線性代數(shù)特征值問題和特征向量

線性代數(shù)特征值問題和特征向量第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三

本章介紹矩陣的特征值、特征向量以及矩陣的對角化問題。

2第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量定義一、特征值與特征向量的基本概念例如，3第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三一個特征向量只能屬于一個特征值，證明如下：說明1、特征值問題是針對方陣而言的；2、特征向量必須是非零向量；3、特征向量既依賴于矩陣A，又依賴于特征值

?4第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、特征值與特征向量的求法記稱為矩陣A的特征多項式，

為矩陣A的特征方程。5第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三的根，即為矩陣A的特征值。特征方程即齊次線性方程組的非零解。而矩陣A屬于特征根的特征向量計算矩陣特征值和特征向量的一般步驟如下：6第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例1設求A的特征值與特征向量。解所以A的特征值為

7第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三相應齊次線性方程組的基礎解系為8第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三相應齊次線性方程組的基礎解系為9第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三相應齊次線性方程組的基礎解系為10第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例2解所以A的特征值為

設求A的特征值與特征向量。11第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三相應齊次線性方程組的基礎解系為12第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三相應齊次線性方程組的基礎解系為13第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三對角陣、上三角陣、下三角陣，它們的特征值即為主對角元。

14第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三三、特征值與特征向量的性質性質1證(2)可推廣到多個特征向量.15第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三屬于各個特征值的線性無關的向量合在一起仍線性無關。

性質2屬于不同特征值的特征向量線性無關。只證兩個特征向量的情況.證(1)(2)推廣16第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三性質3證從而有相同的特征值.注意:17第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三性質4證(2)重復這個過程,可得18第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三性質4證(3)19第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例3多項式證略例如,矩陣A的有一個特征值為2,則

有一個特征值7.例4證冪等矩陣20第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例3多項式證略例如,矩陣A的有一個特征值為2,則

有一個特征值7.例4冪等矩陣練習:21第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例5解由性質4,

事實上，由可得22第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三四、特征多項式的性質中出現(xiàn),故有而常數(shù)項等于所以23第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三比較系數(shù)得性質5推論方陣A可逆的充分必要條件是A的特征值全不為零.24第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例6解25第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三矩陣的跡的性質證略。作業(yè)：