浙江省嘉興市茅盾中學2022-2023學年高二數學理期末試題含解析

浙江省嘉興市茅盾中學2022-2023學年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，設為正四面體表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點到四個頂點的距離組成的集合記為，如果集合中有且只有個元素，那么符合條件的點有（

）

A.個

B.個

C.個

D.個參考答案：C略2.已知函數，則其在點處的切線方程（

）A

B

C

D參考答案：A3.函數的部分圖象如右圖所示，設是圖象的最高點,是圖象與軸的交點,記,則的值是（）A、

B、

C、

D、參考答案：C略4.已知數列的通項公式為，那么是這個數列的(

)

A．第3項

B．第4項

C．第5項

D．第6項參考答案：A5.已知，則的最小值是（

）A．2

B． C．4

D．5參考答案：C解析:因為當且僅當，且，即時，取“=”號。6.已知復數z滿足z?（i﹣1）=2i，則z的共軛復數為（） A．1﹣i B． 1+i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i參考答案：B略7.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，A、B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=，設線段AB的中點M在l上的投影為N，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進而根據基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．【解答】解：設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故選：A．【點評】本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求的最大值，著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質、基本不等式求最值和余弦定理的應用等知識，屬于中檔題．8.點A關于點的對稱點C的坐標是A．

B．

C．

D．參考答案：A9.若點P是曲線lnx上任意一點,則點P到直線y=x+3的最小距離為(

)A.1

B.

C.

D.

參考答案：B10.已知，若直線xcosθ+2y+1=0與直線x﹣ysin2θ﹣3=0垂直，則sinθ等于（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系．【分析】利用直線與直線垂直的性質求解．【解答】解：由題意可得﹣?=﹣1，即sinθ=，故選：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知an=，n∈N*，則an=

．參考答案：1【考點】數列的極限．【分析】利用數列的極限求解即可．【解答】解：an=，n∈N*，則an===1．故答案為：1．12.如圖，E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點，且BD1∥平面B1CE，則異面直線BD1與CE所成角的余弦值為______．參考答案：不妨設正方體的棱長為，如圖，當為中點時，平面，則為直線與所成的角，在中，，故答案為.【方法點晴】本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據幾何體的特殊性質建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質求解.

13.已知復數，且，則的最大值為

.參考答案：略14.函數y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最小值是

。參考答案：-15

15.在ΔABC中，若SΔABC=

(a2+b2－c2),那么角∠C=______參考答案：16.某企業(yè)共有職工627人，總裁為了了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，決定抽取10%的職工進行問卷調查，如果采用系統(tǒng)抽樣方法抽取這一樣本，則應分成

段抽?。畢⒖即鸢福?2【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】集合思想；做商法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據系統(tǒng)抽樣的定義進行求解即可．【解答】解：由于抽取10%，即抽取比例為10：1，則每10人一組，∵627÷10=62+7，∴應該分成62段，故答案為：62；【點評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應用，比較基礎．17.如圖，當拋物線形拱橋的拱頂距水面2米時，測得水面寬4米．若水面下降0.5米，則水面寬米．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【專題】計算題；應用題；數形結合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】可建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為x2=2py，從而由題意知點（2，﹣2）在拋物線上，帶入拋物線方程便可求出p=﹣1，這便得出拋物線方程為x2=﹣2y．而根據題意知點（x0，﹣2.5）在拋物線上，從而可以求出x0，從而水面寬度便為2|x0|，即得出水面寬度．【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標系：設拋物線方程為x2=2py；根據題意知，A（2，﹣2）在拋物線上；∴4=2p?（﹣2）；∴p=﹣1；∴x2=﹣2y；設B（x0，﹣2.5）在拋物線上，則：；∴；∴水面下降0.5米，則水面寬為．故答案為：．【點評】考查通過建立平面直角坐標系，根據曲線上點的坐標求出曲線方程，利用曲線方程解決幾何問題的方法，以及拋物線的標準方程，數形結合解題的方法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，（其中a為常數）．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若函數有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍；

（3）若，令，證明：．參考答案：（1）函數的定義域是，，?當時，，即在上單調遞增；…（2分）?當時，，可得，可知在上單調遞增，在上單調遞減；…（4分）(2)，分參可得，，可得，即在單調遞增，在上單調遞減，…（6分）通過數形結合可知…（8分）(3)已知，可得，則，所以在上單調遞增，又，所以在上有唯一的實數根，且，當時，，當時，，從而當時，取極小值，也是最小值，由，得，則，…（10分）故，，所以科．（12分）19.（本題滿分13分）已知n條直線：：，

=，，

，…，.（其中）這ｎ條平行線中，每相鄰兩條之間的距離順次為2，3，4，…，n.（1）求；（2）求與x軸、y軸圍成的圖形的面積；（3）求與及x軸、y軸圍成的圖形的面積.參考答案：解析：（1）由題意可知:到的距離為:=2+3+4+…+n,

∵>∴=…………（4分）

（2）設直線:x－y＋cn=0交x軸于Ｍ點，交ｙ軸于Ｎ點，則△ＯＭＮ的面積為：

Ｓ△ＯＭＮ＝│ＯＭ││ＯＮ│==…………（9分）

（3）圍成的圖形是等腰梯形,由（2）知Ｓｎ＝．則有

Sｎ－１＝,

Sｎ－Sｎ－１＝－＝ｎ３

所以所求面積為n3………（14分）20.已知函數.（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數的極值.參考答案：（Ⅰ），，.故切線的斜率，由直線的點斜式方程可得，化簡得；（Ⅱ）由（Ⅰ），得.令，得或.當變化時，，的變化情況如下表：1+0-0+極大值極小值綜上，的極大值為，的極小值為.21.已知函數．（1）若，證明：當時，；（2）若在(0,+∞)只有一個零點，求a的值.參考答案：（1）見解析；（2）分析：(1)先構造函數，再求導函數，根據導函數不大于零得函數單調遞減，最后根據單調性證得不等式，(2)研究零點，等價研究的零點，先求導數：，這里產生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當時，，沒有零點；當時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當時，等價于．設函數，則．當時，，所以在單調遞減．而，故當時，，即．（2）設函數．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.22.解不等式：≤x﹣1．參考答案：【考點】其他不等式的解法．【專題】計算題；轉化思想；分析法