第2章 數(shù)制和碼制

2.1引言

電子系統(tǒng)中的信號(hào)可以分為兩大類：模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)。第2章數(shù)制和碼制

數(shù)字信號(hào)通常用數(shù)碼來(lái)表示。用數(shù)碼表示數(shù)值的大小通過(guò)數(shù)制，如二進(jìn)制碼、十進(jìn)制碼和十六進(jìn)制碼等。用數(shù)碼表示不同的事物或事物的不同狀態(tài)通過(guò)碼制，碼制是指不同的編碼方式，如各種BCD碼、循環(huán)碼等。

數(shù)制是用來(lái)表示數(shù)值大小的方法。人們是按照進(jìn)位的方式來(lái)計(jì)數(shù)的，稱為進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱進(jìn)制。通常包括十進(jìn)制數(shù)，二進(jìn)制數(shù)，十六進(jìn)制和八進(jìn)制數(shù)。2.2幾種常用的數(shù)制1.十進(jìn)制：由0～9十個(gè)有效的數(shù)碼和一個(gè)小數(shù)點(diǎn)符號(hào)“.〞組成；以“逢十進(jìn)一、借一當(dāng)十〞的規(guī)那么計(jì)數(shù)，是以10為基數(shù)的進(jìn)位計(jì)數(shù)制。數(shù)碼在不同的位置代表的數(shù)值大小是不同的，不同位置的1表示的數(shù)值稱為這一位的“權(quán)〞(weight)。任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對(duì)應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱為位權(quán)展開(kāi)式。例：式中：n、m：正整數(shù)，分別代表整數(shù)和小數(shù)局部的位數(shù)；Ki：第i位上的數(shù)碼〔0~9〕；10i：第i位的權(quán)值。下腳標(biāo)表示括號(hào)里是十進(jìn)制數(shù)，可用D(Decimal)表示。２.二進(jìn)制：由0～１兩個(gè)有效的數(shù)碼和一個(gè)小數(shù)點(diǎn)符號(hào)“.〞組成；按照“逢二進(jìn)一、借一當(dāng)二〞的規(guī)那么計(jì)數(shù)，是以２為基數(shù)的進(jìn)位計(jì)數(shù)制。二進(jìn)制數(shù)的權(quán)是基于2的冪數(shù)。位權(quán)展開(kāi)式：可用B〔Binary〕代替下腳標(biāo)2，表示二進(jìn)制數(shù)。例：３.十六進(jìn)制與八進(jìn)制：十六進(jìn)制數(shù)采用的16個(gè)數(shù)碼為0、1、2、…、9、A、B、C、D、E、F。進(jìn)位規(guī)那么是“逢十六進(jìn)一〞，基數(shù)R等于16，每位的權(quán)是16的冪。位權(quán)展開(kāi)式：可用H〔Hexadecimal〕代替下腳標(biāo)16，表示十六進(jìn)制數(shù)。例：３.十六進(jìn)制與八進(jìn)制：八進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)那么是“逢八進(jìn)一〞，其基數(shù)R等于8，采用的數(shù)碼是0、1、2、3、4、5、6、7，每位的權(quán)是8的冪。位權(quán)展開(kāi)式：可用O〔Octal〕代替下腳標(biāo)8，表示八進(jìn)制數(shù)。例：F1711111570701117E1611101460601106D1511011350501015C1411001240401004B1310111130300113A121010102020010291110019101000118101000800000000十六進(jìn)八進(jìn)制制十進(jìn)十六進(jìn)八進(jìn)制二進(jìn)制十進(jìn)制F1711111570701117E1611101460601106D1511011350501015C1411001240401004B1310111130300113A121010102020010291110019101000118101000800000000制二進(jìn)制制幾種常用數(shù)制對(duì)照表

數(shù)制轉(zhuǎn)換：一個(gè)數(shù)從一種進(jìn)位制表示形式轉(zhuǎn)換成等值的另一種進(jìn)位制表示形式。2.3不同數(shù)制間的相互轉(zhuǎn)換將二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)數(shù)按權(quán)展開(kāi),求各位數(shù)值之和即可得到相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。2.3.1十進(jìn)制與其它進(jìn)制間的相互轉(zhuǎn)換1.二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制例：將(1001111)2、(246)8、(8E)16轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。對(duì)于一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制，其整數(shù)局部可寫(xiě)成2.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制整數(shù)局部——除基取余法；小數(shù)局部——乘基取整法。〔1〕除基取余法式中bn、bn-1、…、b1、b0是R進(jìn)制數(shù)的各位數(shù)字。R表示基數(shù)。將等式兩邊分別除以基數(shù)R，得到：將上式再除以基數(shù)R，其余數(shù)為b1。以此類推，反復(fù)將每次得到的商除以基數(shù)R，直到商為零，就可以得到R進(jìn)制整數(shù)的每一個(gè)系數(shù)。將十進(jìn)制數(shù)除以基數(shù)，其余數(shù)為b0，得到的商為對(duì)于一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制，其小數(shù)局部可寫(xiě)成〔2〕乘基取整法將上式兩邊都乘以R得到：將小數(shù)局部乘以基數(shù)R，所得乘積的整數(shù)局部即為b-1。以此類推，將每次乘以基數(shù)得到的乘積的小數(shù)局部再乘以基數(shù)，直到小數(shù)局部為零；或小數(shù)局部不為零，但已滿足誤差要求進(jìn)行“四舍五入〞為止。用這種方法就可求出R進(jìn)制小數(shù)的每一個(gè)系數(shù)?！纠繉⑹M(jìn)制數(shù)〔342.6875〕10分別轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)。解：整數(shù)局部小數(shù)局部得：

以小數(shù)點(diǎn)為界，將二進(jìn)制數(shù)整數(shù)局部從低位開(kāi)始，小數(shù)局部從高位開(kāi)始，每4位一組，首尾缺乏4位的補(bǔ)零，然后將每組4位二進(jìn)制數(shù)用1位十六進(jìn)制數(shù)表示。2.3.2二進(jìn)制與十六進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換1.二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制例：將二進(jìn)制數(shù)2轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。解：

得

將1位十六進(jìn)制數(shù)用4位二進(jìn)制數(shù)表示。2.十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制例：

將十六進(jìn)制數(shù)(4FB.CA)16轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。解：

得

以小數(shù)點(diǎn)為界，將二進(jìn)制數(shù)整數(shù)局部從低位開(kāi)始，小數(shù)局部從高位開(kāi)始，每3位一組，首尾缺乏3位的補(bǔ)零，然后將每組3位二進(jìn)制數(shù)用1位八進(jìn)制數(shù)表示。2.3.3二進(jìn)制與八進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換1.二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制例：將二進(jìn)制數(shù)(1111010010.01)2轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。解：

得

將1位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示即可。2.八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制例：將八進(jìn)制數(shù)(6407.2)8轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。解：

得

二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)那么和十進(jìn)制數(shù)根本相同，區(qū)別：“逢二進(jìn)一〞及“借一當(dāng)二〞。2.4二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算2.4.1二進(jìn)制數(shù)的根本運(yùn)算二進(jìn)制加法的四條根本規(guī)那么：

二進(jìn)制減法的四條根本規(guī)那么：

例：X=(1100)2,Y=(0101)2,求X+Y,X-Y,X×Y,X÷Y。解：

得

2.4.2

二進(jìn)制數(shù)的原碼、補(bǔ)碼和反碼1.補(bǔ)碼〔2的補(bǔ)碼〕

n位二進(jìn)制數(shù)的原碼為N，與其對(duì)應(yīng)的補(bǔ)碼定義為[N]補(bǔ)=2n-N例：N=1001，[1001]補(bǔ)=24-1001=10000-1001=01112.反碼〔1的補(bǔ)碼〕n位二進(jìn)制數(shù)的原碼為N，與其對(duì)應(yīng)的反碼定義為[N]反=(2n-1)-N例：N=1001，[1001]反=〔24-1〕-1001=1111-1001=0110將原碼的各位求反，那么得到反碼，將反碼加1，那么得到補(bǔ)碼2.4.3帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算1.帶符號(hào)數(shù)的表示方法

帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)：用二進(jìn)制數(shù)碼的最高位表示符號(hào)，0表示正，1表示負(fù)，其余各位表示數(shù)的絕對(duì)值。正數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼三種表示法一樣：符號(hào)位為0，隨后是二進(jìn)制數(shù)的絕對(duì)值，即原碼。負(fù)數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼三種表示方法分別為：符號(hào)位1加原碼、符號(hào)位1加反碼、符號(hào)位1加補(bǔ)碼。n位帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)可以表示的數(shù)值范圍：原碼：-〔2n-1-1〕～+〔2n-1-1〕反碼：-〔2n-1-1〕～+〔2n-1-1〕補(bǔ)碼：-2n-1～+〔2n-1-1〕十進(jìn)制二進(jìn)制原碼反碼補(bǔ)碼+8+7+6+5+4+3+2+10-1-2-3-4-5-6-7-8—011101100101010000110010000100001001101010111100110111101111——011101100101010000110010000100001110110111001011101010011000——01110110010101000011001000010000111111101101110010111010100110004位帶符號(hào)數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼

例：寫(xiě)出帶符號(hào)位二進(jìn)制數(shù)00011010〔+26〕、10011010〔-26〕、00101101〔+45〕、和10101101〔-45〕的反碼和補(bǔ)碼。原碼反碼補(bǔ)碼00011010〔+26〕0001101000011010 10011010〔-26〕11100101 1110011000101101〔+45〕001011010010110110101101〔-45〕1101001011010011解：

2.用反碼和補(bǔ)碼進(jìn)行加/減運(yùn)算

(1)反碼運(yùn)算[X1]反+[X2]反=[X1+X2]反兩數(shù)反碼之和等于兩數(shù)之和的反碼，符號(hào)位參加運(yùn)算。需循環(huán)進(jìn)位。(2)補(bǔ)碼運(yùn)算[X1]補(bǔ)+[X2]補(bǔ)=[X1+X2]補(bǔ)兩數(shù)補(bǔ)碼之和等于兩數(shù)之和的補(bǔ)碼，符號(hào)位參加運(yùn)算。不需循環(huán)進(jìn)位。

【例】用二進(jìn)制反碼求26-21和21-26，二進(jìn)制字長(zhǎng)為8位。得[26-21]反=[26]反+[-21]反=00000101=[00000101]反

[21-26]反=[21]反+[-26]反=11111010=[10000101]反

(00000101)2=(5)10(10000101)2=(-5)10

所以26-21=521-26=-5[26]反=[00011010]反=00011010[-21]反=[10010101]反=1110101[21]反=[00010101]反=00010101[-26]反=[10011010]反=11100101[26]反+[-21]反為[21]反+[-26]反為解：根據(jù)[X1]反+[X2]反=[X1+X2]反，得：

【例】用二進(jìn)制補(bǔ)碼求26-21和21-26，二進(jìn)制字長(zhǎng)為8位。得[26-21]補(bǔ)=[26]補(bǔ)+[-21]補(bǔ)=00000101=[00000101]補(bǔ)

[21-26]補(bǔ)=[21]補(bǔ)+[-26]補(bǔ)=11111011=[10000101]補(bǔ)

(00000101)2=(5)10(10000101)2=(-5)10

所以26-21=521-26=-5解：根據(jù)[X1]補(bǔ)+[X2]補(bǔ)=[X1+X2]補(bǔ)，得：[26]補(bǔ)=[00011010]補(bǔ)=00011010[-21]補(bǔ)=[10010101]補(bǔ)=11101011[21]補(bǔ)=[00010101]補(bǔ)=00010101[-26]補(bǔ)=[10011010]補(bǔ)=11100110

[26]補(bǔ)+[-21]補(bǔ)為[21]補(bǔ)+[-26]補(bǔ)為編碼：用文字、符號(hào)或數(shù)碼表示特定的對(duì)象。數(shù)字系統(tǒng)中常用的是二進(jìn)制編碼。2.5幾種常用的編碼n位二進(jìn)制有2n個(gè)狀態(tài)，將這些狀態(tài)按轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的大小排列，就構(gòu)成了n位自然二進(jìn)制碼。1自然二進(jìn)制碼2二-十進(jìn)制碼〔BCD碼〕用二進(jìn)制碼表示十進(jìn)制碼，需四位二進(jìn)制碼，可以組成十六個(gè)狀態(tài)，舍去其中的六個(gè)，即可構(gòu)成多種BCD碼。常用的有8421碼、2421碼、5421碼、余3碼等。用四位二進(jìn)制代碼表示一位十進(jìn)制數(shù)，從高位到低位各位的權(quán)分別為8、4、2、1。

它只選用了四位二進(jìn)制碼中前10組代碼，即用0000~1001分別代表它所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，余下的六組代碼不用?！?〕有權(quán)碼①BCD8421碼用四位二進(jìn)制數(shù)代表一位十進(jìn)制數(shù)。從高位到低位的權(quán)值分別為5、4、2、1和2、4、2、1。具有多值性，常用的BCD2421碼有兩種。表中所列為公認(rèn)的編碼，雖有多值性，但不再寫(xiě)成其他的形式。BCD2421*碼具有對(duì)9互補(bǔ)的特點(diǎn)(即只要對(duì)某一組代碼各位取反就可以得到9的補(bǔ)碼)。

②5421BCD碼和2421BCD碼余三碼代表的數(shù)值可按BCD8421碼的權(quán)計(jì)算，然后減去3。

余三碼的兩數(shù)相加時(shí)，如有進(jìn)位，正好可以從最高位二進(jìn)制碼獲得進(jìn)位信號(hào)。

余3碼也具有對(duì)9互補(bǔ)的特點(diǎn)，它也是一種對(duì)9的自補(bǔ)碼。〔2〕余三碼——偏權(quán)碼〔3〕余三循環(huán)碼——變權(quán)碼相鄰的兩個(gè)代碼之間僅有1位的狀態(tài)不同

十進(jìn)制數(shù)BCD8421BCD5421BCD2421BCD2421*余三碼余三循環(huán)碼0000000000000000000110010100010001000100010100011020010001000100010010101113001100110011001101100101401000100010001000111010050101100001011011100011006011010010110110010011101701111010011111011010111181000101111101110101111109100111001111111111001010各種常用的BCD編碼相鄰兩個(gè)代碼之間僅有一位不同，且以中間為對(duì)稱的兩個(gè)代碼也只有一位不同。

優(yōu)點(diǎn)是在數(shù)碼變換過(guò)程中不產(chǎn)生瞬時(shí)錯(cuò)誤。3循環(huán)碼——無(wú)權(quán)碼例011100111011101010004位循環(huán)碼

十進(jìn)制二進(jìn)制循環(huán)碼十進(jìn)制二進(jìn)制循環(huán)碼000000000810001100100010001910