初三中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)最值問(wèn)題

初三初三—二次函數(shù)第頁(yè)二次函數(shù)之最值問(wèn)題基本解題步驟：1．審題．讀懂問(wèn)題，分析問(wèn)題各個(gè)量之間的關(guān)系；2．列數(shù)學(xué)表達(dá)式．用數(shù)學(xué)方法表示它們之間的關(guān)系，即寫(xiě)出變量與常量之間的二次函數(shù)關(guān)系式；3．求值．利用二次函數(shù)關(guān)系式的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求得最值；配方法：將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．當(dāng)時(shí)，y有最小值，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，y有最大值，即當(dāng)時(shí)，．4．檢驗(yàn)．檢驗(yàn)結(jié)果的合理性．（函數(shù)求最值需考慮實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍）解題策略關(guān)鍵在如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題利潤(rùn)最值問(wèn)題：此類問(wèn)題一般先是運(yùn)用或建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式的頂點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為最大利潤(rùn)．特殊地，這里要考慮實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，數(shù)形結(jié)合求最值．例1例2線段和或差（或三角形周長(zhǎng)）最值問(wèn)題：此類問(wèn)題一般是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短確定最短距離，這個(gè)距離一般用勾股定理或兩點(diǎn)之間距離公式求解．特殊地，也可以利用平移和軸對(duì)稱的知識(shí)求解固定線段長(zhǎng)問(wèn)題．最短距離和找法：以動(dòng)點(diǎn)所在的直線為對(duì)稱軸，作一個(gè)已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)另一個(gè)已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的線段，與對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)即為所求點(diǎn)．線段長(zhǎng)即為最短距離和．口訣：“大”同“小”異求最值．“大”同：求差的最大值，把點(diǎn)移動(dòng)到直線的同側(cè)．“小”異：求和的最小值，把點(diǎn)移動(dòng)到直線的兩側(cè)．（幾何最值較多）例3例4例5線段長(zhǎng)最值問(wèn)題：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式把線段長(zhǎng)用二次函數(shù)關(guān)系式表示出來(lái)求最值．幾何面積最值問(wèn)題：此類問(wèn)題一般是先運(yùn)用三角形相似，對(duì)應(yīng)線段成比例等性質(zhì)或者用“割補(bǔ)法”或者利用平行線得到三角形同底等高進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化寫(xiě)出圖形的面積y與邊長(zhǎng)x之間的二次函數(shù)關(guān)系，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為面積最值．例6例7例8動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的最值問(wèn)題：數(shù)形結(jié)合求解，把路程和轉(zhuǎn)化成時(shí)間和，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最值．例9例10利潤(rùn)最值問(wèn)題例1、一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件，出廠價(jià)為12元/件，年銷售量為2萬(wàn)件．今年計(jì)劃通過(guò)適當(dāng)增加成本來(lái)提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場(chǎng)．若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，則預(yù)計(jì)今后年銷售量將比去年年銷售量增加x倍（本題中）．

（1）用含x的代數(shù)式表示：今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為_(kāi)______元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價(jià)為_(kāi)_____元．

（2）求今年這種玩具每件的利潤(rùn)y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤(rùn)為w萬(wàn)元，求當(dāng)x為何值時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大？最大年銷售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？注：年銷售利潤(rùn)=（每件玩具的出廠價(jià)－每件玩具的成本）×年銷售量．

解：（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x），

∴y=2-x（0＜x≤11）；

（3）∵w=2（1+x）?y

=2（1+x）（2-x）

=-2x2+2x+4，

∴w=-2（x-0.5）2+4.5

∵-2＜0，0＜x≤11，

∴w有最大值，

∴當(dāng)x=0.5時(shí)，w最大=4.5（萬(wàn)元）．

答：當(dāng)x為0.5時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷售利潤(rùn)是4.5萬(wàn)元．線段和（或三角形周長(zhǎng)）最值問(wèn)題復(fù)習(xí)：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在DC邊上且DP=1，點(diǎn)Q是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為

．

例1、已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，D點(diǎn)在拋物線上且橫坐標(biāo)是．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出的最小值．

例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn)．將射線AM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線AN.點(diǎn)D為AM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為AN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在∠MAN的內(nèi)部．

（1）求線段AC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時(shí)，求△BCD的面積；

（3）求△BCD周長(zhǎng)的最小值；

（4）當(dāng)△BCD的周長(zhǎng)取得最小值，且時(shí)，△BCD的面積為_(kāi)_______.

yAxOBHK例3、已知，如圖，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H，B關(guān)于直線l：對(duì)稱．

（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN，NM，MK，求和的最小值．

yAxOBHK

試一試：1、已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．

（1）求此拋物線解析式；

（2）點(diǎn)C、D分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值；

（3）過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為E點(diǎn)．點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)出發(fā)，先沿拋物線的對(duì)稱軸到達(dá)F點(diǎn)，再沿FE到達(dá)E點(diǎn)，若P點(diǎn)在對(duì)稱軸上的運(yùn)動(dòng)速度是它在直線FE上運(yùn)動(dòng)速度的倍，試確定點(diǎn)F的位置，使得點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)E點(diǎn)所用的時(shí)間最短．（要求：簡(jiǎn)述確定F點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）

二次函數(shù)中字母替換例1、如圖，已知A（a，m）、B（2a，n）是反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像上的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為C、D。連結(jié)OA、OB，若已知，則求的取值范圍。例2、已知點(diǎn)和點(diǎn)是直線和雙曲線的交點(diǎn)（1）過(guò)點(diǎn)做軸，垂足為,連接,若，求點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)做軸，垂直為,并交雙曲線于點(diǎn),當(dāng)取最大值時(shí)，有,求此時(shí)雙曲線的解析式。作業(yè)：1、_yCEDOANBMxy（2010眉山市26,12分）如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，拋物線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；

（3）若M點(diǎn)是CD所在直線下方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長(zhǎng)度為l．求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）由題意，可設(shè)所求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)yCEDOANBMxy∴∴……………（3分）∴所求函數(shù)關(guān)系式為：…………（4分）（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴∵四邊形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5……（5分）∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0）．…………（6分）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上．…………（7分）（3）設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，則解得：．∴………（9分）∵M(jìn)N∥y軸，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為t．則，，……（10分）∴∵，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．………………（12分）ACxyBO2、已知：拋物線的對(duì)稱軸為，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中．

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知在對(duì)稱軸