線性方程組求解

線性方程組求解第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三向量的線性運算與向量組的線性相關(guān)性第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●向量與線性方程組引例一個方程對應(yīng)一組數(shù)矩陣的一行對應(yīng)一組數(shù)線性方程組可對應(yīng)一組數(shù)組；矩陣也可對應(yīng)一組數(shù)組?！裣蛄康亩x由n個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個n維行向量，記作，其中稱為向量的第i個分量（或坐標(biāo)）。如果將有序數(shù)組寫成一列的形式，則稱向量為列向量。實際上，行向量即為一個行矩陣，列向量即為一個列矩陣。第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●幾個概念1、同維向量：分量個數(shù)相等的向量稱為同維向量。2、相等向量：如果向量與是同維向量，而且對應(yīng)的分量相等，則稱向量與相等。3、零向量：分量都是0的向量稱為零向量，記作O。4、負(fù)向量：稱向量為向量的負(fù)向量，記作。5、向量組：如果n個向量是同維向量，則稱為向量組第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●向量的線性運算1、向量的加減法，稱向量設(shè)，則稱向量為向量與向量的和向量，記作為向量與向量的差向量，記作。2、數(shù)乘向量向量的加、減、數(shù)乘運算稱為向量的線性運算。設(shè)向量則稱向量為數(shù)與向量的數(shù)稱向量，記作第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●向量線性運算的運算律交換律結(jié)合律分配律第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●例1解

練習(xí)：已知，求解

第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●向量的線性關(guān)系解設(shè)則所以線性組合的概念：設(shè)有同維向量，如果存在一組數(shù)，使得成立，則稱向量可由向量組線性表示，或稱向量是向量組的線性組合。例2設(shè)判斷向量能否由向量組線性表示？如果可以，求出表達(dá)式。小結(jié)：可由向量組線性表示線性方程組有解第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念●顯然：含有零向量的向量組是線性相關(guān)的。因為設(shè)有向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則稱向量組線性相關(guān)，否則，稱向量組線性無關(guān)。即當(dāng)且僅當(dāng)

全為零時，才成立，則稱向量組

線性無關(guān)。第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三證明例3證明下列向量組線性無關(guān)。設(shè)則所以所以向量組線性無關(guān)。稱向量組為n維向量空間的單位坐標(biāo)向量組。任何一個n維向量都可由向量組線性表示，第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例4討論向量組的線性相關(guān)性解設(shè)則利用矩陣的初等變換，可求得注：有無窮多組解可見，向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三練習(xí)判斷向量組的線性相關(guān)性解設(shè)則有因為是方程組的一組非零解所以線性相關(guān)第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三證明例5已知向量組線性無關(guān)，證明：向量組線性無關(guān)。設(shè)則因為線性無關(guān)所以有解得所以向量組線性無關(guān)。第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例6設(shè)線性無關(guān)，又，試證明線性相關(guān)證明設(shè)則有因為線性無關(guān)所以有由于所以不全為零所以線性相關(guān)事實上，可取第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三證明因為向量組線性相關(guān)所以存在一組不全為零的數(shù)，使得則否則，若則由線性無關(guān)，可推得于是向量組線性無關(guān)這與已知矛盾，所以定理若向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，而且表示方法惟一。第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三于是假設(shè)另有表達(dá)式則可得由于線性無關(guān)，所以且表示方法唯一所以可由向量組線性表示，所以可由向量組線性表示。第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三定理向量組線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個向量可由其余的向量組線性表示。證明因為向量組線性相關(guān)所以存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)于是有反過來，若有可由線性表示則有所以線性相關(guān)第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例7設(shè)試問為何值時，可由線性表示，且表示方法唯一？解設(shè)則有（*）因為可由線性表示，且表示方法唯一所以，方程組（*）只有唯一的一組解所以有解得第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三小結(jié)：齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組只有零解線性相關(guān)向量組（1）向量組線性無關(guān)（2）(3)向量可由向量組線性表示線性方程組有解第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●向量組的線性相關(guān)性的幾個性質(zhì)定理1、單個非零向量是線性無關(guān)的。2、兩個向量線性相關(guān)的充分必要條件是對應(yīng)分量成比例。3、增加向量，不改變向量組的線性相關(guān)；減少向量，不改變向量組的線性無關(guān)。即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān)。4、增加分量，不改變向量組的線性無關(guān)；減少分量，不改變向量組的線性相關(guān)。即低維無關(guān)，則高維無關(guān)；高維相關(guān)，則低維相關(guān)。5、n+1個n維的向量構(gòu)成的向量組是線性相關(guān)的。第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●向量組的極大無關(guān)組如果向量組的部分組滿足（1）線性無關(guān)；（2）任意增加一個向量（如果存在的話），向量組線性相關(guān)。則稱向量組為向量組的一個極大線性無關(guān)組，簡稱為極大無關(guān)組。例如：向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)。向量組是向量組的一個極大無關(guān)組。向量組也是向量組的一個極大無關(guān)組?？梢姡粋€向量組的極大無關(guān)組不是惟一的。第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●向量組的秩向量組的極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩。記作例如：向量組的秩為2。如果向量組的秩小于向量組所含向量的個數(shù)，即，則向量組線性相關(guān)。矩陣A的秩=矩陣A的行向量組的秩=矩陣A的列向量組的秩可利用矩陣的初等變換求向量組的秩及極大無關(guān)組。如果向量組的秩等于向量組所含向量的個數(shù)，即，則向量組線性無關(guān)。第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●向量組的等價關(guān)系如果向量組A：中的每一個向量可由向量組B：線性表示，同時，向量組B中的每一個向量可由向量組A線性表示，則稱向量組A與向量組B等價。定理：等價向量組的秩相等。一個向量組和它的任意一個極大無關(guān)組是等價的。等價向量組的性質(zhì)（1）反身性：向量組A與自身等價；（2）對稱性：如果向量組A與B等價，則向量組B與A等價；（3）傳遞性：如果A與B等價，B與C等價，則A與C等價。第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例1

判別下列向量組的線性相關(guān)性解令因為所以線性相關(guān)。第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例2

判別下列向量組的線性相關(guān)性解：令因為所以線性無關(guān)。第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例3

求向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并用該極大無關(guān)組表示余下的向量。解構(gòu)成矩陣，令第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三于是，是它的一個極大無關(guān)組。且第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例4

求下列向量組的一個極大無關(guān)組解法1：作矩陣記作第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例4

求下列向量組的一個極大無關(guān)組解法1：......記作所以與等價，故有相同的秩。因為是由經(jīng)初等行變換而得，顯然線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，又所以是一極大無關(guān)組。第二十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三●求向量組的極大無關(guān)組的另解重要結(jié)論——若矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B，則A的行向量組與B的行向量組等價，而A的任意K個列向量與B中對應(yīng)的K個列向量有相同的相關(guān)性；若矩陣