線性代數(shù)第二章維向量

線性代數(shù)第二章維向量第一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三二.n維向量(vector)的概念

n維向量本質(zhì)

表現(xiàn)形式

幾何背景

n個數(shù)a1,a2,…,an構(gòu)成的有序數(shù)組向量/點(diǎn)的坐標(biāo)列矩陣行矩陣

行向量

列向量

分量

第二章n維列向量§2.1n維向量及其運(yùn)算第二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.1n維向量及其運(yùn)算與矩陣的線性運(yùn)算相同三.n維向量的線性運(yùn)算與矩陣的線性運(yùn)算性質(zhì)相同四.n維向量的線性運(yùn)算性質(zhì)n維向量:1,2,…,s

五.線性組合(linearcombination)

數(shù)(scalars):k1,k2,…,ks

線性組合:k11+k22+…+kss

第三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.1n維向量及其運(yùn)算

=k11+k22+…+kss

n維向量:,1,2,…,s

若存在常數(shù):k1,k2,…,ks使得則稱能由向量組1,2,…,s線性表示(canbelinearlyrepresentedby1,…)第二章n維列向量六.線性表示(linearrepresentation)第四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.1n維向量及其運(yùn)算例1.n維基本單位向量組1=100…,2=010…,n=001….…,第二章n維列向量standard/naturalbasisofRn

第五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.1n維向量及其運(yùn)算任何一個n維向量=a1a2an…都能由1,2,…,n線性表示.=a1

100…+a2

010…+…+an

001….事實(shí)上,第二章n維列向量第六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.1n維向量及其運(yùn)算例2.

A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans=(1,2,…,s),=b1b2bn…,x=x1x2xs…,能由1,2,…,s線性表示方程組Ax=

有解.第二章n維列向量第七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性一.基本概念列向量組:1,2,…,s

矩陣A=(1,2,…,s)

矩陣A的秩

向量組1,2,…,s的秩

r(1,2,…,s)

第二章n維列向量第八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三行向量組:1,2,…,s

矩陣A的秩

向量組1,2,…,s的秩

矩陣A=12s…r(1,2,…,s)

§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量第九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三

r(1,2,…,s)

s

r(1,2,…,s)

<s

r(1,2,…,s)

=s1,2,…,s

線性無關(guān)1,2,…,s

線性相關(guān)§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量(linearlydependent)(linearlyindependent)第十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三1,2,…,s線性相關(guān)1T,2T,…,sT線性相關(guān)幾個顯然的結(jié)論:(1)注意:不要混淆:“矩陣A的列向量組線性相關(guān)”“矩陣A的行向量組線性相關(guān)”與如:A=101010§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量第十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三(2)只含有一個向量的向量組線性相關(guān)

=0.(4)含有兩個向量,的向量組線性相關(guān),

的分量成比例.(5)當(dāng)s>n時(shí),任意s個n維向量都線性相關(guān).例3.

設(shè)1,2,3線性無關(guān),1=1+22,2=2+23,3=3+21.證明:1,2,3線性無關(guān).(3)含有零向量的向量組一定線性相關(guān).§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量第十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三二.向量組之間的關(guān)系A(chǔ):1,2,…,r

B:1,2,…,s若B組中的每個向量都能由A組中的向量線性表示,則稱向量組B能由向量組A線性表示.1.給定兩個向量組§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量能由線性表示,例如:2030,1001,但2030不能由線性表示.,1001,第十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三簡記為A

:1,2,…,s,C

:1,2,…,n.若j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,即=12n12s§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量第十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三簡記為B:1,2,…,s,C

:1,2,…,m.若i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:=12s§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量1

2

m

第十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三矩陣的乘積Cmn

=

AmsBsn,=行向量i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,向量組的線性表示:§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量2.向量組的線性表示與矩陣乘積第十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量3.傳遞性A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+2

2=12+3

=2(1+2)+(1+22)=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2)=1,第十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量B能由A線性表示A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,

111121=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)

211101=BF,=(1,2)

211101

111121=(1,2)

3140C能由B線性表示一般地,C能由A線性表示.第十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三若向量組B能由向量組A線性表示;同時(shí)向量組A能由向量組B線性表示,則稱這兩個向量組等價(jià).§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量A:1,2,…,r

B:1,2,…,s4.給定兩個向量組顯然,(1)向量組A與其自身等價(jià)(反身性);(2)若A與B等價(jià),則B與A等價(jià)(對稱性);(3)若A與B等價(jià)且B與C等價(jià),則B與A等價(jià)

(傳遞性).第十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三例4.設(shè)有兩個向量組I:1=[1,1],2=[1,1],3=[2,1],II:1=[1,0],2=[1,2].即I可以由II線性表示.則1=1+2,21212=12,23213=1+2,2321即II可以由I線性表示.1=1+2+03,21212=12+03,2321故向量組I與II等價(jià).§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量第二十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三5.矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)初等行變換初等行變換§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量A的行向量組能由B的行向量組線性表示B的行向量組能由A的行向量組線性表示矩陣A與B的行向量組等價(jià)(rowequivalent)

第二十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三初等列變換初等列變換§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量A的列向量組能由B的列向量組線性表示B的列向量組能由A的列向量組線性表示矩陣A與B的列向量組等價(jià)(columnequivalent)

第二十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三注:初等行變換(1)無法通過初等列變換實(shí)現(xiàn)矩陣A與B的行向量組等價(jià),但列向量組不等價(jià).初等列變換(1)無法通過初等行變換實(shí)現(xiàn)矩陣C與B的列向量組等價(jià),但行向量組不等價(jià).§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量第二十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三定理2.1.若向量組1,2,…,t可由向量組1,2,…,s線性表示,則r(1,2,…,t)r(1,2,…,s).推論2.1.若向量組1,2,…,t可由向量組1,2,…,s線性表示,并且t>s,則向量組1,2,…,t是線性相關(guān)的.§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量三.向量組秩的性質(zhì)證明:記A=(1,2,…,s),B=(1,2,…,t),則存在C使得B=AC,故r(B)r(A).

第二十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三推論2.3.若向量組1,2,…,s和1,2,…,t

都線性無關(guān),并且這兩個向量組等價(jià),則s=t.例5.設(shè)1=1+22,2=2+23,3=3+21.證明:1,2,3線性無關(guān)1,2,3線性無關(guān).§2.2向量組的秩和線性相關(guān)性第二章n維列向量推論2.2.若向量組1,2,…,t與向量組1,2,…,s等價(jià),r(1,2,…,t)=r(1,2,…,s).第二十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫定理2.2.向量組1,2,…,s線性相關(guān)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使得k11+k22+…+kss=0.證明:()1,2,…,s線性相關(guān)r(A)<s,其中A=(1,2,…,s)存在s階可逆矩陣P使得APes=0令(k1,k2,…,ks)=(Pes)T.則(k1,k2,…,ks)0且k11+k22+…+kss

=0.第二章n維列向量第二十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫()設(shè)k1,k2,…,ks不全為零且不妨設(shè)k10,則k11+k22+…+kss

=0.根據(jù)推論2.1可知1,2,…,s線性相關(guān).1=k1

k2

2

k1

k3

3

k1

ks

s

…因而1,2,…,s能由2,…,s線性表示.第二章n維列向量第二十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫推論2.4.若1,2,…,s線性相關(guān),反之,若1,2,…,s,s+1,…,t線性無關(guān),則1,2,…,s也線性無關(guān).則1,2,…,s,s+1,…,t也線性相關(guān).第二章n維列向量第二十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫若向量組,,…,線性相關(guān),其中1,2,…,s是維數(shù)相同的列向量,1,2,…,s也是維數(shù)相同的列向量,則1,2,…,s也是線性相關(guān)的.反之,若1,2,…,s線性無關(guān),則也是線性無關(guān)的.,,…,1122ss1122ss第二章n維列向量第二十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫推論2.5.1,2,…,s線性無關(guān)由k11+k22+…+kss

=0可推出k1=k2=…=ks

=0.例6.

設(shè)n維列向量和nn矩陣A滿足Ak10,但Ak=0,證明:向量組,A,A2,…,Ak1

線性無關(guān).第二章n維列向量第三十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫定理2.3.向量組1,2,…,s線性相關(guān)1,2,…,s至少有一個可以由其余s1個向量線性表示.定理2.4.若向量組1,2,…,s線性無關(guān),而1,2,…,s,線性相關(guān),則

一定能由1,2,…,s線性表示,并且表示的方式是唯一的.第二章n維列向量第三十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫例7.證明:n個n維列向量1,2,…,n線性無關(guān)的充分必要條件是:任何一個n維列向量都能由1,2,…,n線性表示.證明:(充分性)任何一個n維列向量都能由1,2,…,n線性表示1=100…,2=010…,…,n=001…都能由1,2,…,n線性表示n=r(1,…,n)r(1,…,n)n…第二章n維列向量第三十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.3向量組線性相關(guān)性的等價(jià)刻畫證明:(必要性)由于n+1個n維列向量總是線性相關(guān)的,所以1,2,…,n,線性相關(guān).又因?yàn)?,2,…,n線性無關(guān),根據(jù)定理2.4可知都能由1,2,…,n線性表示.第二章n維列向量例7.證明:n個n維列向量1,2,…,n線性無關(guān)的充分必要條件是:任何一個n維列向量都能由1,2,…,n線性表示.第三十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.4向量組的極大線性無關(guān)組第二章n維列向量§2.4向量組的極大線性無關(guān)組一.定義如果向量組1,2,…,s的部分組滿足以下列條件:,…,

i1

,i2

ir

線性無關(guān);,…,

i1

(1),i2

ir

(2)1,2,…,s中任一向量都可由線性表示,,…,

i1

,i2

ir

極大線性無關(guān)組(maximallinearlyindependentsubset).為1,2,…,s的一個,…,

i1

則稱,i2

ir

第三十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.4向量組的極大線性無關(guān)組第二章n維列向量二.有關(guān)結(jié)論定理2.5.秩為r的向量組1,2,…,s一定有由r個向量構(gòu)成的極大無關(guān)組.命題2.1.秩為r的向量組中任何r個線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個極大無關(guān)組.第三十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.4向量組的極大線性無關(guān)組第二章n維列向量定理2.6.一個向量組的任何兩個極大無關(guān)組都是等價(jià)的,因而任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)都相同,且等于這個向量組的秩.命題2.2.一個向量組與它的任何一個極大無關(guān)組都是等價(jià)的.第三十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.4向量組的極大線性無關(guān)組第二章n維列向量三.計(jì)算理論依據(jù):(1)命題2.1(2)定理1.11(初等變換不改變矩陣的秩).例8.已知向量組1,2,3線性無關(guān),求12,23,31,的一個極大無關(guān)組.第三十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.4向量組的極大線性無關(guān)組第二章n維列向量例9.設(shè)A=32050323612015316414,求A的列向量組的一個極大無關(guān)組.1

6

4140

431

10

004

1000

00解:A=32050323612015316414初等行變換可見A的第1,2,4列構(gòu)成A的列向量組的一個極大無關(guān)組.第三十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三§2.5向量空間第二章n維列向量§2.5向量空間一.向量空間(vectorspace)的概念1.n維實(shí)(列)向量的全體Rn={(x1,x2,…,xn)T|x1,x2,…,xnR}關(guān)于向量(即列矩陣)的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下8條基本性質(zhì):關(guān)于加法:(1)交換律;(2)結(jié)合律;(3)0;(4)關(guān)于數(shù)乘:(5)1·=;(6)k(l)=(kl);(7)(k+l)=k+l;(8)k(+)=k

+k.第三十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間2.設(shè)V是Rn的非空子集,且對向量的加法及數(shù)乘封閉(closed),即僅含有零向量0的集合{0}關(guān)于向量的線性運(yùn)算也構(gòu)成一個向量空間.Rn和{0}稱為Rn的平凡(trivial)子空間.則稱V是Rn的一個子空間(subspace),或直接稱為一個(實(shí))向量空間(realvectorspace).,V,kR,有+V,kV,closureconditions第四十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間例10.檢驗(yàn)下列集合是否構(gòu)成向量空間.(1)V={(x,y,0)|x,y

R};(2)V={(x,y,z)|x,y,

zR,

x+yz=0};(3)ARmn,bRm,b0,KA={Rn|A=0};SB={Rn|A=b}.第四十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間(4)1,2,…,sRn,L(1,2,…,s)={|諸kiR}.

skii

i=1——由1,2,…,s生成的向量空間

(generated/spannedby1,…)或

1,2,…,s——生成元(generator).{1,2,…,s}的線性包(linearclosure).第四十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間二.向量空間的基(basis)與維數(shù)(dimension)1,2,…,r——V的一組基:r稱為V的維數(shù).記為維(V)或dim(V).n維基本單位向量組就是Rn的一組基,dim{Rn}=n;例11.求例10中的各向量空間的基與維數(shù).零空間沒有基,規(guī)定dim{0}=0.①1,2,…,r線性無關(guān),②V都能由1,2,…,r線性表示.第四十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間定理2.7.1,2,…,s的極大無關(guān)組

特別地,A=(A1,A2,…,As),求L(A1,A2,A3,A4)的一組基和維數(shù).例12.設(shè)A=[A1,A2,A3,A4]=101210111111,L(1,2,…,s)的基

dimL(1,…,s)=r(1,…,s).L(A1,A2,…,As)——A的列空間(columnspace)dimL(A1,A2,…,As)=秩(A).第四十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間101210111111解:初等行變換可見dimL(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一組基.注:此外A1,A3也是L(A1,A2,A3,A4)的一組基.

還有A1,A4.100210110110事實(shí)上,對于這個例子,除了A3,A4以外,A1,A2,A3,A4中任意兩個向量都構(gòu)成L(A1,A2,A3,A4)的一組基.第四十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間三.向量在基下的坐標(biāo)1,2,…,r——V的一組基,由定義,對V,唯一的一組有序?qū)崝?shù)k1,k2,…,kr使得

=k11+k22+…+krr.{k1,k2,…,kr}T——

在1,2,…,r

這組基下的坐標(biāo)(coordinate).第四十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間四.基變換與坐標(biāo)變換設(shè)1,2,…,r和1,2,…,r是V的兩組基,則存在rr矩陣P使(1,2,…,r)=(1,2,…,r)P.稱P為從基1,2,…,r到1,2,…,r的過渡矩陣(transitionmatrix).由r=r(1,2,…,r)r(P)r可得r(P)=r.

故|P|0,即P可逆.第四十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.5向量空間定理2.8.設(shè)1,2,…,r和1,2,…,r是V的

兩組基,V在這兩組基下的坐標(biāo)

分別為x,y,則證明:=(1,2,…,r)x=(1,2,…,r)y

=(1,2,…,r)Py

x=Py,y=P1x.(1,2,…,r)(xPy)=0.又因?yàn)?,2,…,r線性無關(guān),所以xPy=0,即x=Py,進(jìn)而y=P1x.第四十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣§2.6內(nèi)積與正交矩陣一.Rn中向量的內(nèi)積,長度和夾角1.設(shè)

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T,記為[,],即則稱實(shí)數(shù)aibi

為向量與的內(nèi)積

n

i=1[,]=aibi=T.

n

i=1(inner/dot/scalarproduct).第四十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣2.內(nèi)積的基本性質(zhì)

對稱性:[,]=[,];(2)線性性:[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;且[,]=0=0.(4)(Cauchy-SchwartzInequality)

|[,]|[,][,].考察y=[,]x2+2[,]x+[,].

n=(xai+bi)20i=1=(2[,])24[,][,]0[,]2[,][,].第五十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣3.對于n維實(shí)向量,稱

[,]為的長度

(length)模(modulus),記為||||,即4.長度的基本性質(zhì)(3)三角不等式(TriangleInequality):[,]||||==ai2

n

i=1(1)正定性:||||0;且||||=0=;(2)齊次性:||k||=|k|·||||(kR);|+|||||+||||.第五十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣5.長度為1的向量稱為單位向量(unitvector).對于非零向量,||||1是一個單位向量.——單位化/標(biāo)準(zhǔn)化(normalize).6.設(shè),Rn,若0,0,則定義,的若[,]=0,即

=/2,則稱與正交(orthogonal).夾角(theanglebetweenand)為

=arccos[,]||||·||||,0

第五十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣?yán)?3.設(shè),Rn,且與線性無關(guān),求常數(shù)k使

+k與正交.

||||=||||cos=[,]||||

=||||||||

[,]||||||||=||||=[,]||||||||

[,][,].=第五十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣二.正交向量組和Schmidt正交化方法正交(mutuallyorthogonal)向量組標(biāo)準(zhǔn)正交(orthonormal)向量組正交基(orthogonalbasis)標(biāo)準(zhǔn)正交基(orthonormalbasis)1.概念第五十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣命題2.3.設(shè)1,2,…,s是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,

且

=k11+k22+…+kss,

則ki=[,i],i=1,2,…,s.2.結(jié)論定理2.9.1,2,…,s正交線性無關(guān).命題2.4.設(shè)1,2,…,s線性無關(guān)(s2),則存在一個正交向量組1,2,…,s使得

1,2,…,t與1,2,…,t等價(jià)

(1ts).第五十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣1=1,………3.方法(Gram-Schmidtorthogonalisationprocess)2=2[2,1][1,1]1,s=s[s,1][1,1]1…[s,s1][s1,s1]s1再將1,2,…,s單位化得:1=1

||1||,2=2

||2||,…,s=s

||s||.第五十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期三第二章n維列向量§2.6內(nèi)積與正交矩陣三.正交矩陣