75知識(shí)講解 合情推理與演繹推(理)(提高)1211

合情推理與演繹推理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比進(jìn)行推理，做出猜想?！?【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、推理的概念及分類(lèi)推理的概念：或假設(shè))()叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論．要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝魏瓮评矶际怯汕疤岷徒Y(jié)論兩部分組成，前提是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識(shí)是什因?yàn)楦鶕?jù)……，可知……”“如果……，那么……”等．推理的分類(lèi)：合情推理推理演繹推理合情推理：根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和推理是最常見(jiàn)的合情推理。歸納推理是由特殊到一般的推理；類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理．合情推理的推理過(guò)程要點(diǎn)詮釋?zhuān)貉堇[推理：演繹推理是由一般到特殊的推理．要點(diǎn)二、歸納推理定義：事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納。歸納推理的特點(diǎn)歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理；歸納推理的前提是部分的、個(gè)別的事實(shí)，因此歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前“”的情況有可能發(fā)生的（述的；前提，然后才能進(jìn)行歸納推理，因此歸納推理要在觀察和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行；歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、獲得新結(jié)論，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段．要點(diǎn)詮釋?zhuān)簹w納推理的結(jié)論可真可假歸納推理一般都是從觀察、實(shí)驗(yàn)、分析特殊情況開(kāi)始，提出有規(guī)律性的猜想；一般地，歸納的個(gè)別情況越多，就越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠.由于歸納推理的前提是部分的、個(gè)別的事實(shí)，因此歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以歸納推理所得的結(jié)論不一定是正確的.運(yùn)用歸納推理時(shí)的一般步驟通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律；把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題（猜想；對(duì)所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)．在數(shù)學(xué)上，檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)是能否進(jìn)行嚴(yán)格的證明．一般模式：部分整體，個(gè)體一般一般步驟：①通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從已知的相同的性質(zhì)中猜想出一個(gè)明確表述的一般性命題；③檢驗(yàn)猜想.完全歸納法和不完全歸納法完全歸納法：通過(guò)對(duì)某類(lèi)事物中的每一個(gè)對(duì)象或每一子類(lèi)的考察，從中概括出關(guān)于此類(lèi)事物的論，所以完全歸納法可以作為數(shù)學(xué)嚴(yán)格證明的工具，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用．不完全歸納法：通過(guò)對(duì)某類(lèi)事物的一部分對(duì)象或一部分子類(lèi)的考察，從中概括出關(guān)于該類(lèi)事物的邏輯論證和實(shí)踐檢驗(yàn)．要點(diǎn)三、類(lèi)比推理定義：類(lèi)比推理（以下簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比）其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式．類(lèi)比推理的幾個(gè)特點(diǎn)基礎(chǔ)，類(lèi)比出新的結(jié)果；類(lèi)比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性；類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)性的，不一定可靠，但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能．運(yùn)用類(lèi)比推理的一般步驟找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性．用一類(lèi)事物的性質(zhì)推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想．要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸娇煽浚挛镏g的各個(gè)性質(zhì)之間，并不是孤立存在的，而是相互聯(lián)系的，相互制約的，如果兩個(gè)事物在性具有必然性．類(lèi)比的結(jié)論具有偶然性，即可能真，也可能假．要點(diǎn)四、演繹推理定義：從一般性的原理出發(fā)，按照嚴(yán)格的邏輯法則，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理，叫做演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的結(jié)論.要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩偃绻粋€(gè)推理規(guī)則能用符號(hào)表示為“如果ab，bc，則ac”，那么這種推理規(guī)則叫做三段論推理．②三段論推理包含了三個(gè)命題，第一個(gè)命題稱(chēng)為大前提，它提供了一個(gè)一般性的原理；第二個(gè)命題稱(chēng)——結(jié)論．（3）用集合的觀點(diǎn)理解“三段論”M的所有元素都具有性質(zhì)PSM的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P要點(diǎn)詮釋?zhuān)核峭耆煽康耐评?。要點(diǎn)五、合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系從推理模式看：①歸納推理是由特殊到一般的推理．②類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理．③演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理的結(jié)論看：①合情推理所得的結(jié)論不一定正確，有待證明。②演繹推理所得的結(jié)論一定正確。總體來(lái)說(shuō)，從推理的形式和推理的正確性上講，二者有差異；從二者在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中所發(fā).要點(diǎn)詮釋?zhuān)鹤⒁猓涸跀?shù)學(xué)中，證明命題的正確性，都是用演繹推理，合情推理不能用作證明．【典型例題】類(lèi)型一、歸納推理1.用推理的形式表示數(shù)列23,3343,n3,的前nSn.【思路點(diǎn)撥】依題意，Sn

表示數(shù)列的前n項(xiàng)和，即Sn

132333n3.為此，我們先根據(jù)該公式，算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過(guò)觀察進(jìn)一步歸納得出S與n.n【解析】對(duì)數(shù)列,23,33,43,,n3,的前1,2,3,4,5 項(xiàng)和分別進(jìn)行計(jì)算：S 1，1S 23932(12)2，2S 23333662(123)2，3S 233343100102(1234)2，4S 23334353225152(12345)2.5觀察可得，數(shù)列{Sn}的前五項(xiàng)都等于1到相應(yīng)序號(hào)的自然數(shù)之和的平方，n(n1)2 n2(n1)2由此猜想數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

(123n)2

2 4 .【總結(jié)升華】】①本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫(xiě)出來(lái)，然后尋找規(guī)律，概括出整體的情況，是典型的歸納推理..③歸納猜想是一種重要的思維方法，但結(jié)果的正確性還需進(jìn)一步證明.在歸納猜想數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，要認(rèn)真觀察數(shù)列中各項(xiàng)數(shù)字間的規(guī)律，分析每一項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系..舉一反三：【變式】在數(shù){an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an( )1A．2n－2－2B．2n－2C．2n－1＋1D．2n＋1－4【答案】∵a1＝0＝21－2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想an＝2n－2.故應(yīng)選B.【變式】用推理的形式表示等差數(shù)列135，2n－1的前n項(xiàng)和S.n【答案】對(duì)等差數(shù)列，，，，2n，的前，，6項(xiàng)的和分別進(jìn)行計(jì)算：S1；1S 13422；2S 135932；3S 13571642；4S 135792552；5S 13579113662；6觀察可得，前n項(xiàng)和等于序號(hào)的平方，由此可猜想Sn【變式3】

n2.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，a1=a，a2=b，且對(duì)滿足m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q 都有a am n

ap

。當(dāng)a1b4時(shí)，求通項(xiàng)公式a。(1am

)(1an

) (1ap

)(1a) 2 5 nq【解析】由

a am n

a ap q(1am

)(1an

) (1ap

)(1a)q得(11得(11a)(1na)(12an1a。1n2n1

a a)1 4 2a 1將a，a

代入化簡(jiǎn)得a

n11 2 2

n a 2n1n=3

2a126331。23 a2 28 122n=4

2a180341。34 a2 82 34133∴由此歸納出a

3n1

（n∈N*）n 3n1（歸納猜想出的結(jié)論應(yīng)予以嚴(yán)格證明才可，此處證明略）2．12部分，24部分，3條相交但不共點(diǎn)的7條彼此相交而無(wú)三條共點(diǎn)的直線，把平面分成多少部分？n3，4，5時(shí)，分別計(jì)算出它們將平面分成的區(qū)域數(shù)Sn，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再歸納出結(jié)論.【解析】設(shè)平面被nSnn=1時(shí)，S1=1+1=2；當(dāng)n=2時(shí)，S2=1+1+2=4；當(dāng)n=3時(shí)，S3=1+1+2+3=7；當(dāng)n=4時(shí)，S4=1+1+2+3+4=11.據(jù)此猜想，得S

1n(n1)

n2n2.n 2 2個(gè)數(shù)的差的規(guī)律是成等差數(shù)列，故可歸納。舉一反三：【高清課堂：401470例題2】【變式1】根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……【答案】1111111。根據(jù)數(shù)塔中的位數(shù)規(guī)律可得?！靖咔逭n堂：401470例題1】【變式】根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī),試猜測(cè)第n個(gè)圖中有個(gè).( )n21【答案】D

n2n

C.n+1 D.n2n1第(2),1,,共有2(21)1個(gè)點(diǎn);第(3),1,共有3(31)1個(gè)點(diǎn);第(4),中間有1,共有4(41)1個(gè)點(diǎn);第(5),中間有1,共有5(51)1個(gè)點(diǎn);……,n1另外的點(diǎn)指向n,n-1個(gè)點(diǎn)共n(n-11n2n1個(gè)點(diǎn).【變式3】將正△ABC分割成個(gè)全等的小正三角（如圖圖2-1-1-2分別給出了n=2，3的情形在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)使位于的三邊及平行于某邊的任一直線上的（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為（，則有（f3 ，f（） ?！敬鸢浮縩=32-1-13y1+y2=b+c，z1+z2=c+a。x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2，2g=x1+y2=x2+z1=y1+z。26g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2。即g1而f(3)abcxx

y

z

g12110。3進(jìn)一步可求得f（4）=5。

1 2

2 1 2 3 3∵f(1)1

3 6 33 3，f(2) f(1) 。3 3 3 310 64 4f(3) f(2) ，3 3 3105 5f(4)5 f(3) 。3 3n1由此歸納出f(n)f(n1) ，3n1 n1 n所以f(n)f(n1) f(n2) 3 3 3L

n1nn1L3f(1)

n1nn1L321

1(n2)。3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6類(lèi)型二、類(lèi)比推理例3.在中,若C900,則cos2

Acos2B1,用類(lèi)比的方法,猜想三棱錐的類(lèi)似性質(zhì),并證明你的猜想?！舅悸伏c(diǎn)撥】從方法的類(lèi)比入手?！窘馕觥?PABC中，三個(gè)側(cè)面PABPBCPCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為,，則cos2cos2cos21”P(pán)ABC的射影為O，延長(zhǎng)COABMPOh由PCPA,PCPB得PC面PAB，從而PCPM，又PMCcossinPCO

h ，cos h ，cos hPC PA PBV

1PAPBPC1(1PAPBcos1PBPCcos1PCPAcos)hPABC

6 32 2 2 cos cos ( )h1即cos2 cos2 cos2 1PC PA PB【總結(jié)升華】主要考慮兩條直角邊互相垂直如何類(lèi)比到空間以及兩條直角邊與斜邊所成的角如何類(lèi)比到空間。角等等；找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊（直線）舉一反三：a2b2【變式】在中，若則△ABC的外接圓半徑ra2b22展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體S—ABC中，若、SBSC兩兩垂直則四面體S—ABC的外接球半徑R= .a2a2b2c23例4.已知等差數(shù)列an

的公差為d，前n項(xiàng)和Sn

有如下性質(zhì)：②若mnpq，則a am n

a ap

(m,n,p,qN*)③若mn2p(m,n,pN*)，則a a 2a .m n p類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn

中，寫(xiě)出相類(lèi)似的性質(zhì).【解析】在等比數(shù)列bn

中，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn②若mnpq，則a am n

a ap

(m,n,p,qN*)③若mn2p，則a am n

a2p

pN*)【總結(jié)升華】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)一種較本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是：等差數(shù)列 用減法定義 性質(zhì)用加法表述（若m,n,p,qN*,mnpq,則a am n

a a ；p q等比數(shù)列 用除法定義 性質(zhì)用乘法表述（若m,n,p,qN*,且mnpq,則a a a a）.m n p q舉一反三：【變式1】已知等差數(shù)列的定義為:在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起,如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差．類(lèi)比等差列定義給等和數(shù)的定義： ；已知數(shù)列an

是等和數(shù)列，且a1

2，公和為5，那么a18

的值．這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和S 的n計(jì)算公式．【答案】在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等和數(shù)列，這個(gè)5n1n為奇數(shù) 2常數(shù)叫做該數(shù)列的公和；a18

3；Sn

y

5n,n為偶數(shù)2【變式2】通過(guò)計(jì)算可得下列等式：22－12=2×1+1，32－22=2×2+142－32=2×3+1，……(n+1)2－n2=2×n+1。將以上各等式兩邊分別相加得：(n+1)2－12=2(1+2+…+n)+n，n(n1)即123Ln 。2（1）類(lèi)比上述求法，請(qǐng)你求出12+22+32+…+n2的值。（2）根據(jù)上述結(jié)論試求12+32+52+…+992的值?！敬鸢浮浚?）∵23－13=3×12+3×1+1，33－23=3×22+3×2+1，43－33=3×32+3×3+1，……(n+1)3－n3=3×n2+3×n+1。將以上各式兩邊分別相加得(n+1)3－13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n，1 (1n) 1∴1222Ln2

3(n131n

2 n

n(n1)(2n1)。6（2）12+32+52+…+992=12+22+32+…+1002―(22+42+62+…+1002)=12+22+32+…+1002―4(12+22+32+…+502)1 1= ×100×101×201－4× ×50×51×101=166650。6 6類(lèi)型三：演繹推理例5. 用三段論的形式寫(xiě)出下列演繹推理．菱形的對(duì)角線互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的對(duì)角線互相垂直．和∠2和∠2不是對(duì)頂角．（3）是有理數(shù)．【解析】正方形是菱形正方形的對(duì)角線互相垂直兩個(gè)角是對(duì)頂角則兩角相等（大前提）（小前提）（結(jié)論）（大前提）∠1和∠2不相等（小前提）∠1和∠2不是對(duì)頂角（結(jié)論）（3）所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)（大前提）0.33g是循環(huán)小數(shù) （小前提）0.33g是有理數(shù) （結(jié)論）【總結(jié)升華】】””在大前提和小前提后我們要主動(dòng)地理解和掌握這一推理方法．舉一反三：【變式】把下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式．在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃時(shí)，水會(huì)沸騰．【答案】大前提：在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃；小前提：在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃；結(jié)論：水會(huì)沸騰．例．已知：在梯形D中（如右圖所示．C和D是它的對(duì)角線．求證：1.AC平分∠BCD，2.DB平分∠CBA．【解析】1.（1）等腰三角形兩底角相等， （大前提）△DAC是等腰三角形、DC是兩腰， （小前提）∠1=∠2． （結(jié)論）兩條平行線被第三條直線截出的內(nèi)錯(cuò)角相等， （大前提）∠1和∠3是平行線BC被AC截出的內(nèi)錯(cuò)角， （小前提）∠1=∠3． （結(jié)論）等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等， （大前提）∠2和∠3都等于（小前提）∠2=∠3． （結(jié)論ACDB【總結(jié)升華】】這個(gè)證明中如果把2.也詳細(xì)地寫(xiě)出，則一共進(jìn)行六次三段論推理．因此一個(gè)命題的證明形式，確切地并不寫(xiě)出，某一次三段論推理的小前提如果是它前面某次三段論推理的結(jié)論，也就不再寫(xiě)出了．如上的證明可寫(xiě)成：（省略了大前提）∴∠1=∠2．∵AD∥BC，且被AC截得內(nèi)錯(cuò)角為和∠3， （省略大前提）∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，即AC平分（省略大前提