高考(大綱全國(guó))文科數(shù)

2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱全國(guó)文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．(2014大綱全國(guó)，文1)設(shè)集合M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，則M∩N中元素的個(gè)數(shù)為()．A．2B．3C．5D．7答案：B解析：∵M(jìn)＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{1,2,6}，∴M∩N中元素的個(gè)數(shù)為3，故選B.2．(2014大綱全國(guó)，文2)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4,3)，則cosα＝()．A．B．C．D．答案：D解析：設(shè)角α的終邊上點(diǎn)(－4,3)到原點(diǎn)O的距離為r，則，∴由余弦函數(shù)的定義，得，故選D.3．(2014大綱全國(guó)，文3)不等式組的解集為()．A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}答案：C解析：由①得，x＜－2或x＞0，由②得，－1＜x＜1，因此原不等式組的解集為{x|0＜x＜1}，故選C.4．(2014大綱全國(guó)，文4)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()．A．B．C．D．答案：B解析：如圖所示，取AD的中點(diǎn)F，連EF，CF，則EF∥BD，∴異面直線CE與BD所成的角即為CE與EF所成的角∠CEF.由題知，△ABC，△ADC為正三角形，設(shè)AB＝2，則，.∴在△CEF中，由余弦定理，得，故選B.5．(2014大綱全國(guó)，文5)函數(shù)的反函數(shù)是()．A．y＝(1－ex)3(x＞－1)B．y＝(ex－1)3(x＞－1)C．y＝(1－ex)3(x∈R)D．y＝(ex－1)3(x∈R)答案：D解析：由，得，∴，x＝(ey－1)3，∴f－1(x)＝(ex－1)3.∵x＞－1，∴y∈R，即反函數(shù)的定義域?yàn)镽.∴反函數(shù)為y＝(ex－1)3(x∈R)，故選D.6．(2014大綱全國(guó)，文6)已知a，b為單位向量，其夾角為60°，則(2a－b)·b＝()．A．－1B．0C．1D．2答案：B解析：由已知得|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故選B.7．(2014大綱全國(guó)，文7)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有()．A．60種B．70種C．75種D．150種答案：C解析：從6名男醫(yī)生中選出2名有種選法，從5名女醫(yī)生中選出1名有種選法，故共有種選法，選C.8．(2014大綱全國(guó)，文8)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝()．A．31B．32C．63D．64答案：C解析：∵S2＝3，S4＝15，∴由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，得S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63，故選C.9．(2014大綱全國(guó)，文9)已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為()．A．B．C．D．答案：A解析：∵(a＞b＞0)的離心率為，an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(2)解：由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1.于是，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－2n＋2.18．(本小題滿分12分)(2014大綱全國(guó)，文18)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3acosC＝2ccosA，，求B.分析：先由已知及正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系化弦為切，求出tanC.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正切公式求出tanB，即可求角B.解：由題設(shè)和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA.故3tanAcosC＝2sinC，因?yàn)椋詂osC＝2sinC，.所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝＝－1，即B＝135°.19．(本小題滿分12分)(2014大綱全國(guó)，文19)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)證明：AC1⊥A1B；(2)設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1－AB－C的大?。治觯航夥ㄒ唬?1)由已知可證平面AA1C1C⊥平面ABC，再由面面垂直證線面垂直，利用三垂線定理即得線線垂直．(2)為利用已知，先尋找并證明AA1與平面BCC1B1的距離為A1E.再由三垂線定理，確定二面角A1－AB－C的平面角為∠A1FD.最后通過(guò)解直角三角形求出∠A1FD的正切值，即可得出二面角的大?。夥ǘ航⒖臻g直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解．(1)設(shè)出A1點(diǎn)坐標(biāo)，確定點(diǎn)及向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積為0，證明線線垂直．(2)設(shè)法向量，由已知垂直關(guān)系，確定坐標(biāo)．利用向量夾角公式求二面角大?。夥ㄒ唬?1)證明：因?yàn)锳1D⊥平面ABC，A1D?平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.連結(jié)A1C.因?yàn)閭?cè)面AA1C1C為菱形，故AC1⊥A1C.由三垂線定理得AC1⊥A1B.(2)BC⊥平面AA1C1C，BC?平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.作A1E⊥CC1，E為垂足，則A1E⊥平面BCC1B1.又直線AA1∥平面BCC1B1，因而A1E為直線AA1與平面BCC1B1的距離，.因?yàn)锳1C為∠ACC1的平分線，故.作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連結(jié)A1F.由三垂線定理得A1F⊥AB，故∠A1FD為二面角A1－AB－C的平面角．由得D為AC中點(diǎn)，，.所以二面角A1－AB－C的大小為arctan.解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.由題設(shè)知A1D與z軸平行，z軸在平面AA1C1C內(nèi)．(1)證明：設(shè)A1(a,0，c)，由題設(shè)有a≤2，A(2,0,0)，B(0，1,0)，則，，，，．由|得，即a2－4a＋c2＝0.①于是，所以AC1⊥A1B.(2)設(shè)平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，則，，即，.因，，故y＝0，且(a－2)x＋cz＝0.令x＝c，則z＝2－a，m＝(c,0,2－a)，點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離為.又依題設(shè)，A到平面BCC1B1的距離為eq\r(3)，所以.代入①解得a＝3(舍去)或a＝1.于是．設(shè)平面ABA1的法向量n＝(p，q，r)，則，，即，，，且－2p＋q＝0.令，則，r＝1，．又p＝(0,0,1)為平面ABC的法向量，故.所以二面角A1－AB－C的大小為.20．(本小題滿分12分)(2014大綱全國(guó)，文20)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立．(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；(2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)k臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．分析：(1)先用字母表示各事件，再由互斥與獨(dú)立事件的概率可求．(2)由(1)分析k的可能取值情況，比較即得結(jié)果．解：記Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i＝0,1,2，B表示事件：甲需使用設(shè)備，C表示事件：丁需使用設(shè)備，D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備，E表示事件：同一工作日4人需使用設(shè)備，F(xiàn)表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k.(1)，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，，i＝0,1,2，所以＝＝＝0.31.(2)由(1)知，若k＝2，則P(F)＝0.31＞0.1.又E＝B·C·A2，P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝0.06.若k＝3，則P(F)＝0.06＜0.1.所以k的最小值為3.21．(本小題滿分12分)(2014大綱全國(guó)，文21)函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍．分析：(1)由于導(dǎo)函數(shù)的判別式含參數(shù)a，因此要根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)判斷單調(diào)性，需對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論．當(dāng)判別式為正時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有兩根，為比較兩根的大小，需對(duì)a進(jìn)行二重討論．(2)根據(jù)f(x)在(1,2)上是增函數(shù)可列出關(guān)于a的不等式，注意對(duì)a＞0或a＜0進(jìn)行討論．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判別式Δ＝36(1－a)．①若a≥1，則f′(x)≥0，且f′(x)＝0當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，x＝－1.故此時(shí)f(x)在R上是增函數(shù)．②由于a≠0，故當(dāng)a＜1時(shí)，f′(x)＝0有兩個(gè)根：，.若0＜a＜1，則當(dāng)x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)時(shí)f′(x)＞0，故f(x)分別在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(x2，x1)時(shí)f′(x)＜0，故f(x)在(x2，x1)是減函數(shù)；若a＜0，則當(dāng)x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)時(shí)f′(x)＜0，故f(x)分別在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)．(2)當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)．當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得.綜上，a的取值范圍是∪(0，＋∞)．22．(本小題滿分12分)(2014大綱全國(guó)，文22)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線y＝4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且.(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程．分析：(1)設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用列出關(guān)于p的方程，借助于p的幾何意義及拋物線的性質(zhì)確定p.(2)通過(guò)題設(shè)分析判斷直線l與x軸不垂直．因直線l過(guò)F(1,0)，可設(shè)l的方程為x＝my＋1(m≠0)．直線l方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到y(tǒng)1＋y2，y1y2關(guān)于m的表達(dá)式，借助弦長(zhǎng)公式得(其中A(x1，y1)，B(x2，y2))，同理可得(其中M(x3，y3)，N(x4，y4))．由題目中的A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上得到關(guān)于m的方程，進(jìn)而求出m，得到直線l的方程．解：(1)設(shè)Q(x0,4)，代入y2＝2px得.所以，.由題設(shè)得，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程為y2＝4x.(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)l的方