等腰三角形三線合一

1、如圖，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD."

（1）求證：△BCE≌△DCF

（2）若AB=17，AD=9，求AE的長.2、如圖，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點D,交AB于點M,

求證：（1）BD平分∠ABC；

（2）△BCD為等腰三角形.

3、已知：如圖∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E，F(xiàn)．

⑴試說明：BE=CF；

⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周長．4、如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D為BC的中點，點E與點C關于直線AD對稱，CE與AD、AB分別交于點F、G，連接BE、BF、GD

求證：(1)△BEF為等腰直角三角形；（2)∠ADC＝∠BDG.5、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜邊上AB上任一點，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F，CH⊥AB于H點，交AE于G．

（1）試說明AH＝BH

（2）求證：BD＝CG．

（3）探索AE與EF、BF之間的數量關系6、（本題14分）如圖（1），在△ABC和△EDC中，D為△ABC邊AC上一點，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.

（1）求證：△ABC≌△EDC；

（2）如圖（2），若∠ACB＝60°，連接BE交AC于F，G為邊CE上一點，滿足CG＝CF，連接DG交BE于H.

①求∠DHF的度數；

②若EB平分∠DEC，試說明：BE平分∠ABC.∴∠C=∠ABD+∠DBC=∠BDC，

∴△BCD為等腰三角形.3、試題分析：（1）連接DB、DC，根據角平分線性質和垂直平分線的性質得：DE=DF，DB=DC，證明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出結論；

（2）先證明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再將△ABC的周長進行等量代換，即△ABC的周長=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC，代入求值即可．

試題解析：連接DB、DC，

（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∵DG垂直平分BC，

∴DB=DC，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

DE=DF，BD=CD，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△AED≌△AFD，

∴AF=AE=3，

由（1）得：BE=CF，

∴△ABC的周長=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10．

考點：全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；線段垂直平分線的性質．4、試題分析：（1）連接DE，根據對稱軸和線段垂直平分線的性質，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根據直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根據全等三角形的判定定理得出△ACF≌△CBE，根據全等三角形的性質得證；

（2）作∠ACB的平分線交AD于M，根據ASA推出△ACM≌△CBG得出∠ADC=∠M，CD=BM，根據SAS推出△DCM≌△DBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案.

試題解析：（1）連接DE，

∵點E、C關于AD對稱，∴AD為CE的垂直平分線，

∴CD=DE，∵D為CB中點，∴CD=DE=DB，

∴∠DCE=∠CED，∠DEB=∠DBE，

∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180°，

∴∠CEB=90°，

∵∠ECB+∠ACF=90°，∠CAF+∠ACF=90°，

∴∠ECB=∠CAF，

在△ACF和△CBE中，

∵

∴△ACF≌△CBE（AAS），

∴CF=BE，右∵CF=EF，∴EF=EB，

∴△EFB為等腰直角三角形.

（2）作∠ACB的平分線交AD于M，

在△ACM和△CBG中，

∵

∴△ACM≌△CBG（ASA），

∴CM=BG，

在△DCM和△DBG中，

∵

∴△DCM≌△DBG（SAS），

∴∠ADC=∠GDB.5、試題分析：

（1）根據等腰三角形的三線合一證明；

（2）證明△ACG≌△CBD，根據全等三角形的性質證明；

（3）證明△ACE≌△CBF即可．

試題解析：

（1）∵AC=BC，CH⊥AB∴AH＝BH

（2）∵ABC為等腰直角三角形，且CH⊥AB

∴∠ACG＝45°

∵∠CAG＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°

∴∠CAG＝∠BCF

在△ACG和△CBD中

∴△ACG≌△CBD（ASA）

∴BD＝CG

（3）AE=EF＋BF

理由如下：

在△ACE和△CBF中，

∴△ACE≌△CBF，

∴AE=CF，CE=BF，

∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．6、（1）∵CA平分∠BCE，

∴∠ACB=∠ACE.

在△ABC和△EDC中

∵BC＝CD，∠ACB=∠ACE，AC＝CE

∴△ABC≌△EDC（SAS）

（2）①在△BCF和△DCG中

∵BC=DC,∠BCD=∠DCE,CF=CG,

∴△BCF≌△DCG（SAS）,

∴∠CBF=∠CDG.

∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF

∴∠BCF=∠DHF=60°.

②∵EB平分∠DEC，

∴∠DEH=∠BEC.

∵∠DHF=60°,

∴∠HDE=60°-∠DEH.

∵∠BCE=60°+60°=120°,

∴∠CBE=180°-120°-∠BEC=60°-∠BEC.

∴∠HDE