2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題（答案）

絕密★啟用前試卷類型：A2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課標Ⅰ卷數(shù)學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫2B）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.8540分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.2x6NxxMN（1.已知集合M2，）2A.D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．2M2，Nxxx60,2【詳解】方法一：因為MN故選：C．．M22代入不等式x2x602第1共頁1i以MN故選：C．．2.zzz（）2A.ii0D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出z，再由共軛復數(shù)的概念得到z，從而解出．1i1i1i11zi，所以zzi．zi【詳解】因為221i1i422故選：A．a(chǎn)1,babab，則（3.已知向量A.1）11D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出ab，ab，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．a(chǎn)1,b，所以ab1,1，ab1,1，【詳解】因為abababab0，由可得，即11110故選：D．1．，整理得：fx2xxa在區(qū)間a上單調遞減，則的取值范圍是（4.設函數(shù)）A.,20D.2【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調性，判斷列式計算作答.第2共頁yx在R上單調遞增，而函數(shù)fx2xxa2在區(qū)間上單調遞減，【詳解】函數(shù)aa2a則有函數(shù)yx(xa)(x)2在區(qū)間上單調遞減，因此1，解得a2，242a的取值范圍是.故選：Dx2x25.設橢圓1:y2aC2:y21的離心率分別為e,eee21a（）12a2423A.23D.63【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.41a2123e2，因此【詳解】由ee223a1，所以a.21a243故選：A222xy4x10相切的兩條直線的夾角為sin（6.）446A.1D.4【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質求切線長，k合夾角公式運算求解.2k102y24x10,Bx2y5，可得圓心C0，半徑r5，22【詳解】方法一：因為xP2C的切線，切點為，22222r3，2225436sin,cos，22224第3共頁1046154則sinAPBsin2APC2sinAPCAPC2，4226412即為鈍角，2sin20，444sinsinπsin；2y24x10的圓心C0，半徑r5，,B，連接AB法二：圓xP2C的切線，切點為，2222PAPBPC2r3，222222222336cos5510π，且π1即355cos，解得APB0，414coscosπAPBcosAPB即為鈍角，則，15且為銳角，所以sin1cos2；4方法三：圓x2y24x10的圓心C0，半徑r5，若切線斜率不存在，則切線方程為y0，則圓心到切點的距離d2r，不合題意；y2y20，若切線斜率存在，設切線方程為2k25，整理得k2k106440則2k1k,k1kkkk1，1212設兩切線斜率分別為22kkkkkk2，1212121k2sinsin15cos，可得，1k2cossin2則sin22sin21，第4共頁π24sin0，解得sin且.故選：SnSann為等差數(shù)列；乙：{}7.記為數(shù)列項和，設甲：n為等差數(shù)列，則（）nnA.甲是乙的充分條件但不是必要條件甲是乙的必要條件但不是充分條件甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，aa1【詳解】方法，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為d，nn(nSnn1ddSSnd則Snad,1dn1,n1，n12n222n1n2S因此{}為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；nnSSn1SnnSn1(nSnn1Sn反之，乙：{}為等差數(shù)列，即nt為常數(shù)，設為，nn1nn(nn(nn1(nSntSnatn(nS(nantn(nn2，n1即nn1ana(nntnantn1也成立，兩式相減得：nn1n1第5共頁a為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，n所以甲是乙的充要條件，C正確.n(naaaSnad，，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為dnn1n12Sn(nddSn則1dn1，因此{}為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；n222nSSn1SnSn反之，乙：{}為等差數(shù)列，即nD,1(nD，nn1nnSnSn(nDS(n1(nn2)D，n1即，n1當n2時，上兩式相減得：SS12(nDn1時，上式成立，nn1aa2(nDaaa2nD[a2(nD]2D為常數(shù)，n1n11n1a為等差數(shù)列，則甲是乙必要條件，n所以甲是乙的充要條件.故選：C118.,2（367191979A.D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出)，再利用二倍角的余弦公式計算作答.1112【詳解】因為)sincossincossin，因此sincos，3623則)sincossin，219故選：B【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法2)cos2()12sin2)12()2.31“給角求值”題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數(shù)公式轉化為特殊角的三角函數(shù)．2）給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．第6共頁3）給值求角”：實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結合該函數(shù)的單調區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.x,x,,xxx69.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）1261x,x,x,xx,x,,x12A.D.的平均數(shù)等于的中位數(shù)等于的平均數(shù)的中位數(shù)23456x,x,x,xx,x,,x2345126x,x,x,xx,x,,x的標準差126的標準差不小于2345x,x,x,xx,x,,x的極差126的極差不大于2345【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結合平均數(shù)、中位數(shù)、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.x,x,x,xmx,x,,xn的平均數(shù)為，【詳解】對于選項A的平均數(shù)為，23451262xxxxxxxxxxxxxxxx則nm1234562345165234，642xx,xxxxm,n的大小，因為沒有確定例如：2,3,4,5,6例如7的大小關系，所以無法判斷165234，可得mn3.5；mn2，可得；11例如1,2,2,2,2,2，可得mnA錯誤；6xxxxxx，6對于選項：不妨設123453x4x,x,x,xx,x,,x的中位數(shù)均為6的中位數(shù)等于B正確；2345122xx對于選項：因為是最小值，是最大值，16x,x,x,xx,x,,xx,x,x,xx,x,,x則的波動性不大于的標準差不大于的標準差，234512623451261n246810127，例如：，則平均數(shù)613222222標準差127476787107127，6第7共頁1，則平均數(shù)m468107，4142222標準差s24767871075，ssC錯誤；1253xxxxxx，6對于選項D：不妨設12345xxxxxx,xx時，等號成立，故D正確；1256則，當且僅當6152故選：pLp10.噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)0pp0是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：00與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車混合動力汽車電動汽車101010609040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p,p,p，則（3121223A.D.301100p2【答案】【解析】L60,90,L60,L【分析】根據(jù)題意可知【詳解】由題意可知：，結合對數(shù)運算逐項分析判斷.p1p2p3L60,90,L60,L，p1p2p3121LL202020對于選項A：可得，p1p200211LLLL2000，p2p1p2p221第8共頁11且p,p0pp，可得1A正確；p2122232LL202020對于選項：可得，，p2p3003p2p21LLL20pp3p233222ep,p0且，可得pep，23323L當且僅當時，等號成立，故B錯誤；p233L20402，對于選項：因為p30031003pC正確；001LL20對于選項D：由選項A可知：，p1p2p21LL2040，且即p1p22112100p,p0p100p1，可得，所以D正確；22122故選：已知函數(shù)fxfxyy2fxxfy，則（2的定義域為R，A.f00f0fxx0為fx的極小值點是偶函數(shù)D.【答案】【解析】【分析】方法一：利用賦值法，結合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例f(x)0即可排除選項D.xx,x02f(x)方法二：選項的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數(shù)進行判斷即可.x0第9共頁【詳解】方法一：f(xy)y2f(x)xf(y)，2Axy0，f0f0f0A正確.xy1，f1f1ff0B正確.xy1，ff(f(2f(f(0，yf(x)f(x)xf(f(x)，2令又函數(shù)f(x)的定義域為R，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，D，不妨令f(x)0，顯然符合題設條件，此時f(x)無極值，故D方法二：f(xy)y2f(x)xf(y)，2Axy0，f0f0f0A正確.xy1，f1f1ff0B正確.xy1，ff(f(2f(f(0，yf(x)f(x)xf(f(x)，2令又函數(shù)f(x)的定義域為R，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，f(xy)f(x)f(y)x2y20時，對f(xy)y2f(x)x2f(y)兩邊同時除以x2y2，得到，Dx2y2x2y2xx,x02f(x)故可以設x(xf(x)，x2x01f(x)x2xfx2xxx2x(2x，當x0x1fx0fx)>0￠12令；0xe2xe1212故f(x)在0,e上單調遞減，在e,上單調遞增，112f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在e,02上單調遞增，在,e上單調遞減，第頁共頁顯然，此時x0是f(x)的極大值，故D錯誤.故選：.12.（單位：mA.直徑為0.99m的球體）所有棱長均為的四面體底面直徑為，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結合正方體的性質逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為0.99m，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；對于選項：因為正方體的面對角線長為2，所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；對于選項：因為正方體的體對角線長為31.8，所以不能夠被整體放入正方體內，故C正確；對于選項D：因為正方體的體對角線長為3，ABCD的中心為O1為軸對稱放置圓柱，設圓柱的底面圓心O到正方體的表1設正方體1111面的最近的距離為hm，133如圖，結合對稱性可知：CA,CO0.6，111111222第共頁3hO1h，1h則2，解得AA1A23113所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：【點睛】關鍵點睛：對于CD：以正方體的體對角線為圓柱的軸，結合正方體以及圓柱的性質分析判斷.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某學校開設了4門體育類選修課和48門課中選修23類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________【答案】64【解析】【分析】分類討論選修23門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數(shù)運算求解.）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有2）當從8門課中選修3C1C41416①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C14C2424C24C14綜上所述：不同的選課方案共有16242464.故答案為64.ABCD14.在正四棱臺AB2,ABAA2，則該棱臺的體積為________．11111117676【答案】【解析】##66AO,,AM【分析】結合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.111A1AM1AM1ABCD為四棱臺的高，1111【詳解】如圖，過作，垂足為M，易知第頁共頁AB2，11111211則AOAC2AB,22，1111112222212126故ACAMAA2AM22，111122216766所以所求體積為V(4141).3276故答案為：.615.已知函數(shù)fxcosx0)在區(qū)間2π有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．【答案】[2,3)【解析】【分析】令f(x)0cosx1有3個根，從而結合余弦函數(shù)的圖像性質即可得解.【詳解】因為0≤x≤π，所以0≤x≤π，f(x)cosx10cosx1有3個根，令令txt1有3個根，其中t2π]，ycost結合余弦函數(shù)的圖像性質可得4ππ6π23，故答案為：[2,3).x22y221,Fy．點A在C上，點B在軸上，216.已知雙曲線C:ab0)的左、右焦點分別為ab2FAFB,FAFBC的離心率為________．11223第頁共頁35355【答案】【解析】5AF,BF,BF,AF1a,m的表達式，221ama,c的齊次方程，從而得解.從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到52xc,yt，t2c2A代入雙曲0033線C得到關于a,b,c的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設22mBFmBF,AF2a2m，211RtABF9m222(a3m)(am)0am或a3m在(2a2m)25m1a,aBFBFaAB5a，，1221AF4a45cosFAF1故，12AB5a16a24a24c24所以在△FF，整理得c29a2，121224a2a5c355故e.a方法二:F(c,0),F(c,0)Ax,y,B(0,t)，00依題意，得122252FAFB，所以xc,yc,txc,yt，220000333382822FAFBc,tc,tc2t022又FAFB，所以tc，11113333第頁共頁49bc2t2c2t2c216c2A在C上，則91，整理得11，29aa16aa2b29a2ba2229ab2c2c222c29a2c2a2，25c2b216c2a2整理得25c450c29a40c29a2c220，解得c9a2或c2a2，23555355又e1，所以e或ee.535故答案為：.5【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股定理與余弦定a,b,c理得到關于的齊次方程，從而得解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在ABC,2sinACsinB．1）求A；2）設5AB邊上的高．3【答案】（）2）6【解析】）根據(jù)角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關系及兩角和的正弦公式求B,再由正弦定理求出b，根據(jù)等面積法求解即可.【小問1詳解】ABC，ππCCC，4又2AC)BAC)，2sinAC2AsinCsinACAsinC，sinAcosC3cosAsinC，sinA3cosA，第頁共頁π2即A3，所以0A，331010sinA.10【小問2詳解】1由（1）知，A，23255由BAC)，sinACAsinC()2255cb5由正弦定理，，可得b2，sinCsinB2211hsinA，223hbsinA2106.ABCDABAA14A,B,C,D．點分別在棱222218.如圖，在正四棱柱中，1111,,CC2,3．2222,1111BC∥AD1）證明：；2222PACD為1502P時，求．2）點P上，當二面角1222【答案】（）證明見解析；2）1【解析】第頁共頁）建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；P，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.2【小問1詳解】x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，以C為坐標原點，CD,CB,CC所在直線為1C(0,0),C(0,B(0,2),D(2,2),A(2,則，2222BCAD，2222BCAD，2222BCAD不在同一條直線上，2又222BCAD2.222【小問2詳解】P設，則AC(2),2,3DC，222222C設平面的法向量n(x,y,z)，2nAC2x2y2z022則，n2y)z02令z2y3,x1，n(1,3,2)，ACD的法向量2m(,,c)，設平面22第頁共頁mACabc022則，mDCac022令a1bc2，m2)，,mnmnm63cos150，64(2)22化簡可得，30，21或3，P或P，2P1.19.已知函數(shù)fxaexax．fx1）討論的單調性；32）證明：當a0fxa．2【答案】（）答案見解析2）證明見解析【解析】）先求導，再分類討論a0與a0兩種情況，結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系即可得解；1（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為a2a0的恒成立問題，構造函數(shù)21gaa2aa0，利用導數(shù)證得ga0即可.2hxexx1，證得exx1，從而得到f(x)xa1ax，進而將問題2方法二：構造函數(shù)1轉化為a2a0的恒成立問題，由此得證.2【小問1詳解】f(x)aexaxfxe1，x，定義域為R，所以0fxaex10恒成立，0ae當a0時，由于exxfx在R上單調遞減；第頁共頁當a0時，令fxaex10，解得xa，fx0fx在,a當xa上單調遞減；上單調遞增；當xafx)>0fx在,上單調遞減；fx在,a綜上：當a0當a0fx在R上單調遞減，fx在,上單調遞增.【小問2詳解】方法一：由（1）得，fxfaaeaaa1a2a，3231f(x)2lna，即證1a2a2lna，即證a2a0恒成立，22112a21gaa2aa0gaa令，2aa22令ga00aga0a；2222ga,在上單調遞減，在上單調遞增，2222212gag20ga0恒成立，22223所以當a0f(x)2lna恒成立，證畢.2方法二：hxexx1xe1，x令xe1在R上單調遞增，xyex在R上單調遞增，所以0e10，0又x0x0x0；所以當x0hx在,0上單調遞減，在上單調遞增，故hxh00exx1，當且僅當x0時，等號成立，f(x)aexaxaexa2xexaa2xxa1ax，2第頁共頁當且僅當xa0xa時，等號成立，331所以要證f(x)2lna，即證xa1a2x2lna，即證a2a0，222112a21gaa2aa0gaa令，2aa22令ga00aga0a；2222ga,在上單調遞減，在上單調遞增，2222212gag20ga0恒成立，22223所以當a0f(x)2lna恒成立，證畢.2nn2abnS,Ta,bn項和．n20.設等差數(shù)列的公差為dd1分別為數(shù)列nnnnanaaa,STa的通項公式；n1）若213332）若為等差數(shù)列，且bST99，求d．9999nann【答案】（）2）d【解析】）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；2【小問1詳解】為等差數(shù)列得出adab1.15050b}ad或1naaad12dad，1，，解得213Saad)6d，321269又Tbbb，3123d2ddd9STd21，33d1即d27d30，解得d3或d2第頁共頁aa(ndn.n1【小問2詳解】n}為等差數(shù)列，2bbb，213213116d16()a211dd20adad，解得或，a23a23111d1a0，，nST9999ab99ab1，5050又，由等差數(shù)列性質知，999950501a20a51a50，解得或（舍去）5050當1daa49dd51，解得d1d1矛盾，無解；501ad1aaddd當，解得.1綜上，d.21.論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．1）求第2次投籃的人是乙的概率；2）求第i次投籃的人是甲的概率；XPX11PX0q,i2,,niii3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且innnnEXqi次投籃）中甲投籃的次數(shù)為YEY．．記前次（即從第1次到第ii1i1【答案】（）i11212）653n52nEY)13）53【解析】第頁共頁）根據(jù)全概率公式即可求出；Pipp0.4i，根據(jù)數(shù)列知識，構造等比數(shù)列即可解出；i12，由題意可得i3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【小問1詳解】AB，i記“第i次投籃的人是甲”為事件，“第i次投籃的人是乙”為事件iPBPABPBBPAPB|APBPB|B所以，212121211210.510.60.5.【小問2詳解】PipPi1pi設，依題可知，iPAPAAPBAPAPA|APBPA|i，i1ii1ii1ii1iii1pi10.6p10.81p0.4p，iii即構造等比數(shù)列i，21211pp，解得pp設，ii1ii153353111112又p,p，所以pi是首項為，公比為的等比數(shù)列，11236365i1i111212,p13即p．6565ii3【小問3詳解】i112i13，i,n，652n12n15n5n所以當nN*EYppp，12n2635315n52nEY)1故．53【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．第頁共頁1中，點P到軸的距離等于點P的距離，記動點P的軌跡為Wx22.在直角坐標系．21）求W的方程；2）已知矩形有三個頂點在W上，證明：矩形的周長大于33．1yx2【答案】（）42）見解析【解析】12P(x,y)x2yy，化簡即可；2，根據(jù)題意列出方程2111Aa,a2,Bb,b2,Cc,c2（2）法一：設矩形的三個頂點，且abc，分別令44411kabm0kbcn0mn1Cn1n，設函數(shù)2，，且，利用放縮法得2n12f(x)x1x2，利用導數(shù)求出其最小值，則得C的最小值，再排除邊界值即可.x1法二：設直線AB的方程為yk(xa)a2，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式和放縮法得431k2，利用換元法和求導即可求出周長最值，再排除邊界值即可.k2法三：利用平移坐標系法，再設點，利用三角換元再對角度分類討論，結合基本不等式即可證明.【小問1詳解】2114P(x,y)2yx2設,則yxy，兩邊同平方化簡得，214故W:yx2.【小問2詳解】111Aa,a2,Bb,b2,Cc,c2在W上,且abc，易知矩形四條邊法一：設矩形的三個頂點444所在直線的斜率均存在，且不為，第頁共頁11b2a2kkabbc則,令44，ABBCkabm0ba1kbcn0mn1m同理令，n1設矩形周長為C,由對稱性不妨設|m|n|，kkcanmn，n11C|AB||BCba)1m12(cb)1n2(ca)1n2n1n2.n0，易知則2nn1n20n22111f(x)x1x2,xf(x)2x2x,xxx2f(x)0令當當則，解得x，22xf(x)0f(x)0，此時f(x)單調遞減，，此時f(x)單調遞增，22x,，224f(x)f，212733故C,即C33.2422mn時等號成立，矛盾，故當C33時,n,m2,且ba)1m2ba)1n2，即2C33,得證.第頁共頁法二：不妨設,B,D在W上，且，1Aa,a2，易知直線，DA的斜率均存在且不為0，依題意可設41,DA的斜率分