均值不等式應(yīng)用及例題解析(教案)

基本不等式——均值不等式及應(yīng)用2021/5/91一、均值不等式均值定理：當且僅當a=b時，式中等號成立。兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值或稱為它們的幾何平均數(shù)稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)2021/5/92證明：上述推導(dǎo)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中由一般到特殊的思想2021/5/93問題：

均值不等式給出了兩個正實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，這個不等式能否推廣呢？例如，對于3個正數(shù)，會有怎樣的不等式成立呢？(前述稱為基本均值不等式也稱二元均值不等式)類比思想應(yīng)用定理3三元均值不等式：a、b、c∈N*當且僅當a=b=c時，式中等號成立。語言表述：三個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值2021/5/94同理三元均值不等式也可由換元得到，只要證明以下不等式成立：證明：（證明需要用到的公式）2021/5/95求差法證明：求差法是不等式證明常用的方法2021/5/96二、均值不等式的推廣1、四個均值不等式鏈平方平均數(shù)≥算數(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)

2、正數(shù)a1,a2,…,an(多元均值不等式)2021/5/973、常見變式2021/5/98三、均值不等式的應(yīng)用

——用不等式證明不等式當兩項之積為一個常數(shù)直接用均值不等式，用a、b代換兩數(shù)（有積定直接用均值不等式）2021/5/992021/5/910當一個兩項之積與另一個兩項之積的積是個常數(shù)直接用均值不等式a、b代換每項內(nèi)兩數(shù)，再用不等式兩邊相乘的基本定理來解（積積定值直接用）2021/5/911直接用三元均值不等式來解2021/5/912練習4：已知:a,b,c均為正數(shù),求證:2021/5/913二項之積為一個常數(shù)直接用均值不等式a、b代換即可.2021/5/914技巧（構(gòu)造法），當不等式左邊含有元數(shù)時，我們采用構(gòu)造不等式來證明，再不等式兩邊相乘或相加原理求解。由基本不等式推出的幾個常用構(gòu)造不等式：帶常數(shù)不等式兩邊乘上a或b都可以構(gòu)造帶元數(shù)的不等式2021/5/915證明：因為所以：兩邊相加利用帶元數(shù)的構(gòu)造不等式，構(gòu)造出不等式左邊各項所帶元數(shù)，再利用不等式兩邊相乘或相加求解。2021/5/916

不等式分母和右邊交換，構(gòu)造不等式相加二邊Xa二邊Xb二邊Xc分子分母Xa分子分母Xb分子分母Xc2021/5/917用求差法證明例4：求差法常用來證明不等式，一般需配項化為平方差的連加形式，因為abc都大于0，這種式子最終都大于0的。2021/5/918四、均值不等式的應(yīng)用

——求最值兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值。均值不等式即：積定和最小，和定積最大，可用于最值求解。在求最值時必須強調(diào)的三個條件：一正，二定，三相等，缺一不可2021/5/919注意：”一正二定三相等”是指利用均值不等式

證明或求最值必須強調(diào)的三個特殊要求：（1）一正：各項都為正數(shù)（a、b＞0，由ab做成的兩項也需＞0）（2）二定：兩項積為定值，和有最小值兩項和為定值，積有最大值（3）三相等：求最值時一定要考慮不等式是否能取“＝”，取的值是否在已知的區(qū)間內(nèi)，否則會出現(xiàn)錯誤注：用不等式證明和求最值是必須每步驗證是否符合2021/5/920ab≥9a+b≥6解：2021/5/921例6、（1）一個矩形的面積為100m2，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36m，問這個矩形的長寬各是多少時，它的面積最大？最大面積是多少？2021/5/922解：設(shè)矩形長為a,寬為b則S=ab=100，L=2（a+b）因為a+b≧=20當且僅當a=b=10,a+b=20所以L≧40，當a=10,b=10時L最短，為40.解：設(shè)矩形長為a,寬為b則S=ab，L=2（a+b）=36因為a+b=18≧當且僅當a=b=9,axb=81所以S≦81，當a=9,b=9時S最大，為81.例6解：2021/5/923利用均值不等式求函數(shù)最值的步驟:練習1)若x>0,f(x)=

的最小值為_______;此時x=_______.解:因為x>0,

若x<0,f(x)=

的最大值為_______;此時x=_______.即當x=2時函數(shù)的最小值為12.122-12-2當且僅當時取等號,一正二定三相等二項相乘為定值二項相等時求出的x值是否在已知的區(qū)間內(nèi)，在取等號；如不在不能取等號未知數(shù)X，均＞02021/5/924注意:各項必須為正數(shù)二邊乘-1不等式要變號2021/5/925解：函數(shù)看不出二項相乘為定值，需要變形使它二項相乘為定值（湊積定）2021/5/926的范圍.

(2)求函數(shù)

解：（取值需要判別ab正負，x＞0是對對數(shù)函數(shù)的，不是對a和b的）2021/5/927例9.函數(shù)y=(x≥0)的最小值

為______,此時x=______.

∴x=010添項加數(shù)（變換、湊系數(shù)）使它二項相乘為定值（湊積定）2021/5/928最大值4(a=b=2)最大值2(a=1b=2)最大值8(a=2b=4)2021/5/929練習

:1.函數(shù)

求函數(shù)f(x)的最小值.換元法湊積定：從高次到低次逐步用x+1代入分子的x中，邊代入邊配項，目的使得有二項相乘為定值，不管常數(shù)。

2021/5/930練習2函數(shù)

求該函數(shù)的最大值,并求出相

應(yīng)x的值.a/4(x=a/8)（湊和定）：二乘積湊x的系數(shù)，使得原乘積的二項x前的系數(shù)相同，二項相加時能取消x變?yōu)槎ㄖ?021/5/931練習3最小值4，當2a=b時有最小值(a=1/2b=1)

湊和定：二個都湊系數(shù)2021/5/932例11.求函數(shù)的最小值.利用對勾函數(shù)(t>0)的單調(diào)性.5/2(x=0)三不等，改用“單調(diào)性”變形:≥2？驗證：一正ab二項＞0；二定二項之積為1；三相等x2+4=1，x2=-3無效。所以該題不能用不等式求最小值2021/5/933

2021/5/934練習1解答練習2解答2021/5/935例1２:解:構(gòu)造三個數(shù)相加等于定值.用三元均值不等式求最值2021/5/9362021/5/937A、6

B、C、9

D、12

（）C2021/5/938例13求函數(shù)的最小值2021/5/939小結(jié)：利用均值不等式求最值時注意：2、不能直接利用定理時，注意拆項、配項湊定值的技巧1、一正、二定、三相等；缺一不可（拆項時常拆成兩個相同項）。2021/5/940

閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯，指出有錯誤的地方。五、錯題辨析因為三不等因為二不定2021/5/941

當且僅當即:時取“=”號正解即此時因為二不定a、b∈R+一正二定三相等符合已知條件2021/5/942

2、求函數(shù)的最小值．下面甲、乙、丙三為同學(xué)解法誰對？試說明理由甲：由知，則

(錯解原因是1/x=2/x無法解等號取不到)(錯解原因是不滿足積定)2021/5/943丙：構(gòu)造三個數(shù)相乘等于定值.注：拆項時一般拆成二個相同的項一正二定三相等2021/5/9442.若x>0,當x=

時,函數(shù)

有最

值

.3.若x>4,函數(shù)

當x=

時,函數(shù)有最

值是

.

1.若x>0,當x=

時,

函數(shù)的最小值是

.2/3小125大-6

練習題2021/5/9454.已知,則的

最大值為

,此時x=

.5.若,當x=

時,y=x(5–2x)有最大值

.6.若x>0,則最大值為

.3/41/25/425/8

變換為3x(3-3x)*1/3變換為2x(5-2x)*1/22021/5/946六、一題多解2021/5/9472021/5/9