(duì)于理想氣體平衡態(tài)，由其滿足的麥克斯韋速率分布律可得：由于理想氣體只有動(dòng)能沒有勢(shì)能存在。在能量中只包含動(dòng)能部分，在更一般的平衡態(tài)中，分子間有勢(shì)能，分子按能量的分布就應(yīng)該和總能量相關(guān)，這種關(guān)系就叫玻爾茲曼能量分布關(guān)系。第四十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三當(dāng)氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子處于能量為E狀態(tài)的幾率總是正比于exp（-E/kT）的。這個(gè)結(jié)論叫玻爾茲曼能量分布律。在微觀世界中，能量的分布是不連續(xù)的，分布函數(shù)可以用粒子處于某能量狀態(tài)的概率Wi（或處于該狀態(tài)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比率）來表示。由玻爾茲曼能量分布律，則有：可見能量越低，處于該能量狀態(tài)的分子數(shù)越多。第四十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三第五節(jié)氣體分子的碰撞一、分子碰撞的意義和基本模型分子在做永不停息的無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)。由于分子力的影響，分子的質(zhì)點(diǎn)模型需要修正，分子可看成是具有一定大小的剛性球體，其直徑稱為有效直徑，數(shù)量級(jí)為第四十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三二、分子的平均碰撞頻率單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)分子與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)叫分子的平均碰撞頻率。為了計(jì)算平均碰撞頻率，可以“跟蹤”一個(gè)分子，先計(jì)算它在Δt時(shí)間內(nèi)與其它分子碰撞的次數(shù)，再求出結(jié)果。為了方便計(jì)算，可以先假定被碰撞的其它分子都不動(dòng)，只有被“跟蹤”的那個(gè)氣體分子以速率v相對(duì)其它分子運(yùn)動(dòng)。并設(shè)氣體分子都是一些有效直徑d完全相同的小球。第四十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期三v在Δt時(shí)間內(nèi)，能夠與它發(fā)生碰撞的那些分子的中心，分布在長(zhǎng)度