初三中考復(fù)習二次函數(shù)最值問題

初三初三—二次函數(shù)第頁二次函數(shù)之最值問題基本解題步驟：1．審題．讀懂問題，分析問題各個量之間的關(guān)系；2．列數(shù)學表達式．用數(shù)學方法表示它們之間的關(guān)系，即寫出變量與常量之間的二次函數(shù)關(guān)系式；3．求值．利用二次函數(shù)關(guān)系式的頂點坐標公式或配方法求得最值；配方法：將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，頂點坐標為，對稱軸為．當時，y有最小值，即當時，；當時，y有最大值，即當時，．4．檢驗．檢驗結(jié)果的合理性．（函數(shù)求最值需考慮實際問題的自變量的取值范圍）解題策略關(guān)鍵在如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題利潤最值問題：此類問題一般先是運用或建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出這個函數(shù)關(guān)系式的頂點坐標，頂點的縱坐標即為最大利潤．特殊地，這里要考慮實際問題中自變量的取值范圍，數(shù)形結(jié)合求最值．例1例2線段和或差（或三角形周長）最值問題：此類問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短確定最短距離，這個距離一般用勾股定理或兩點之間距離公式求解．特殊地，也可以利用平移和軸對稱的知識求解固定線段長問題．最短距離和找法：以動點所在的直線為對稱軸，作一個已知點的對稱點，連結(jié)另一個已知點和對稱點的線段，與對稱軸交于一點，這一點即為所求點．線段長即為最短距離和．口訣：“大”同“小”異求最值．“大”同：求差的最大值，把點移動到直線的同側(cè)．“小”異：求和的最小值，把點移動到直線的兩側(cè)．（幾何最值較多）例3例4例5線段長最值問題：根據(jù)兩點間距離公式把線段長用二次函數(shù)關(guān)系式表示出來求最值．幾何面積最值問題：此類問題一般是先運用三角形相似，對應(yīng)線段成比例等性質(zhì)或者用“割補法”或者利用平行線得到三角形同底等高進行面積轉(zhuǎn)化寫出圖形的面積y與邊長x之間的二次函數(shù)關(guān)系，其頂點的縱坐標即為面積最值．例6例7例8動點產(chǎn)生的最值問題：數(shù)形結(jié)合求解，把路程和轉(zhuǎn)化成時間和，當三點共線時有最值．例9例10利潤最值問題例1、一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件．今年計劃通過適當增加成本來提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場．若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應(yīng)提高0.5x倍，則預(yù)計今后年銷售量將比去年年銷售量增加x倍（本題中）．

（1）用含x的代數(shù)式表示：今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為_______元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價為______元．

（2）求今年這種玩具每件的利潤y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當x為何值時，今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？注：年銷售利潤=（每件玩具的出廠價－每件玩具的成本）×年銷售量．

解：（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x），

∴y=2-x（0＜x≤11）；

（3）∵w=2（1+x）?y

=2（1+x）（2-x）

=-2x2+2x+4，

∴w=-2（x-0.5）2+4.5

∵-2＜0，0＜x≤11，

∴w有最大值，

∴當x=0.5時，w最大=4.5（萬元）．

答：當x為0.5時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是4.5萬元．線段和（或三角形周長）最值問題復(fù)習：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P在DC邊上且DP=1，點Q是AC上一動點，則DQ+PQ的最小值為

．

例1、已知二次函數(shù)的圖象過點和點，且與y軸交于點C，D點在拋物線上且橫坐標是．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出的最小值．

例2、如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點．將射線AM繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線AN.點D為AM上的動點，點B為AN上的動點，點C在∠MAN的內(nèi)部．

（1）求線段AC的長；

（2）當AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時，求△BCD的面積；

（3）求△BCD周長的最小值；

（4）當△BCD的周長取得最小值，且時，△BCD的面積為________.

yAxOBHK例3、已知，如圖，二次函數(shù)圖像的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側(cè)），點H，B關(guān)于直線l：對稱．

（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN，NM，MK，求和的最小值．

yAxOBHK

試一試：1、已知拋物線經(jīng)過點和點．

（1）求此拋物線解析式；

（2）點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值；

（3）過點B作x軸的垂線，垂足為E點．點P從拋物線的頂點出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達F點，再沿FE到達E點，若P點在對稱軸上的運動速度是它在直線FE上運動速度的倍，試確定點F的位置，使得點P按照上述要求到達E點所用的時間最短．（要求：簡述確定F點位置的方法，但不要求證明）

二次函數(shù)中字母替換例1、如圖，已知A（a，m）、B（2a，n）是反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像上的兩個不同的交點，分別過A、B兩點作x軸的垂線，垂足分別為C、D。連結(jié)OA、OB，若已知，則求的取值范圍。例2、已知點和點是直線和雙曲線的交點（1）過點做軸，垂足為,連接,若，求點的坐標（2）若點在線段上，過點做軸，垂直為,并交雙曲線于點,當取最大值時，有,求此時雙曲線的解析式。作業(yè)：1、_yCEDOANBMxy（2010眉山市26,12分）如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為、，拋物線經(jīng)過B點，且頂點在直線上．

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

（3）若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N．設(shè)點M的橫坐標為t，MN的長度為l．求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時，點M的坐標．

解：（1）由題意，可設(shè)所求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為_yCEDOANBMxy∴∴……………（3分）∴所求函數(shù)關(guān)系式為：…………（4分）（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴∵四邊形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5……（5分）∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）．…………（6分）當時，當時，∴點C和點D在所求拋物線上．…………（7分）（3）設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，則解得：．∴………（9分）∵MN∥y軸，M點的橫坐標為t，∴N點的橫坐標也為t．則，，……（10分）∴∵，∴當時，，此時點M的坐標為（，）．………………（12分）ACxyBO2、已知：拋物線的對稱軸為，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中．

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；

（2）已知在對稱軸