拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

關(guān)于如何把二次函數(shù)圖像繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)這個(gè)玩意兒純屬無聊…………故事來源：好像是在期末復(fù)習(xí)二次函數(shù)的時(shí)候，在說二次函數(shù)圖象的時(shí)候，老師問我們：“把拋物線繞遠(yuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°的函數(shù)解析式是什么？”立刻有人回答。這時(shí)我和旁邊的朱格都想到一塊去了，異口同聲的叫道：45°,哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈 遂大笑不止。笑完之后我就開始思考了：對(duì)啊，把拋物線旋轉(zhuǎn)45°豈不是很有趣？我開始想如何把拋物線旋轉(zhuǎn)45°，并借此推廣至所有的角度。但是期末復(fù)習(xí)時(shí)節(jié)比較忙。一直沒去想。之后分流考之前一天，沒什么作業(yè)(不想做寒假作業(yè))，就想到了這個(gè)東西。于是開始計(jì)算推導(dǎo)…………推導(dǎo)過程：拋物線旋轉(zhuǎn)45°，就是把拋物線上的每個(gè)點(diǎn)都繞遠(yuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形。這樣出來的圖形肯定不是類似于y=f(x)的函數(shù)了，每一個(gè)x對(duì)應(yīng)兩個(gè)y了都，只能用一個(gè)方程或者是參數(shù)方程來表示了?？紤]到就是把拋物線上每個(gè)點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)45°，就聯(lián)^sin^■醞笑^sin^■醞笑COS0丿想到了這學(xué)期學(xué)的用矩陣表示圖形變換。把一個(gè)圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度的變換矩陣是：先用y=x試試，把拋物線上的點(diǎn)用矩陣表示出來就是這樣：

做乘法：于是我們就得到了繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°的拋物線的參數(shù)方程：r_a/2.y/2x= 1 1斗 2 2'逅272v=—t+—i使用幾何畫板繪圖驗(yàn)證：1122221o.C2xA'4'隹q況1宼餓，很成功啊，證明可以用矩陣變換的方法得到拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后的圖形。好了，現(xiàn)在開始一般化，把拋物線變成y=ax+bx+c那么坐標(biāo)矩陣就是、^at2+bt+Cj乘勝追擊:一般化后的矩陣乘法:^cosO^sin0-sin(9Vtcos6*JIat2+bt+c^(-asmO)r+(cos^-Asin(9)z-csinO^^(acosO)t^cosO^sin0-sin(9Vtcos6*JIat2+bt+c很長(zhǎng)的乘法啊…………

由此得到一般化后的參數(shù)方程：x-(-asmO)l2+(cos(9-bsmO)i-csin0y二｛acos())t2十(sinf?+Acosf?)/+csmO再次請(qǐng)出強(qiáng)大的幾何畫板驗(yàn)證：X產(chǎn)1.080.75c甩=X產(chǎn)-1.67-3.03心)g(x)=COS(Xj=sin(xr)X一X呂,+Xgsin(x))cos(xf)F-x八X2+xb-n(xf)x-DOS(Xr)J-xcsin(K+XcCC石）、%-\\\:\\1IIIIIII ■I■1k 14A—11\1I2I0IB''S'14r 1 1ar $11;17—注：x軸上a,b,c,r點(diǎn)橫坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)拋物線系數(shù)中的a,b,c以及（單位是弧度）看起來很不錯(cuò)啊，順便再附上t的幾何意義。由矩陣變換易知，旋轉(zhuǎn)可以看做是把坐標(biāo)給旋轉(zhuǎn)了，由此t就代表旋轉(zhuǎn)后拋物線的橫坐標(biāo)。后記：其實(shí)如果沒有數(shù)學(xué)小論文這個(gè)作業(yè)的話這個(gè)玩意兒也沒什么好寫的，應(yīng)付作業(yè)而已，所以還有篇論文就不寫了。本文的東西估計(jì)隨便拉個(gè)高中生都能解出來，用極坐標(biāo)表示一下就好。對(duì)于剛學(xué)過線性代