2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市湖南大學(xué)附屬中學(xué) 高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市湖南大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象如圖所示，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小周期為B．圖象f（x）的圖象可由g（x）=Acos（ωx）的圖象向右平移個(gè)單位得到C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）上單調(diào)遞增參考答案：D【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由函數(shù)圖象可求函數(shù)的周期，利用正確公式可求ω，又由題圖可知f（）=Acos（φ﹣π）=0，利用五點(diǎn)作圖法可φ，從而可得函數(shù)解析式，令3x+=kπ，k∈Z，可解得函數(shù)的對(duì)稱軸方程，令2kπ﹣π≤3x+≤2kπ，k∈Z，可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，從而得解．【解答】解：∵由題意可知，此函數(shù)的周期T=2（﹣）==，∴解得：ω=3，可得：f（x）=Acos（3x+φ）．又∵由題圖可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）=0，∴利用五點(diǎn)作圖法可得：φ﹣π=，解得：φ=，∴f（x）=Acos（3x+）．∴令3x+=kπ，k∈Z，可解得函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：x=﹣，k∈Z，令2kπ﹣π≤3x+≤2kπ，k∈Z，可解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．∴對(duì)于A，函數(shù)f（x）的最小周期為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)間（x）=Acos3x的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=Acos=Acos（3x﹣）=Acos（3x﹣）=Acos（3x+）=f（x），故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸方程為：x=﹣，k∈Z，令k=2，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，令k=2，可得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）上不單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性及其求法，考查視圖能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．2.對(duì)于任意的直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m，使m與l（

）A.平行 B.相交 C.垂直 D.異面參考答案：C因?yàn)閷?duì)于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使與．垂直，選C3.（3分）函數(shù)則的值為（） A． B． C． D． 18參考答案：C考點(diǎn)： 函數(shù)的值．專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由，由f（3）=32﹣3﹣3=3，能求出的值．解答： ∵，∴f（3）=32﹣3﹣3=3，∴=f（）=1﹣（）2=，故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．4.下列集合到集合的對(duì)應(yīng)是映射的是（

）A．：中的數(shù)平方；B．：中的數(shù)開方；C．：中的數(shù)取倒數(shù)；

D．：中的數(shù)取絕對(duì)值；參考答案：A5.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.給定函數(shù)：①，②，③y=|x2﹣2x|，④y=x+，其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是（）A．②④ B．②③ C．①③ D．①④參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)，可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)折變換，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷③；根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可判斷④【解答】解：：①函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，②u=x+1在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，③函數(shù)y=|x2﹣2x|由函數(shù)y=x2﹣2x的圖象縱向?qū)φ圩儞Q得到，故在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，④函數(shù)y=x+在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，故選：A7.已知集合，集合,若，則實(shí)數(shù)的集合為（

）A．

B．

C． D．參考答案：D8.將十進(jìn)制數(shù)31轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)為A.1111

B.10111

C.11111

D.11110參考答案：C略9.函數(shù)在上遞減，那么在上（

）．A．遞增且有最大值

B．遞減且無最小值

C．遞增且無最大值

D．遞減且有最小值參考答案：A令，是的遞減區(qū)間，即，是的遞增區(qū)間，即遞增且無最大值．10.已知f（x）=滿足對(duì)任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范圍是(

)A．（0，1） B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)恒成立問題．專題：函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意可得f（x）在R上為減函數(shù)，分別考慮各段的單調(diào)性，可得2a﹣1＜0，0＜a＜1，注意x=1處的情況，可得2a﹣1+3a≥a，求交集即可得到所求范圍．解答：解：對(duì)任意x1≠x2都有＜0成立，即有f（x）在R上為減函數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)，y=（2a﹣1）x+3a，遞減，即有2a﹣1＜0，解得a＜，①當(dāng)x＞1時(shí)，y=ax遞減，即有0＜a＜1，②由于x∈R，f（x）遞減，即有2a﹣1+3a≥a，解得a≥，③由①②③，可得≤a＜．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，注意定義的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在常數(shù)，使對(duì)任意的，都有成立，則稱為區(qū)間D上的“k階增函數(shù)”．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)，．若為R上的“4階增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：(－1,1)因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-|x+a2|+a2所以函數(shù)的最大零點(diǎn)為2a2，最小零點(diǎn)為-2a2，函數(shù)y=f（x+4）的最大零點(diǎn)為2a2-4，因?yàn)閒（x）=|x-a2|-a2．若f（x）為R上的“4階增函數(shù)”，所以對(duì)任意x∈R恒成立，即函數(shù)y=f（x+4）圖象在函數(shù)y=f（x）的圖象的上方，即有2a2-4＜-2a2，所以a取值范圍為（-1，1）．故答案為

12.已知，則的值等于_______________.

參考答案：．由得：，即，所以．13.(12分)已知函數(shù).（1）求的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）說明的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣變化得到.參考答案：（1）

=,最小正周期為

由，可得，

所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)將的圖象縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)綜短為原來倍,將所得圖象向左平穩(wěn)個(gè)單位,再將所得的圖象橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)為原來的倍得的圖象.略14.在正方體中，平面與平面所成的銳二面角的大小是

.參考答案：

15.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是

參考答案：略16.過點(diǎn)且到點(diǎn)距離相等的直線的一般式方程是_____________.參考答案：考慮兩種情形，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為符合題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，綜上訴述，所求直線方程為.

17.若扇形的周長(zhǎng)是16cm，圓心角是2弧度，則扇形的面積是．參考答案：16cm2；【考點(diǎn)】G8：扇形面積公式．【分析】先求出扇形的弧長(zhǎng)，利用周長(zhǎng)求半徑，代入面積公式s=αr2進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：設(shè)扇形半徑為r，面積為s，圓心角是α，則α=2，弧長(zhǎng)為αr，則周長(zhǎng)16=2r+αr=2r+2r=4r，∴r=4，扇形的面積為：s=αr2=×2×16=16（cm2），故答案為

16cm2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)對(duì)任意，都有，且時(shí)，，。（1）求證：是奇函數(shù)；（2）試問在時(shí)，是否有最值？如果有求出最值；如果沒有，說出理由.參考答案：略19.如圖，在△ABC中，，，.P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且.（1）若，求線段AP的長(zhǎng)度；（2）若，求△ABP的面積.參考答案：解：（1）因?yàn)?，所以在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以；?）設(shè)，則，在中，，，，所以，在中，，，，，由正弦定理得：，又.

20.如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)2的正方形，E，F(xiàn)分別為線段DD1，BD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面ABC1D1；（2）AA1=2，求異面直線EF與BC所成的角的大小．參考答案：【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結(jié)BD1，推導(dǎo)出EF∥D1B，由此能證明EF∥平面ABC1D1．（2）由EF∥BD1，知∠D1BC是異面直線EF與BC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線EF與BC所成的角的大小．【解答】證明：（1）連結(jié)BD1，在△DD1B中，E、F分別是D1D、DB的中點(diǎn)，∴EF是△DD1B的中位線，∴EF∥D1B，∵D1B?平面ABC1D1，EF?平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1．解：（2）∵AA1=2，AB=2，EF∥BD1，∴∠D1BC是異面直線EF與BC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1?平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=2，D1C⊥BC，∴tan∠D1BC=，∴∠D1BC=60°，∴異面直線EF與BC所成的角的大小為60°．21.（1）計(jì)算：

（2）已知，求的值。

參考答案：22.（本題滿分12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面,為的中點(diǎn),.(1)求證：平面；(2)