現(xiàn)代控制理論(第二章)

2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解(自由解)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.4*線性時(shí)變系統(tǒng)的解2.5*離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6*連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解當(dāng)前第1頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解(自由解)

所謂系統(tǒng)的自由解，是指系統(tǒng)輸入為零時(shí)，由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，狀態(tài)方程為齊次微分方程：(1)若初始時(shí)刻

時(shí)的狀態(tài)給定為則式(1)有唯一確定解：(2)若初始時(shí)刻從開(kāi)始，即則其解為：(3)

證明：

和標(biāo)量微分方程求解類似，先假設(shè)式(1)的解為的矢量?jī)缂?jí)數(shù)形式當(dāng)前第2頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)(4)代入式(1)得：(5)

既然式(4)是式(1)的解，則式(5)對(duì)任意時(shí)刻都成立，故的同次冪項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，有：當(dāng)前第3頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)在式(4)中，令，可得：將以上結(jié)果代入式(4)，故得：(6)當(dāng)前第4頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

等式右邊括號(hào)內(nèi)的展開(kāi)式是矩陣，它是一個(gè)矩陣指數(shù)函數(shù)，記為，即(7)于是式(6)可表示為：

再用代替即在代替的情況下，同樣可以證明式2)的正確性。當(dāng)前第5頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣齊次微分方程(1)的自由解為：或該式反應(yīng)了狀態(tài)矢量由初始狀態(tài)到任意時(shí)刻的矢量變換關(guān)系，反應(yīng)了狀態(tài)矢量在空間隨時(shí)間轉(zhuǎn)移的規(guī)律，因此稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。當(dāng)前第6頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣注：狀態(tài)矩陣一般不是常數(shù)，而是時(shí)間的函數(shù)

起始矢量可以任意取，系統(tǒng)求解區(qū)間可任意選定—狀態(tài)空間法的優(yōu)點(diǎn)

滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：令：則有：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣當(dāng)前第7頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.性質(zhì)二或(2)3.性質(zhì)三或(3)1．性質(zhì)一這就是組合性質(zhì)，它意味著從轉(zhuǎn)移到0，再?gòu)?轉(zhuǎn)移到的組合?；?1)2.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(矩陣指數(shù)函數(shù))的基本性質(zhì)注：本性質(zhì)可用于判斷矩陣是否符合狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件當(dāng)前第8頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)或(4)這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，矩陣與A矩陣是可以交換的。注：本性質(zhì)還表明，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可反推A！5.性質(zhì)五

對(duì)于方陣A和B，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時(shí)，有而當(dāng)AB≠BA是，則

這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，除非距陣A與B是可交換的，它們各目的矩陣指數(shù)函數(shù)之積與其和的矩陣指數(shù)函數(shù)不等價(jià)。這與標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是不同的。4.性質(zhì)四當(dāng)前第9頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)1．若A為對(duì)角線矩陣，即(5)則(6)2.若A能夠通過(guò)非奇異變換予以對(duì)角線化，即2.2.3幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)當(dāng)前第10頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)則(7)3.若A為約旦矩陣當(dāng)前第11頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)則(8)4.若(9)當(dāng)前第12頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)1.根據(jù)的定義直接計(jì)算2.變換A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型（1）A特征根互異其中T是使A

變換為對(duì)角線矩陣的變換陣。由式（7），有：2.2.4

的計(jì)算編程，用計(jì)算機(jī)算，最終能得到收斂解。但很難得到解析解。例2-1當(dāng)前第13頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)3.利用拉氏反變換法求(10)證明齊次微分方程兩邊取拉氏變換即故當(dāng)前第14頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)4.應(yīng)用凱萊—哈密頓定理求對(duì)上式兩邊取拉氏反變換，從而得到齊次微分方程的解：（1）由凱萊—哈密頓定理，方陣A滿足其自身的特征方程，即所以有它是的線性組合。同理當(dāng)前第15頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)以此類推，都可用線性表示。(2)在定義中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的冪次項(xiàng)，即（11）（3）的計(jì)算公式當(dāng)前第16頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)A的特征值互異時(shí)，則

證明根據(jù)A滿足其自身特征方程的定理，可知特征值和A

是可以互換的，因此，也必須滿足式（11），從而有：（12）當(dāng)前第17頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)上式對(duì)求解，即得式（12）。A的特征值均相同，為時(shí)，則證明同上，有：(13)當(dāng)前第18頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)上式對(duì)，求異數(shù)，有：再對(duì)求異數(shù)，有：重復(fù)以上步驟，最后有：由上面的n個(gè)方程，對(duì)求解，記得公式（13）。當(dāng)前第19頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2）用標(biāo)準(zhǔn)型法求解特征值互異，轉(zhuǎn)化成對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，且A為友矩陣特征值：例2-1，2-2，2-4：求以下矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[解]：1）直接算法（略）當(dāng)前第20頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)3）用拉氏變換法求解

例2-6，利用凱萊-哈密頓定理—-----------------自學(xué)！例2-3與例2-7也請(qǐng)注意自學(xué)！當(dāng)前第21頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解

現(xiàn)在討論線性定常系統(tǒng)在控制作用作用下的強(qiáng)制運(yùn)動(dòng)。此時(shí)狀態(tài)方程為非齊次矩陣微分方程：當(dāng)初始時(shí)刻

初始狀態(tài)時(shí)，其解為：式中，。（1）（2）當(dāng)初始時(shí)刻為，初始狀態(tài)為時(shí)，其解為：當(dāng)前第22頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)式中，。（3）證明采用類似標(biāo)量微分方程求解的方法，將式（1）寫(xiě)成：等式兩邊同左乘，得：即（4）當(dāng)前第23頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)對(duì)式（4）在上間積分，有：整理后可得式（2）：同理，若對(duì)式（4）在上積分，即可證明式（3）。式（2）也可從拉氏變換法求得，對(duì)式（1）進(jìn)行拉氏變換，有：即當(dāng)前第24頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右邊第二項(xiàng)，其中：兩個(gè)拉氏變換函數(shù)的積是一個(gè)卷積的拉氏變換，即以此代入式（5），并取拉氏反變換，即得：當(dāng)前第25頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

在特定控制作用下，如脈沖函數(shù)、階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)的激勵(lì)下，則系統(tǒng)的解式（2）可以簡(jiǎn)化為以下公式：1.脈沖響應(yīng)即當(dāng)時(shí)2.階躍響應(yīng)即當(dāng)時(shí)3.斜坡響應(yīng)即當(dāng)時(shí)（6）（7）（8）例2-8要求掌握！當(dāng)前第26頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例2-8：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程中試求解該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解法一：積分法當(dāng)前第27頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第28頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)例2-8：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程中試求解該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解法二：拉氏變換法當(dāng)前第29頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第30頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.4*線性時(shí)變系統(tǒng)的解2.4.1時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程解的特點(diǎn)為了討論時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解方法，現(xiàn)在先討論一個(gè)標(biāo)量時(shí)變系統(tǒng)：采用分離變量法，將上式寫(xiě)成：對(duì)上式兩邊積分得：（1）當(dāng)前第31頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)因此（2）或者寫(xiě)成：

仿照定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的求解公式，式(2)中的也可以表示為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，不過(guò)這時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不僅是時(shí)間t的函數(shù)，而且也是初始時(shí)刻t。的函數(shù)。故采用符號(hào)來(lái)表示這個(gè)二元函數(shù)：（3）于是式(2)可寫(xiě)成：（4）當(dāng)前第32頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)能否將式(3)這個(gè)關(guān)系式也推廣到矢量方程：

遺憾的是，只有當(dāng)滿足乘法可交換條件，上述關(guān)系才能成立?，F(xiàn)證明如下：使之有（5）

如果是齊次方程的解，那么必須滿足：（6）當(dāng)前第33頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)把展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：上式兩邊對(duì)時(shí)間取導(dǎo)數(shù)：(7)(8)(9)把式(7)兩邊左乘有：比較式(8)和式(9)，可以看出，要使當(dāng)前第34頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)成立，其必要和充分條件是：（10）

即是乘法可交換的。但是，這個(gè)條件是很苛刻的一般是不成立的。從而時(shí)變系統(tǒng)的自由解，通常不能像定常系統(tǒng)那樣寫(xiě)成一個(gè)封閉形式。2.4.2線性時(shí)變齊次矩陣微分方程的解

盡管線性時(shí)變系統(tǒng)的自由解不能像定常系統(tǒng)那樣寫(xiě)成一個(gè)封閉的解析形式，但仍然能表示為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的形式。對(duì)于齊次矩陣微方程：當(dāng)前第35頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)（11）其解為：（12）

式中，類似于前述線性定常系統(tǒng)中的，它也是非奇異方陣，并滿足如下的矩陣微分方程和初始條件：（13）（14）證明將解式(12)代入式(11)，有當(dāng)前第36頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)即又在解式(12)中令，有：即

這就證明了，滿足式(13)、式(14)的,按式(12)所求得的是齊次微分方程(11)的解。2.4.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣基本性質(zhì)當(dāng)前第37頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)與線性定常系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣類似，同樣有：因?yàn)椋呵夜适?15)成立。2），見(jiàn)式（14）。（15）1）3）（16）當(dāng)前第38頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)因?yàn)閺氖?14)和式(15)可得：或

那么無(wú)論右乘，或左乘，式(16)都成立，故是非奇異陣，其逆存在，且等于。4）見(jiàn)式（13）。在這里，一般是不能交換的。2.4.4線性時(shí)變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程式的解當(dāng)前第39頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)線性時(shí)變系統(tǒng)的非齊次狀態(tài)方程為：且的元素在時(shí)間區(qū)間內(nèi)分段連續(xù)，則其解為：（17）（18）

證明線性系統(tǒng)滿足疊加原理，故可將式(17)的解看成由初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移和控制作用激勵(lì)的狀態(tài)的轉(zhuǎn)移兩部分組成。即（19）代入式(17)，有：當(dāng)前第40頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)即可知：在t?！玹區(qū)間積分，有：于是當(dāng)前第41頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

在式(19)中令，并注意到中，可知，這樣由上式即可得到式(18)。2.4.5狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算因?yàn)锳是常數(shù)矩陣，所以上式直接表示為：在定常系統(tǒng)中，齊次狀態(tài)方程的解是：式中，，只與有關(guān)。當(dāng)前第42頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)在時(shí)變系統(tǒng)中，齊次狀態(tài)方程的解，一般的表示為：前已證明，只有當(dāng)是可交換時(shí)，即（20）才有：在一般情況下

對(duì)于不滿足式(20)的時(shí)變系統(tǒng)，的計(jì)算，一般采用級(jí)數(shù)近似法，即當(dāng)前第43頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)（21）

這個(gè)關(guān)系式的證明是十分簡(jiǎn)單的，只需驗(yàn)證它滿足式(13)的矩陣方程和式(14)的起始條件即可?？芍?21)滿足式(13)和式(14)。當(dāng)前第44頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.5*離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.5.1遞推法線性定常離散時(shí)問(wèn)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：這個(gè)一陣差分方程的解為：或（1）當(dāng)前第45頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)即（2）2.5.2Z變換法對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程，也可以來(lái)用Z變換法來(lái)求解。

設(shè)定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程是：對(duì)上式兩端進(jìn)行Z變換，有：或當(dāng)前第46頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)所以：對(duì)上式兩端取Z的反變換，得：(3)對(duì)式2)和式(3)比較，有：（4）（5）

如果要獲得采樣瞬時(shí)之問(wèn)的狀態(tài)和輸出，只需在此采樣周期內(nèi)，即在內(nèi)，利用連續(xù)狀態(tài)方程解的表達(dá)式：當(dāng)前第47頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)

為了突出地表示f的有效期在，可以令(這里0≤△≤1)于是上式變成：（6）

顯然，這個(gè)公式的形式和離散狀態(tài)方程是完全一致的，如果使△的值在0和1之間變動(dòng)，那么便可獲得采樣瞬時(shí)之間全部的狀態(tài)和輸出信息。將式(2)和式(3)比較，有（7）（8）二者形式上雖有不同，但實(shí)際上是完全一樣的。當(dāng)前第48頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.6*連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化2.6.1離散化方法對(duì)于連續(xù)時(shí)間的狀態(tài)空間表達(dá)式：將其離散化之后．則得離散時(shí)間狀態(tài)空問(wèn)表達(dá)式為：C和D則仍與式(1)中的一樣。（1）（2）式中（4）（3）當(dāng)前第49頁(yè)\共有55頁(yè)\編于星期二\12點(diǎn)2.6.2近似離散化

在采樣周期T較小時(shí)，一般當(dāng)其為系統(tǒng)最小時(shí)間常數(shù)的l/10左右時(shí)，離散化的狀態(tài)方程可近似表示為：（5）也就是說(shuō)：（6）（7）證明根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：