江西省吉安市楓田中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

江西省吉安市楓田中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，a3=2a2，數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn為（）A．Sn=2n﹣1 B．Sn=2n﹣1 C．Sn=n2 D．Sn=2n﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出公比q=2，由此能求出數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a1=1，a3=2a2，∴1×q2=2×1×q．解得q=2，∴數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn==2n﹣1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是基礎(chǔ)題．2.已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，則(

)A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．∴c＜b＜a．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．3.在△中，若，，，則A.

B.

C.

D.參考答案：B根據(jù)正弦定理，，則.4.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D5.設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（A），2]

（B）[0，2]

（C）[1，+）

（D）[0，+）參考答案：D略6.若，滿足不等式組，且的最大值為2，則實(shí)數(shù)的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D設(shè)，當(dāng)取最大值2時(shí)，有，先做出不等式對(duì)應(yīng)的可行域，要使取最大值2，則說(shuō)明此時(shí)為區(qū)域內(nèi)使直線的截距最大，即點(diǎn)A在直線上，由，解得，代入直線得，，選D.7.記min{x，y}=設(shè)f（x）=min{x2，x3}，則（）A．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）B．存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）C．存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t）D．存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）參考答案：C【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【分析】求出f（x）的解析式，對(duì)t的范圍進(jìn)行討論，依次判斷各選項(xiàng)左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性和值域，從而得出答案．【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x），∴當(dāng)x≤1時(shí)，x2﹣x3≥0，當(dāng)x＞1時(shí)，x2﹣x3＜0，∴f（x）=．若t＞1，則|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0，|f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3，f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3，當(dāng)t=1時(shí)，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0，|f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2，f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2，∴當(dāng)t＞0時(shí)，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t）﹣f（﹣t），故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；當(dāng)t＞0時(shí)，令g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2，則g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）=0得﹣3t2+8t﹣1=0，∴△=64﹣12=52，∴g（t）有兩個(gè)極值點(diǎn)t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上為減函數(shù)，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正確；令h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t，則h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣）2+＞0，∴h（t）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴h（t）＞h（0）=0，∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t），故D錯(cuò)誤．故選C．8.若點(diǎn)在第一象限，且在直線上，則的最小值為（

） A．8

B．9

C．10

D．12參考答案：B略9.條件的

（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：B10.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)點(diǎn)P（2，3）的直線l將圓Q：（x﹣1）2+（y﹣1）2=16分成兩段弧，當(dāng)形成的優(yōu)弧最長(zhǎng)時(shí)，則（1）直線l的方程為 ；（2）直線l被圓Q截得的弦長(zhǎng)為

．參考答案：（1）x+2y﹣8=0；（2）2．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計(jì)算題；直線與圓．分析：（1）設(shè)圓心為Q（1，1），由圓的性質(zhì)得，當(dāng)直線l⊥PQ時(shí)，形成的優(yōu)弧最長(zhǎng)，l應(yīng)與圓心與Q點(diǎn)的連線垂直，求出直線的斜率即可得出直線l的方程；（2）求出圓心Q（1，1）直線x+2y﹣8=0的距離，利用弦長(zhǎng)公式可得結(jié)論．解答： 解：（1）設(shè)圓心為Q（1，1），由圓的性質(zhì)得，當(dāng)直線l⊥PQ時(shí)，形成的優(yōu)弧最長(zhǎng)，此時(shí)kPQ==2，所以直線l的斜率為﹣．于是由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y﹣3=﹣（x﹣2），即x+2y﹣8=0；（2）圓心Q（1，1）直線x+2y﹣8=0的距離為d==，設(shè)直線l與圓Q相交于點(diǎn)A，B，則弦長(zhǎng)|AB|=2=2．故答案為：x+2y﹣8=0；2．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系和直線被圓截得弦長(zhǎng)的計(jì)算．第（1）問(wèn)利用直線l⊥PQ時(shí)，形成的優(yōu)弧最長(zhǎng)可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線L的方程；第（2）問(wèn)先求出圓心到直線l的距離，再計(jì)算直線l被圓截得的弦長(zhǎng)．12.已知是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，且。若的最小值為1，則橢圓的離心率為

.

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

H5解析：設(shè)則，所以所以【思路點(diǎn)撥】設(shè)則，從而得，所以.13.設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是________．參考答案：

，，即由圖象變換可畫出與的圖象如下：由圖可知，滿足的解為.

14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，時(shí)取得最大值，則a的取值范圍是

參考答案：15.已知為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是______．參考答案：試題分析：畫出可行域如圖所示：由題意可求得，

由得：，

顯然直線過(guò)時(shí)，最小，最小值是0，

直線過(guò)時(shí)，最大，最大值是6，

故．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃16.在半徑為13的球面上有A,B,C三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則（1）球心到平面ABC的距離為

；（2）過(guò)A，B兩點(diǎn)的大圓面為平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為

．參考答案：12、317.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則__________．參考答案：【分析】角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可以求出終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣可以求出角，也就能求出的值.【詳解】設(shè)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，當(dāng)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，當(dāng)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，，綜上所述.【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)求一個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)，求此角二倍角的余弦值問(wèn)題，考查了分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD=1，E為AC的中點(diǎn)，AE=，cosB=，∠ADB=．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求△ADE的面積．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，進(jìn)而利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin∠BAD，利用正弦定理即可求得AD的值．（2）由（1）可求AC=2AE=3，由余弦定理可求DC的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：（1）在△ABD中，∵，∴，∴，由正弦定理，知．（2）由（1）知AD=2，依題意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2﹣2AD?CDcos∠ADC，即，∴DC2﹣2DC﹣5=0，解得（負(fù)值舍去）．∴，從而．19.某校高一年級(jí)開(kāi)設(shè)研究性學(xué)習(xí)課程，（）班和（）班報(bào)名參加的人數(shù)分別是和．現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽取若干名學(xué)生組成研究性學(xué)習(xí)小組，已知從（）班抽取了名同學(xué)．（Ⅰ）求研究性學(xué)習(xí)小組的人數(shù)；（Ⅱ）規(guī)劃在研究性學(xué)習(xí)的中、后期各安排次交流活動(dòng)，每次隨機(jī)抽取小組中名同學(xué)發(fā)言．求次發(fā)言的學(xué)生恰好來(lái)自不同班級(jí)的概率．參考答案：（Ⅰ）解：設(shè)從（）班抽取的人數(shù)為，依題意得，所以，研究性學(xué)習(xí)小組的人數(shù)為．

………5分（Ⅱ）設(shè)研究性學(xué)習(xí)小組中（）班的人為，（）班的人為．次交流活動(dòng)中，每次隨機(jī)抽取名同學(xué)發(fā)言的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種．

…………9分

次發(fā)言的學(xué)生恰好來(lái)自不同班級(jí)的基本事件為：，，，，，，，，，，，，共種．

…………12分

所以次發(fā)言的學(xué)生恰好來(lái)自不同班級(jí)的概率為．

……13分略20.已知函數(shù)f（x）=ex+ax﹣a（a∈R且a≠0）．（1）若f（0）=2，求實(shí)數(shù)a的值；并求此時(shí)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值．（2）若函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的大師，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值即可；（2）求出函數(shù)的大師，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可．【解答】解：（1）由f（0）=1﹣a=2得．∴a=﹣1．f（x）=ex﹣x+1，求導(dǎo)得f′（x）=ex﹣1易知f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，1]上f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x=0時(shí)，f（x）的最小值為2

…（4分）（2）f′（x）=ex+a，由于ex＞0，①當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=ex+a（x﹣1）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，取x=﹣，則f（﹣）＜1+a（﹣﹣1）=﹣a＜0，所以函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，不滿足題意．…（8分）②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=ex+a=0，x=ln（﹣a），在（﹣∞，ln（﹣a））上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（ln（﹣a），+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以x=ln（﹣a）時(shí)，f（x）取最小值，函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f（ln（﹣a））=eln（﹣a）+aln（﹣a）﹣a=﹣2a+aln（﹣a）＞0，解得：﹣e2＜a＜0，綜上所述：所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣e2＜a＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．21.已知，若滿足，（1）求實(shí)數(shù)的