第八講競賽培訓(xùn)講稿統(tǒng)計檢驗隨機(jī)模型演示文稿

第八講競賽培訓(xùn)講稿統(tǒng)計檢驗隨機(jī)模型演示文稿1當(dāng)前第1頁\共有73頁\編于星期六\17點2優(yōu)選第八講競賽培訓(xùn)講稿統(tǒng)計檢驗隨機(jī)模型當(dāng)前第2頁\共有73頁\編于星期六\17點確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型當(dāng)前第3頁\共有73頁\編于星期六\17點§1簡單的隨機(jī)性模型一、取球問題

問題：盒中放有12個乒乓球，其中有9個是新的，第一次比賽時從盒中任取3個，用后仍放回盒中，第二次比賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的球都是新球的概率。

分析：第二次取球是在第一次比賽之后，所以當(dāng)?shù)诙稳∏驎r盒中就不一定有9個新球了，因為第一次用的3個球可能有0、1、2、3個新球，所以第二次全取新球直接受這四種可能性的影響，可用全概率公式求解。當(dāng)前第4頁\共有73頁\編于星期六\17點設(shè)A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；

（i＝0,1,2,3）表示“第一次比賽時用了i個新球”的事件

則由題意得：

|

于是由全概率公式|

當(dāng)前第5頁\共有73頁\編于星期六\17點二、電能供應(yīng)問題

問題：某車間有耗電為5KW的機(jī)床10臺，每臺機(jī)床使用時是各自獨立地且間隙地工作，平均每臺每小時工作12min。該車間配電設(shè)備的容量為32KW，求該車間配電設(shè)備超載的概率。

每臺耗電量為5KW，而配電設(shè)備容量為32KW，顯然，有七臺或七臺以上的機(jī)床同時工作時，設(shè)備會發(fā)生超載現(xiàn)象。下面求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率。

觀察10臺完全相同的機(jī)床在同一時刻的工作情況與觀察一臺機(jī)床在10個時刻的工作情況是一樣的。我們關(guān)心的問題是機(jī)床是否正在工作。

當(dāng)前第6頁\共有73頁\編于星期六\17點

對于任一時刻，機(jī)床要么工作，要么不工作，只有兩個結(jié)果，而10臺機(jī)床的工作是相互獨立的，每臺機(jī)床正在工作的概率相同且，這是

貝努利概型；

所以由二項分布知，“在同一時刻不少于七臺機(jī)床同時工作”的概率

可見，該車間設(shè)備超載的可能性—概率是非常小的。

當(dāng)前第7頁\共有73頁\編于星期六\17點三、客車停站問題

問題：一輛送客汽車載有20位乘客從起點站開出，沿途有10個車站可以下車，若到達(dá)一個車站沒有乘客下車就不停車，設(shè)每位乘客在每一個車站下車是等可能的，試求汽車平均停車次數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量X表示停車次數(shù)則由題意可知：

因為每位乘客在每一車站下車是等可能的，所以每一位乘客在第i站不下車的概率為，

當(dāng)前第8頁\共有73頁\編于星期六\17點于是20位乘客在第i站都不下車的概率為，

在第i站有人下車的概率為；

所以從而得汽車平均停車次數(shù)：

當(dāng)前第9頁\共有73頁\編于星期六\17點

四、蒲豐(Buffon)投針問題

問題：平面上畫有等距離為的一些平行線，向此平面任投一長為的針，試求此針與任一平行線相交的概率。

有兩種可能：針與這些平行線中的某一根相交，或都不相交。

沒有理由認(rèn)為這兩種可能性是一樣大的，故用古典概型無法求解。用幾何概率去解決。以M表示針落下后的中點，表示中點M到最近一條平行線的距離，

表示針與平行線的交角，如圖當(dāng)前第10頁\共有73頁\編于星期六\17點那么基本事件區(qū)域它為平面上的一個矩形，其面積為：

為使針與平行線（這線必定是與M最近的一條平行線）相交，其充要條件是當(dāng)前第11頁\共有73頁\編于星期六\17點顯然A是中的一個區(qū)域，如圖

而A的面積為,當(dāng)前第12頁\共有73頁\編于星期六\17點從而所求概率為當(dāng)前第13頁\共有73頁\編于星期六\17點§2報童的賣報問題

問題：報童每天清晨從郵局購進(jìn)報紙零售，晚上賣不出去的退回，設(shè)報紙每份的購進(jìn)價為b，零售價為a，退回價為c，當(dāng)然應(yīng)有a>b>c。請你給報童籌劃一下，他應(yīng)如何確定每天購進(jìn)報紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。

當(dāng)前第14頁\共有73頁\編于星期六\17點

分析：報童購進(jìn)數(shù)量應(yīng)根據(jù)需求量確定，但需求量是隨機(jī)的，所以報童每天如果購進(jìn)的報紙?zhí)?，不夠買的，會少賺錢；如果購進(jìn)太多，賣不完就要賠錢，這樣由于每天報紙的需求量是隨機(jī)的，致使報童每天的收入也是隨機(jī)的，因此衡量報童的收入，不能是報童每天的收入，而應(yīng)該是他長期（幾個月、一年）賣報的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點看，這相當(dāng)于報童每天收入的期望值，以下簡稱平均收入。

假設(shè)報童已經(jīng)通過自己的經(jīng)驗或其它渠道掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律，即在他的銷售范圍內(nèi)每天報紙的需求量為r份的概率是f(r)，（r＝0,1,2,…）。當(dāng)前第15頁\共有73頁\編于星期六\17點

設(shè)報童每天購進(jìn)n份報紙，因為需求量r是隨機(jī)的，r可以小于n、等于n或大于n；由于報童每賣出一份報紙賺a－b，退回一份報紙賠b－c，所以當(dāng)這天的需求量r≤n，則他售出r份，退回n－r份，即賺了(a－b)r，賠了(b－c)(n－r)；而當(dāng)r〉n時，則n份全部售出，即賺了(a－b)n。

記報童每天購進(jìn)n份報紙時平均收入為G(n)，考慮到需求量為r的概率是f(r)，所以當(dāng)前第16頁\共有73頁\編于星期六\17點問題歸結(jié)為在f(r)、a、b、c已知時，求n使G(n)最大。

通常需求量r的取值和購進(jìn)量n都相當(dāng)大，將r視為連續(xù)變量，這時f(r)轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)P(r)，這樣(2-1)式變?yōu)椋?/p>

計算

當(dāng)前第17頁\共有73頁\編于星期六\17點使報童日平均收入達(dá)到最大的購進(jìn)量n應(yīng)滿足(2-3)所以(2-3)式可變?yōu)?/p>

當(dāng)前第18頁\共有73頁\編于星期六\17點即有

根據(jù)需求量的概率密度P(r)的圖形（如圖）很容易從(2-4)式確定購進(jìn)量n。

在圖中，用分別表示曲線P(r)下的兩塊面積，則(2-3)式又可記作：

因為當(dāng)購進(jìn)n份報紙時：是需求量r不超過n的概率，即賣不完的概率；

當(dāng)前第19頁\共有73頁\編于星期六\17點是需求量r超過n的概率，即賣完的概率；

所以(2-3)式表明：

購進(jìn)的份數(shù)n應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢a－b與退回一份賠的錢b－c之比。

顯然，當(dāng)報童與郵局簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。

例如：若每份報紙的購進(jìn)價為0.15元，售出價為0.2元，退回價為0.12元，需求量服從均值500份均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報紙才能平均收入最高，這個最高收入是多少？當(dāng)前第20頁\共有73頁\編于星期六\17點解：按(2-4)式，

因為a－b＝0.05b－c＝0.03,

r～N(

其中μ＝500,σ＝50查表可得n＝μ＋0.32σ＝516即每天購進(jìn)516份報紙。

按照(2-2)式，可得最高收入G≈23.484元當(dāng)前第21頁\共有73頁\編于星期六\17點

問題：

·人群中有病人（帶菌者）和健康人（易感染者）.·任何兩人之間的接觸是隨機(jī)的.·當(dāng)健康人與病人接觸時健康人是否被感染也是隨機(jī)的.·通過實際數(shù)據(jù)或經(jīng)驗掌握了這些隨機(jī)規(guī)律.

怎樣估計平均每天有多少健康人被感染，這種估計的準(zhǔn)確性有多大？

§3傳染病的隨機(jī)感染—

一個完整的建模介紹當(dāng)前第22頁\共有73頁\編于星期六\17點

模型假設(shè)注：符號說明當(dāng)前第23頁\共有73頁\編于星期六\17點

排列與組合，概率計算

隨機(jī)變量與分布函數(shù)，離散型隨機(jī)變量的分布律二項分布預(yù)備知識建模時可能用到的一些物理定律、數(shù)學(xué)公式或方法等建模目的是尋找健康人中每天平均被感染的人數(shù)與已知參數(shù)的關(guān)系.

模型分析當(dāng)前第24頁\共有73頁\編于星期六\17點

模型建立利用二項分布的性質(zhì)并注意到人群總數(shù)為n,有記假設(shè)2中任何二人接觸的概率為—一健康人與一名指定病人接觸的概率。

一健康人每天接觸的人數(shù)服從二項分布.

（2）

再記一健康人與一名指定病人接觸并感染的概率為（3）當(dāng)前第25頁\共有73頁\編于星期六\17點

模型建立…(4)一健康人（每天）被感染的概率

當(dāng)前第26頁\共有73頁\編于星期六\17點

模型建立與求解為了得到簡明的便于解釋的結(jié)果，需對（4）式進(jìn)行簡化?！?）最后得到…（8）…（9）方法、推導(dǎo)當(dāng)前第27頁\共有73頁\編于星期六\17點

模型求解—數(shù)據(jù)處理當(dāng)前第28頁\共有73頁\編于星期六\17點

模型解釋—結(jié)果分析當(dāng)前第29頁\共有73頁\編于星期六\17點

模型評注（模型推廣、或模型優(yōu)缺點）當(dāng)前第30頁\共有73頁\編于星期六\17點

模型評注注:參賽論文除摘要外，還要附上參考文獻(xiàn)、程序、數(shù)據(jù)處理情況等當(dāng)前第31頁\共有73頁\編于星期六\17點§4為什么航空公司要超訂機(jī)票1．問題介紹

你備好行裝準(zhǔn)備去旅行，訪問NewYork城的一位摯友。在檢票處登記之后，航空公司職員告訴說，你的航班已經(jīng)超員訂票。乘客們應(yīng)當(dāng)馬上登記以便確定他們是否還有一個座位。航空公司一向清楚，預(yù)訂一個特定航班的乘客們只有一定的百分比將實際乘坐那個航班。因而，大多數(shù)航空公司超員訂票?也就是，他們辦理超過飛機(jī)定員的訂票手續(xù)。而有時，需要乘坐一個航班的乘客是飛機(jī)容納不下的，導(dǎo)致一位或多位乘客被擠出而不能乘坐他們預(yù)訂的航班。航空公司安排延誤乘客的方式各有不同。有些得不到任何補(bǔ)償，有些改訂到其他航線的稍后航班，而有些給予某種現(xiàn)金或者機(jī)票折扣。AirlineOverbooking

當(dāng)前第32頁\共有73頁\編于星期六\17點1．問題介紹

根據(jù)當(dāng)前情況，考慮超員訂票問題：·航空公司安排較少的從A地到B地航班·機(jī)場及其外圍加強(qiáng)安全性·乘客的恐懼·航空公司的收入迄今損失達(dá)數(shù)千萬美元建立數(shù)學(xué)模型，用來檢驗各種超員訂票方案對于航空公司收入的影響，以求找到一個最優(yōu)訂票策略，就是說，航空公司對一個特定的航班訂票應(yīng)當(dāng)超員的人數(shù)，使得公司的收入達(dá)到最高。確保你的模型反映上述問題，而且考慮處理“延誤”乘客的其他辦法。此外，書寫一份簡短的備忘錄給航空公司的CEO（首席執(zhí)行官），概述你的發(fā)現(xiàn)和分析。AirlineOverbooking

當(dāng)前第33頁\共有73頁\編于星期六\17點1．問題介紹2．記號——某次班機(jī)的飛行費用,

——飛行中飛機(jī)所載旅客數(shù),——每一旅客所償付旅行費,

——飛行飛機(jī)的容量,

——對于一次飛行來說“未到”旅客的人數(shù),

——k人未到的概率,

——某次班機(jī)訂票的人數(shù),S——飛行所產(chǎn)生的結(jié)余（利潤）

當(dāng)前第34頁\共有73頁\編于星期六\17點

——留下（例如擠掉）一名已訂票旅客的耗費,

——訂票旅客到達(dá)的概率,——一次班機(jī)售出的低費票數(shù)目,——低費票相對于全費票的低費率。

2．記號當(dāng)前第35頁\共有73頁\編于星期六\17點3．模型建立

一、首次嘗試

若一次飛行載有個旅客，則產(chǎn)生的結(jié)余應(yīng)為￡，這里￡g是每一個旅客所付的費用，十分明顯，這個簡單的模型有我們所期望它的那種特性，當(dāng)所載旅客數(shù)增加時，利潤相應(yīng)增加，

能夠取得的最大利潤是￡（），其中是飛機(jī)的旅客容量。

這里有一個奇點，在奇點處，正好由所載旅客所支付抵消了飛行費用，此時，比此更少的載客飛機(jī)將賠錢。所有這些都是所期望的。

當(dāng)前第36頁\共有73頁\編于星期六\17點

觀察這個簡單模型有：為了取得盡量多的利潤，航空公司把目光盯在填滿每次飛行上。一旦接受訂票為，飛機(jī)視為滿載，不能再接受更多的訂票。

但問題又出來了：某些旅客也許會在飛機(jī)起飛時未到達(dá)現(xiàn)場，對于客機(jī)來講，標(biāo)準(zhǔn)條件下，對于全費旅客的這種行為可以不受懲罰，他們可以遲到，并且其機(jī)票對另一次飛行來說仍有效，而對于某些其它客艙的旅客來講，卻沒有這種優(yōu)惠，下面我們將這點考慮在內(nèi)。不能到達(dá)的每一個旅客在某種程度上都有潛在的經(jīng)濟(jì)損失。這種旅客在生意上被稱為“未到”。當(dāng)前第37頁\共有73頁\編于星期六\17點

二、一個較好模型

讓我們以下列方式來改進(jìn)上述提出的簡單模型假定人“未到”的概率為，而表示某次航班訂票的旅客數(shù)，且允許超過，當(dāng)有人有未到時，航空公司將從飛行中得到的利潤為：

當(dāng)前第38頁\共有73頁\編于星期六\17點[載有m-k個旅客時的結(jié)余]

對于此次飛行來講，未到的旅客人數(shù)為一種偶然事件，因此，所獲得利潤的適當(dāng)表達(dá)方式為期望利潤，我們用表示之，則有：當(dāng)前第39頁\共有73頁\編于星期六\17點

若m≤N，則第一個和式不出現(xiàn)，而由下降為零的第二個和式給定，顯然，訂票上機(jī)的旅客數(shù)也許由于需求缺乏而很小。在這種情況下，航空公司不需要確定多少旅客訂票或超訂多少，而我們所要考慮的問題是超過供應(yīng)情況下航空公司的表現(xiàn)行為?，F(xiàn)假定為這種情況，且無論航空公司設(shè)置多高的訂票水平m，都可以完成預(yù)訂。這相當(dāng)于白天航線的情形。

當(dāng)前第40頁\共有73頁\編于星期六\17點現(xiàn)在我們能將（2）改寫為：當(dāng)前第41頁\共有73頁\編于星期六\17點

因此，我們可以看到，因為帶有和式的那部分全為正，要取得接近于期望利潤的最大值，唯一方法是減少一切0<j≤N時的而使之盡可能接近于零。

如果訂票水平m超過N，將可實現(xiàn)這一情況。實際上，當(dāng)訂票旅客數(shù)增加時，“未到”任何大數(shù)的概率減小。當(dāng)前第42頁\共有73頁\編于星期六\17點

這個模型告訴我們，要訂票旅客數(shù)不肯定出現(xiàn)而事實上出現(xiàn)的情況下，航空公司實際上將會超訂，以便取得接近于滿載飛機(jī)時的理論極大期望利潤值。在這個模型中未考慮因飛機(jī)客容量而多次超訂帶來的后果，實際上，這種策略會導(dǎo)致大量的旅客被所有的飛機(jī)拋下，且隨著訂票水平的增加而加劇。因此，我們得到，為什么航空公司為盡可能多獲得利潤，而故意超訂，但超定并不現(xiàn)實，模型需要進(jìn)一步的提煉。當(dāng)前第43頁\共有73頁\編于星期六\17點三、一個更進(jìn)一步的提煉

在航空公司超訂飛行的情況下，會在機(jī)場有越來越多的旅客因飛機(jī)容量而不能飛走，這些超員則須移往別處，或者在后續(xù)飛機(jī)上提供座位，此時，航空公司也許會靠付某種費用給旅客以消民憤；或者，旅客決定坐另一家航空公司的飛機(jī)，此時需退票，航空公司要付管理費而造成經(jīng)濟(jì)損失，還有，隨著名聲的敗壞使航空公司的公開形象遭受損失。

我們假定，對于訂票到達(dá)而不能上機(jī)的旅客（在商業(yè)上稱之為“被擠掉者”），不管是以什么形式，航空公司要支付賠償費￡b。這樣就需要建立對于超訂帶有一定懲罰性的更復(fù)雜模型，以便取得較高平均收入總額。當(dāng)前第44頁\共有73頁\編于星期六\17點

若到達(dá)機(jī)場要檢票上機(jī)的旅客數(shù)為，由這次飛行獲取利潤為：

那么，航空公司由一次飛行獲取的平均或期望利潤為一個和式，它是所有可能未到人數(shù)對應(yīng)情況下的利潤乘以相應(yīng)概率的和。

當(dāng)前第45頁\共有73頁\編于星期六\17點當(dāng)前第46頁\共有73頁\編于星期六\17點

是“未到”的數(shù)學(xué)期望值，用來表示之，則當(dāng)前第47頁\共有73頁\編于星期六\17點

現(xiàn)在，我們得到了一個相對復(fù)雜些的直接結(jié)果，要驗證其正確性，檢查結(jié)果的有效性，并尋找計算錯誤，常以一兩種特殊情況來檢驗其是否象期望的那樣，與此同時，也檢查這階段的計算錯誤，找出工作的不足。此時，（4）退化為：

例如我們在（4）中令P0=1，（對于一切實k>0，pk=0）來檢查一下結(jié)果，這相當(dāng)于旅客不能到達(dá)的偶然性為零，即所有訂票上機(jī)的旅客都到達(dá)了。

當(dāng)前第48頁\共有73頁\編于星期六\17點

這表明，若飛機(jī)客容量為N，m個旅客訂了機(jī)票，且他們?nèi)?，利潤將是從滿員飛行利潤中去掉被擠掉留下的那部分旅客的耗費。在這種情況下，當(dāng)m=N時，可得到最大平均利潤，這與第一個簡單模型一致。

為從已提煉了的模型獲取更多的東西，對這些概率做出似乎合理的假定是有效力的，也許，最簡單的假定莫過于取任一旅客出現(xiàn)的概率為，而“未到”的概率為。

進(jìn)一步假定旅客到達(dá)是相互獨立的，這將會有二項分布的：當(dāng)前第49頁\共有73頁\編于星期六\17點

當(dāng)然，這種“未到”為相互獨立的假定并不完全有效。事實上，部分旅客會成雙或成群到達(dá)（或未到）。然而，讓我們暫不考慮這種附帶的困難，這樣會有=qm，而（4）變成：

現(xiàn)在所要做的是如何使平均飛行利潤最大。（6）式中，平均利潤的表達(dá)式依賴于,和N，支付與賠償費不受航空公司短期控制的影響（這些費用是由IATA來規(guī)定的），和N為外部限制，而只有訂票水平為航空公司的可控參數(shù)。要求出（6）式中部分和，最好由數(shù)值方法求解。

當(dāng)前第50頁\共有73頁\編于星期六\17點

不過很明顯，最優(yōu)訂票水平至少為飛機(jī)客容量N。因為由(3a)式可知，時，期望利潤退化為：

它是m的一個增函數(shù)。

當(dāng)前第51頁\共有73頁\編于星期六\17點

（6）式中部分和是的函數(shù)，可寫一個計算機(jī)程序來計算q，N，m給定值下的部分和，由于期望利潤是q，m，g，f，b和N的函數(shù)，航空公司要求以近似于60%的一個奇異載重因子來計算，也就是假定0.6Ng=f，則

對于客容量為300的一個飛機(jī)，假定=0.05，0.1，而，可編程并用計算機(jī)計算期望利潤，

且我們還可以計算j個或更多個旅客被擠掉的概率：

當(dāng)前第52頁\共有73頁\編于星期六\17點

四、再進(jìn)一步的提煉

假定j個旅客以票價rg訂了低價機(jī)票，那么，由j個低費旅客和m-k-j個全費旅客產(chǎn)生的利潤為：

而k人未到的概率現(xiàn)在為個全費旅客中未到k人的概率，例如飛行期望利潤為：

當(dāng)前第53頁\共有73頁\編于星期六\17點

這個式子能編程計算而用來解決和N變化的影響，

如果我們對飛行耗費f比全比率費用g的關(guān)系做出一個近乎實際的假設(shè)，這里的計算困難也可能減小，

當(dāng)前第54頁\共有73頁\編于星期六\17點

假定奇點載重時以適當(dāng)比例混合的全費與低費旅客占了座位60%，從而，當(dāng)?shù)唾M旅客比例增時，因償付全費的旅客比例減少了，全費用基數(shù)應(yīng)相應(yīng)增加，相應(yīng)奇異條件就是：

因此，由（10）與此方程結(jié)合有等價于（7）的式子：

當(dāng)前第55頁\共有73頁\編于星期六\17點同樣編程即可用來計算這種情況下的。

現(xiàn)在，模型已被提煉成為這里的一個有充分多變量及參量的式了，并且表達(dá)方式實用而清楚。

本文建立了模型卻沒有給出任何確定的結(jié)論，這只因為對許多外部參量沒有做進(jìn)一步的研究而不能定出其確定值。然而，本文著重說明了成功提煉而建立模型的過程，以及用模型來獲取定量結(jié)果（如：趨勢的與直覺的）并組織觀察多變量函數(shù)參量變化的方法。

當(dāng)前第56頁\共有73頁\編于星期六\17點4．進(jìn)一步建模工作的建議

本文所考慮的正是大量相似問題之一。同樣，一個資料擁有者可以公開出借、雇傭或出售，但其必須考察可以實現(xiàn)或不可實現(xiàn)的顧客預(yù)訂問題。下面列出幾個類似問題，要建模還應(yīng)為這些問題提供豐富的背景材料。

1、旅館旅館接受將來訂單大大依賴于信譽(yù)，他們必須給不能踐諾的顧客以很小的懲處。有些旅館要求付訂金以保證較高的旅客到達(dá)率（這往往在價格低而住客人較小的旅館用）；另一些旅館也許提供較小的長期訂票或預(yù)付訂票；一些所謂討價還價的間歇處提供較低級住處，根本沒有預(yù)付一說。我們在此要考慮這種多等級系統(tǒng)的運(yùn)行情況。當(dāng)前第57頁\共有73頁\編于星期六\17點

2．出租汽車公司出租汽車公司有定量的汽車（至少短期內(nèi)是這樣的）以提供給客戶，它可以通過降低租金以優(yōu)惠頻繁用車的顧客（主要是團(tuán)體）；對于較長時間租賃（成周或成月的）也給以降低租金，因為這種生意給出了至少至將來幾天都已確定的租賃。盡管某公司可能提供不了太多的汽車給客戶，但其往往還是要多預(yù)訂一些。

3．圖書館圖書館可能購買許多本大眾化書籍。特別地，對于學(xué)院或大學(xué)里教科書的那種情況。為了讓學(xué)生利用率高些，圖書館就要限制冊數(shù)，這就需要建立書的利用率模型。房屋租賃當(dāng)前第58頁\共有73頁\編于星期六\17點§6

機(jī)票預(yù)定問題的多階段決策模型（略）1．問題介紹

對于航空客運(yùn)來說，旅客所購機(jī)票具有一定的有效期，因此當(dāng)旅客未趕上本次航班時，他可以再乘坐下一次航班，但對于航空公司來說，本次航班不管旅客來多少，它都必須按時起飛，因此航空公司為了提高滿載率，往往超額預(yù)訂機(jī)票。當(dāng)前第59頁\共有73頁\編于星期六\17點

由此產(chǎn)生了這樣的問題，旅客本已訂上了某次班機(jī)的機(jī)票，但當(dāng)?shù)竭_(dá)機(jī)場而在接待室接受檢查時，卻聽到可怕消息；“對不起先生，您的航班已滿員，我們將不得不讓您乘坐下次班機(jī)了”。這種事情常會引起旅客諸多不便甚至怨憤，那么采取什么樣的訂票方法才能既減少旅客的抱怨，又使得航空公司的經(jīng)濟(jì)效益最高呢？

2．問題的分析

由于機(jī)場售出的預(yù)定票中，有一部分乘客由于個人原因，不能及時登機(jī)。這樣飛機(jī)在起飛時可能并未滿員，造成浪費。采取超額訂票措施后，在提高滿載率的同時，也帶來了一個問題：有一部分乘客可能由于飛機(jī)滿員而無法如期搭乘班機(jī)。

當(dāng)前第60頁\共有73頁\編于星期六\17點

作為航空公司，要對這部分乘客負(fù)責(zé)，一般在返還機(jī)票費用的基礎(chǔ)上，還要支付一定的賠償費用。這樣就造成了航空公司利潤的下降。所以，航空公司的利潤與票價、乘客人數(shù)、“被拋棄”的乘客數(shù)、賠償金額等因素有關(guān)。

因此建立航空公司的利潤與上述各因素的函數(shù)關(guān)系，并尋求一種有效的訂票方案，提高飛機(jī)滿載率，減少“被拋棄”乘客數(shù)量，對提高航空公司的利潤具有現(xiàn)實意義。當(dāng)前第61頁\共有73頁\編于星期六\17點3．符號說明：飛機(jī)上的座位數(shù)：飛行一次的收益：飛機(jī)出行一次的費用：第個時間段

：訂票過程的總時間：退款數(shù)額與票價的比率：一張機(jī)票的價格：航空公司對被擠掉的乘客的賠款（含票價）

：表示航空公司的形象值，規(guī)定在0～100之間，公眾對航空公司的信任程度越高，越大。當(dāng)前第62頁\共有73頁\編于星期六\17點4．多階段決策模型我們考察這樣兩個問題：

1）、如果對預(yù)訂不加控制，在預(yù)訂之前你知道將有多少人訂你航空公司的機(jī)票嗎？

2）、如果乘客要求訂票，你是否應(yīng)該接受訂票？

（1）建模的思想我們知道這樣一個事實：

如果檢票后發(fā)現(xiàn)到機(jī)場的乘客數(shù)目和飛機(jī)上的座位數(shù)目一樣多的話，那么這無疑是最好的。因為它一方面使得航空公司的本次飛行收益達(dá)到最大，另一方面它可以避免被擠掉的乘客對航空公司所帶來的負(fù)面影響

當(dāng)前第63頁\共有73頁\編于星期六\17點

而為了做到這些，我們在每一個時間段根據(jù)已有的訂票數(shù)目來預(yù)測未來的預(yù)期訂票數(shù)目，并決定是否接受乘客的預(yù)訂請求，以達(dá)到在機(jī)場檢票時的人數(shù)與飛機(jī)的容量相當(dāng)。

（2）模型的假設(shè)①乘客在訂票時付款，且訂票延續(xù)

個小時，飛機(jī)起飛前2個小時開始檢票，且同時停止訂票。對這N個小時按時間順序編號：