應(yīng)力應(yīng)變分析演示

（優(yōu)選）應(yīng)力應(yīng)變分析當(dāng)前第1頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)§10應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§10.1應(yīng)力的概念一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)1.內(nèi)力在變形體內(nèi)某一截面上分布的描述TM用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：——截面分布內(nèi)力系向截面形心簡化后的等效力系為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點(diǎn)，描述內(nèi)力的狀況。xyz當(dāng)前第2頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)AA在P點(diǎn)取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面上P點(diǎn)處定義：m-m截面上P點(diǎn)的正應(yīng)力m-m截面上P點(diǎn)的切應(yīng)力（剪應(yīng)力）m-m截面上P點(diǎn)的全應(yīng)力應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa當(dāng)前第3頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)2.變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）——均與過物體內(nèi)部的某一點(diǎn)的一個(gè)截面有關(guān)過物體內(nèi)部某點(diǎn)p的所有截面上的應(yīng)力分量的總體，稱為變形體在該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述變形體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用二階張量描述當(dāng)前第4頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)§10.2應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1.單元體的概念變形體內(nèi)某點(diǎn)處取出的邊長無限小的體積微元在直角坐標(biāo)系下，單元體為無限小正六面體xyzxyz單元體的三對表面：正面：外法向與坐標(biāo)軸同向負(fù)面：外法向與坐標(biāo)軸反向單元體是變形體的最基本模型當(dāng)前第5頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)2.應(yīng)力張量的表示方法單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面上的應(yīng)力矢量（全應(yīng)力），可分解為三個(gè)分量每對表面上的應(yīng)力矢量互為反作用力，共9個(gè)分量xyzxyz各應(yīng)力分量的記法該分量的指向所在面的法向兩腳標(biāo)相同——正應(yīng)力兩腳標(biāo)不同——切應(yīng)力當(dāng)前第6頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則當(dāng)前第7頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)3.單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,過其形心C作xC,yC,zC軸：切應(yīng)力互等定理故應(yīng)力張量為二階對稱張量9個(gè)分量中，只有6個(gè)獨(dú)立分量！當(dāng)前第8頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)§10.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：9個(gè)應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)——稱為平面應(yīng)力狀態(tài)或二向應(yīng)力狀態(tài)xyz可簡化為平面單元體：xy當(dāng)前第9頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出的單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體當(dāng)前第10頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)1.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，以拉為正切應(yīng)力，以使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)動為正應(yīng)力分量的正負(fù)號規(guī)定：故切應(yīng)力互等定理為：2.平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法若某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點(diǎn)任意外法線與為n的斜截面上的應(yīng)力分量。當(dāng)前第11頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點(diǎn)外法線為n的斜截面——面上的正應(yīng)力,切應(yīng)力。沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為dAnt同理可得：當(dāng)前第12頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)斜面應(yīng)力公式（10.1）(10.2)xyn當(dāng)前第13頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)§10.4主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1.主平面主方向主應(yīng)力在變形體內(nèi)某一點(diǎn)處：若某一方向的斜截面上，則該截面稱為主平面該斜截面的方向角稱為主方向，記為P，則有(10.2)0~2內(nèi)，得兩個(gè)值和，且（10.3）主方向公式即這兩個(gè)主平面相互垂直當(dāng)前第14頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式（10.1）令即（10.3）式同樣有故，主平面上的正應(yīng)力達(dá)到極值即主應(yīng)力分別對應(yīng)于的極大值和極小值將P1，P2代入（10.1）得出主平面上的主應(yīng)力為：（10.4)主應(yīng)力公式當(dāng)前第15頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體稱為原始單元體主單元體的各表面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力對平面應(yīng)力狀態(tài)，z平面也為一個(gè)主平面，其上的主應(yīng)力為零。故平面應(yīng)力狀態(tài)有三個(gè)主應(yīng)力：按代數(shù)值大小排列為123分別稱為第一主應(yīng)力，第二主應(yīng)力，第三主應(yīng)力，當(dāng)前第16頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)對任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂直的主平面及三個(gè)主應(yīng)力。一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力全不為零——該點(diǎn)為三向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有一個(gè)主應(yīng)力為零——該點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有二個(gè)主應(yīng)力為零——該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡單應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為1，極小值為3當(dāng)前第17頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)前第18頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)2.某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式求導(dǎo)(10.2)上式的兩個(gè)解S1，

S2為切應(yīng)力達(dá)到極值的平面S與主平面P相差45o，即P1與P2的角平分線方向?yàn)镾1和

S2的方向。切應(yīng)力的極值為：PS45oxPi當(dāng)前第19頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)注意同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，任意二個(gè)主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：該點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力應(yīng)為三者當(dāng)中的最大者，即（10.5）主切應(yīng)力所在平面所在平面所在平面當(dāng)前第20頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向。321max思考題：最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力是多少？=？當(dāng)前第21頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫出主單元體。解：xy例題1§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題由初始單元體上的應(yīng)力分量代入主應(yīng)力公式：故三個(gè)主應(yīng)力分別為當(dāng)前第22頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)求主方向：例題1§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題當(dāng)前第23頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)§10.5應(yīng)力圓一點(diǎn)處平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法。xy由斜面應(yīng)力公式可得(b)(a)上兩式兩邊平方后相加圓的方程：圓心()圓的半徑：上式在應(yīng)力坐標(biāo)系中為一圓，稱為應(yīng)力圓(莫爾圓)當(dāng)前第24頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)圓心()圓的半徑：R應(yīng)力圓的畫法：xy已知某點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)為x面坐標(biāo)Dx（）y面坐標(biāo)Dy（）兩點(diǎn)連線與軸的交點(diǎn)為圓心C以CDx為半徑畫出應(yīng)力圓當(dāng)前第25頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，為該點(diǎn)某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力xy角以逆時(shí)針為正R2當(dāng)前第26頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周.應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對應(yīng)截面上的應(yīng)力Rxy2當(dāng)前第27頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，主切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向：方向最大切應(yīng)力：當(dāng)前第28頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)yx單元體的主應(yīng)力、主方向、主切應(yīng)力當(dāng)前第29頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)（2）純剪切（純剪）TT主單元體45o-當(dāng)前第30頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮單拉-

單壓當(dāng)前第31頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力，（單位：）例題2§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題當(dāng)前第32頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)解：例題2§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題與2對應(yīng)主應(yīng)力為：與1對應(yīng)D當(dāng)前第33頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)主單元體：

例題2§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題當(dāng)前第34頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點(diǎn)的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位：）解：例題3§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題初始單元體xy半徑當(dāng)前第35頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)主單元體：例題3§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy112.5°當(dāng)前第36頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)xzy§11.5三向應(yīng)力狀態(tài)將三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)量的大小順序排列因此根據(jù)每一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都可以找到3個(gè)相互垂直的主應(yīng)力和3個(gè)正交的主方向xzy當(dāng)前第37頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)的應(yīng)力坐標(biāo)表示。一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力K當(dāng)前第38頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)求，，，解：在，平面內(nèi)例題4§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題為一個(gè)主應(yīng)力當(dāng)前第39頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§11.6應(yīng)變分析1.某點(diǎn)處（單元體的）變形的描述——應(yīng)變

xyz正應(yīng)變——線段單位長度的改變量，無量綱切應(yīng)變——直角的改變量，單位：弧度

某點(diǎn)處的應(yīng)變——二階對稱應(yīng)變張量當(dāng)前第40頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)在，坐標(biāo)下2.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的）單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的絕對變形量xyxyxy當(dāng)前第41頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角令，，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有某點(diǎn)各個(gè)方位應(yīng)變的情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)當(dāng)前第42頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式（10.1）(10.2)當(dāng)前第43頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)類似，也可求出該點(diǎn)的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向當(dāng)前第44頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)應(yīng)變花：可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向是重合的?？捎糜趯?shí)驗(yàn)測定一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)120°120°45°45°當(dāng)前第45頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)胡克定律比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比§11.7應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1.單向應(yīng)力狀態(tài)橫向應(yīng)變縱向應(yīng)變1當(dāng)前第46頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)在線彈性范圍內(nèi)剪切胡克定律——切變模量

可證明2.純剪應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)前第47頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)只有作用時(shí)3.廣義胡克定律只有作用時(shí)只有作用時(shí)只有作用時(shí)當(dāng)前第48頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)故某點(diǎn)為任意應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：當(dāng)前第49頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)對主單元體當(dāng)前第50頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變：求該點(diǎn)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。例題5§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題當(dāng)前第51頁\共有57頁\編于星期二\7點(diǎn)解：則例題5§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系