高中數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

2.3.1數(shù)學(xué)歸納法課標(biāo)分析數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的證明方法，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)容量之大、方法精妙之極、思想維度之廣、文化內(nèi)涵之豐，單一地肯定或者否定它是什么方法，或許有失偏頗.盡管數(shù)學(xué)方法是處理、探索、解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段和工具，數(shù)學(xué)思想又是數(shù)學(xué)中處理問(wèn)題的基本觀點(diǎn)，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法本質(zhì)的概括，但由于數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想互為表里，都建立在一定的知識(shí)基礎(chǔ)上，反過(guò)來(lái)又促進(jìn)知識(shí)的深化提高和向能力轉(zhuǎn)化，我們從數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的結(jié)合點(diǎn)來(lái)探討數(shù)學(xué)歸納法之表象與實(shí)質(zhì)、形式與過(guò)程，將有助于更好地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)歸納法，從而使其發(fā)揮更好的教育教學(xué)功能.數(shù)學(xué)歸納法主要體現(xiàn)了“歸納”、“演繹”、“遞推”、“模型”，其中“歸納”是數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的基礎(chǔ)，“演繹”是數(shù)學(xué)歸納法自身發(fā)展的推力，“遞推”使數(shù)學(xué)歸納法從有限走向無(wú)限，而“模型”則使數(shù)學(xué)歸納法為人們所廣泛應(yīng)用.此前學(xué)生剛學(xué)習(xí)了合情推理，合情推理用的是不完全歸納法，結(jié)論的正確性有待證明。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，深化不等式、數(shù)列等知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有重要作用。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)分為兩課時(shí)，此為第一課時(shí)。

2.3.1數(shù)學(xué)歸納法教材分析一、內(nèi)容分析本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2（人教B版）》第二章第三節(jié)《2.3數(shù)學(xué)歸納法》。在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)用不完全歸納法得出了許多結(jié)論，例如某些數(shù)列的通項(xiàng)公式，但它們的正確性還有待證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是在合情推理的基礎(chǔ)上，對(duì)歸納出來(lái)的與正整數(shù)有關(guān)的命題進(jìn)行科學(xué)的證明，它將一個(gè)無(wú)窮的歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為有限步驟的演繹過(guò)程。通過(guò)把猜想和證明結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)的思維。本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的第一課時(shí)，主要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能夠用數(shù)學(xué)歸納法解決一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。二、目標(biāo)分析陳述性知識(shí)：通過(guò)歸納、類比，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì).程序性知識(shí)：在教師指導(dǎo)下，初步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的基本步驟.（1）知識(shí)與技能：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和實(shí)質(zhì)，并能初步運(yùn)用.

（2）過(guò)程與方法：經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，提高創(chuàng)新能力.（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在愉悅的學(xué)習(xí)氛圍中，通過(guò)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美.教學(xué)重點(diǎn)：了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的基本步驟

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解第二步遞推思想的實(shí)質(zhì)根據(jù)以上目標(biāo)的確定，教學(xué)上力求體現(xiàn)三種能力：探究能力、交流能力、實(shí)踐能力。在學(xué)生已有知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察思考、小組討論、交流合作的辦法來(lái)實(shí)現(xiàn)重難點(diǎn)突破，進(jìn)而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。2.3.1數(shù)學(xué)歸納法學(xué)情分析此前學(xué)生剛學(xué)習(xí)了合情推理，合情推理用的是不完全歸納法，結(jié)論的正確性有待證明。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，深化不等式、數(shù)列等知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有重要作用。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課新知的過(guò)程中可能存在兩方面的困難：一是從“骨牌游戲原理”啟發(fā)得到“數(shù)學(xué)方法”的過(guò)程,真正理解數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的本質(zhì)有困難；二是解題中如何正確使用數(shù)學(xué)歸納法，尤其是第二步中如何使用遞推關(guān)系，可能出現(xiàn)問(wèn)題。2.3.1數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境1．情境1：請(qǐng)同學(xué)們求解下列各式，對(duì)規(guī)律作出歸納.13=13＋23=13＋23＋33=13＋23＋33＋43=……________________________________________可以得出的一般結(jié)論是13＋23＋33＋…＋n3=？思考:這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？怎么驗(yàn)證？設(shè)計(jì)意圖：首先設(shè)計(jì)情境一,分析情境，自然引出課題----歸納法，談笑間進(jìn)入正題.再通過(guò)情境二的交流激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．通過(guò)梳理我們熟悉的一些問(wèn)題，很自然為本節(jié)課主題與重點(diǎn)引出打下伏筆.2.情境2:多米諾骨牌視頻問(wèn)題1：在游戲中，要使所有多米諾骨牌全部倒下，需要手動(dòng)推倒幾塊骨牌？問(wèn)題2：要使余下的多米諾骨牌全部倒下，骨牌在擺放時(shí)還需要滿足什么條件？設(shè)計(jì)意圖：從生活走向數(shù)學(xué)，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，類比思考提出的問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生積極投入到探尋論證方法過(guò)程的氛圍中.布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程．這里通過(guò)類比多米諾骨牌過(guò)程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí).讓學(xué)生在類比多米諾骨牌游戲的基礎(chǔ)上說(shuō)出數(shù)學(xué)歸納法原理，教師給予肯定和補(bǔ)充即可。（二）方法形成問(wèn)題3：能不能利用多米諾骨牌游戲的原理，類比得到證明問(wèn)題的方法？多米諾骨牌游戲原理類比得到證明命題的方法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值_________時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)____________時(shí)命題成立，證明______________時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)都成立，上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.設(shè)計(jì)意圖：至此，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理,揭示遞推過(guò)程.教師強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法特點(diǎn).數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無(wú)窮的歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過(guò)程，是處理自然數(shù)有關(guān)問(wèn)題的有力工具，一種具普遍性的方法.（三）證明猜想13＋23＋33＋…＋n3=n2（n＋1）2設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)證明猜想使學(xué)生探究嘗試，一方面體驗(yàn)“觀察—?dú)w納—猜想—證明”完整過(guò)程，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能使他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)和能力．（四）深化理解1.分析下述證明的過(guò)程中的錯(cuò)誤.證明：假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么即當(dāng)時(shí)等式也成立．因此對(duì)于任何等式都成立．2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，分析下述證明是否正確？證明:(1)當(dāng)n=1時(shí)，左端==右端，等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，原等式成立，即：于是當(dāng)n=k+1時(shí)，有，故n=k+1時(shí)，原等式成立根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理知等式對(duì)一切均成立.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)易錯(cuò)辨析，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”.（五）總結(jié)歸納數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，這兩個(gè)步驟缺一不可．少了第一步，假設(shè)就不能變成真實(shí)的存在，缺了第二步，就不能把無(wú)限論證變成有限論證.(1)在第一步中，n的初始值不一定從1取起，證明時(shí)應(yīng)視具體情況而定．(2)證明n=k+1時(shí)命題成立時(shí)，必須用上n=k時(shí)的假設(shè)，否則第二步也就不能成為傳遞的依據(jù).（六）典型例題例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列中，為首項(xiàng)，為公差，則通項(xiàng)公式為．例2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，．設(shè)計(jì)意圖：例題1，2的證明難度不大，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，通過(guò)這兩個(gè)例題能看到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況．這樣既可以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，保證不盲目拔高，同時(shí)不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn).（七）課堂小結(jié)（八）當(dāng)堂檢測(cè)1．若命題在時(shí)命題成立，則有時(shí)命題成立．現(xiàn)知命題對(duì)時(shí)命題成立，則有()A．命題對(duì)所有正整數(shù)都成立B．命題對(duì)小于的正整數(shù)不成立，對(duì)大于或等于的正整數(shù)都成立C．命題對(duì)小于的正整數(shù)成立與否不能確定，對(duì)大于或等于的正整數(shù)都成立D．以上說(shuō)法都不正確2.用數(shù)學(xué)歸納法證明,則從到時(shí),左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為()A．B．C．D．設(shè)計(jì)意圖:檢測(cè)學(xué)習(xí)效果，同時(shí)2的變式思考題則起著承上啟下的作用,它既是“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的完整思維探究過(guò)程的再體驗(yàn)，也是對(duì)下節(jié)課內(nèi)容的鋪墊與伏筆．2.3.1數(shù)學(xué)歸納法評(píng)測(cè)練習(xí)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋x＋x2＋…＋xn＋1=”成立時(shí)，驗(yàn)證n=1的過(guò)程中左邊的式子是 (A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋…＋x22某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n=k時(shí)成立那么可推得n=k+1時(shí)該命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)，該命題不成立，那么可推得(A)當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立(B)當(dāng)n=6時(shí)該命題成立(C)當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立(D)當(dāng)n=4時(shí)該命題成立3.數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜n（n＞1）的過(guò)程中，第二步證明從n=k到n=k＋1成立時(shí)，左邊增加m個(gè)項(xiàng)，則m等于 (A)2k－1 (B)2k－1 (C)2k (D)2k＋14.數(shù)學(xué)歸納法證明（n＋1）（n＋2）…（n＋n）=2n·1·3…（2n－1）時(shí)，證明從n=k到n=k＋1的過(guò)程中，相當(dāng)于在假設(shè)成立的那個(gè)式子兩邊同乘以 (A)2k＋2(B)（2k＋1）（2k＋2）(C) (D)5.已知,證明不等式時(shí),比多的項(xiàng)數(shù)為A.BC.D.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－,則從k到k＋1時(shí),左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為(A)(B)(C)－(D)－7.則Sk+1=(A)Sk+(B)Sk+(C)Sk+(D)Sk+2.3.1數(shù)學(xué)歸納法效果分析根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定來(lái)看，本節(jié)課順利的使學(xué)生了解了數(shù)學(xué)歸納法。多米諾骨牌游戲的展示使學(xué)生很自然的總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，典例的細(xì)致講解和分析也達(dá)到了預(yù)期效果。老師設(shè)計(jì)的問(wèn)題也有不少同學(xué)順利的解決，能夠幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的本質(zhì)。通過(guò)當(dāng)堂檢測(cè)反映出學(xué)生能很好的掌握本節(jié)課的內(nèi)容，但對(duì)一些較活的問(wèn)題還存在一定難度。2.3.1數(shù)學(xué)歸納法觀課記錄滕老師：李老師輕松愉快的創(chuàng)設(shè)情境非常的好，用多米諾骨牌引入，讓學(xué)生輕松的步入課堂，例題處理形式多樣，有學(xué)生板演、口答、集體回答、有小組討論，難點(diǎn)處理得當(dāng)。尹老師：教師板書設(shè)計(jì)合理、科學(xué)條理性強(qiáng)，字跡工整美觀，教態(tài)莊重，富有感染力，課堂語(yǔ)言精煉準(zhǔn)確、生動(dòng)形象，有啟發(fā)性。語(yǔ)調(diào)高低適宜，快慢適度，富于變化；課上多媒體使用熟練準(zhǔn)確，并達(dá)到良好效果。張老師：李老師遵循教學(xué)規(guī)律，從學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)及心理特點(diǎn)出發(fā)，準(zhǔn)確把握教材，選擇合理的教學(xué)方法，抓住了關(guān)鍵，課堂結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，環(huán)環(huán)相扣，過(guò)渡自然，時(shí)間分配合理，密度適中。徐老師：“數(shù)學(xué)歸納法”是高中教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，用多米諾骨牌引入讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)科學(xué)方法的提煉過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活也服務(wù)于生活；讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)形成過(guò)程，體驗(yàn)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的快樂(lè)。2.3.1數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)反思一、反思教學(xué)設(shè)計(jì)的成功之處第一點(diǎn)：通過(guò)引例說(shuō)明不完全歸納法的不可靠性，得到一個(gè)問(wèn)題情境，繼而引導(dǎo)學(xué)生尋求一種能夠證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的科學(xué)方法，從而使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性和重要性。第二點(diǎn)：在演示多米諾骨牌動(dòng)畫之后，讓學(xué)生總結(jié)出“多米諾骨牌”效應(yīng)產(chǎn)生所具備的兩個(gè)條件，怎樣把“多米諾骨牌”效應(yīng)產(chǎn)生所具備的兩個(gè)條件與數(shù)學(xué)歸納法原理聯(lián)系在一起？我設(shè)計(jì)了通過(guò)類比“多米諾骨牌”效應(yīng)產(chǎn)生的兩個(gè)條件去判斷引例猜想是否正確。1、“第一塊骨牌必須倒下”就這個(gè)數(shù)列問(wèn)題而言，應(yīng)該為“n=1時(shí)，a1=1，猜想成立”。2、“第k塊骨牌倒下，使得第k+1骨牌倒下時(shí)，解決了傳遞性問(wèn)題”就這個(gè)數(shù)列問(wèn)題而言，應(yīng)該為“如果n=k時(shí)，猜想成立，我們能夠證明n＝k+1時(shí)，命題成立，解決了遞推問(wèn)題“。從教學(xué)效果來(lái)看這一設(shè)計(jì)使得學(xué)生很好的理解了數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系。第三點(diǎn)：根據(jù)以往教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生即使理解了數(shù)學(xué)歸納法原理及其證明過(guò)程，但在實(shí)際解題時(shí)，證明過(guò)程仍是問(wèn)題百出，因而在完成探究的過(guò)程中兩個(gè)步驟缺一不可，并且在證明n＝k+1時(shí)命題成立，一定要用到歸納假設(shè)，以及