版權(quán)說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內(nèi)容提供方，若內(nèi)容存在侵權(quán)，請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
TaylorsFormula編高等數(shù)學高
等數(shù)學4.2、近似計算4.3、證明e是無理數(shù)五、小結(jié)思考題利用泰勒公式求極限、函數(shù)表示成n次 多項式、泰勒中值定理、幾點說明三、幾個初等函數(shù)的泰勒公式四、泰勒公式的應(yīng)用4.1、求極限課前練習一、多項式近似的提出二、泰勒公式3limxfi
0ex
sin
x
-
x(1
+
x)x作業(yè):
P145
2;4;10⑶.x
ln(1
+
x
2
)1. lim
sin
x
-
x
cos
xxfi
0cos
x
-
1
+
1
x
2則n=
A=
xnxfi
02.
若lim
2
=
A(?
0
?
￥
)，x3xfi
0=
lim
sin
x
-
x
cos
xx
ln(1
+
x
2
)1. lim
sin
x
-
x
cos
xxfi
03
x2xfi
0lim
cos
x
-
cos
x
+
x
sin
x2=
limxfi
03
xx
sin
xx
2xfi
0
3
x=
lim2
=310(
)0cos
x
-
1
+
1
x
2xn則n
=
A
=2.
若lim
2
=
A(?
0
?
￥
)，nx21cos
x
-
1
+
2
xxfi
04limxfi
0nxn-1xfi
0lim
-
sin
x
+
xxfi
0
n(n
-
1)
xn-2xfi
0
n(n
-1)
xn-21lim
1
-
cos
x
=
lim
2
x2lim1
1n-42n(n
-
1)
xfi
0
x=0(
)00(
)0=
A(?
0
?
￥
)
\
n
=
4241A
=241對于簡單函數(shù)(比如y=x2+1)較易研究，但對于一些較復雜的函數(shù)則不易研究，為了便于研究，往往希望用一些簡單函數(shù)來近似表達。由于多項式是最簡單的初等函數(shù)，它只是對自變量進行有限次的加、減、乘三種算術(shù)運算，便能求出它的函數(shù)值來，故我們常用多項式來近似表達函數(shù)。零次多項式近似：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，則有(
)00
0=
f
(
x
)(
x
-
x
)f
(
x)
?
f
(
x0
)[根據(jù)極限與無窮小量的關(guān)系，f
(x)=f
(x0
)+a
]一次多項式近似：設(shè)f(x)在x0處可導，則有f
(
x)
?
f
(
x0
)
+
f
(
x0
)(
x
-
x0
)其一次多項式近似原理為f
(x)-
f
(x0
)
=
Dy
?
dy
=
f
(x0
)Dx
=
f
(x0
)(x
-
x0
)f
(
x)
=
f
(
x0
)
+
f
(
x0
)(x
-
x0
)
+
o(
x
-
x0
)例如：當
x
很小時,
e
x
?
1
+
x
,
ln(1
+
x)
?
x取x0
=
0,
由公式
f
(
x)
?
f
(0)
+
f
￠(0)x,可得x
=
x.1
+
0e
x
?
e0
+
e0
x
=
1
+
x,
ln(1
+
x)
?
ln(1
+
0)
+1（如下圖）y
=
e
xy
=
1
+
xoxyy
=
xoy
=
ln(1
+
x)xy低次近似的不足之處：①精確度不高；②誤差為高階無窮小，不能估計。原因：低次多項式近似是以直代曲近似。對策:
以曲代曲近似精度高，尋找高次多項式來近似表達函數(shù)，同時給出誤差公式。泰勒先生最早考慮了這個問題。泰勒公式就是用高次多項式逼近一般函數(shù)的一種方法，對數(shù)表、三角函數(shù)表都是利用這個方法算出來的。除去用泰勒公式逼近外，也可用插值多項式、正交多項式逼近一般函數(shù)。這里我們僅介紹泰勒公式。Brook
Taylor(1685~1731
)
英國數(shù)學家, 18世紀牛頓學派最優(yōu)秀的代表人物之一,劍橋大學圣約翰學院法學博士。重要著作有《正的和反的增量方法》和《線性透視論》。在前本書里，它陳述了泰勒定理原始形式，使他成為有限差分理論的奠基人；后一本書中突出貢獻是“投影點”的提出和使用。Colion
Maclaurin(
1698~1746
)
英國數(shù)學家,
11歲考入格拉斯哥大學，
17歲即獲得碩士學位, 19歲時任阿伯丁馬里歇爾學院數(shù)學教授, 21歲當選皇家學會會員，27歲任愛丁堡大學數(shù)學教授
。他的著作有《論潮汐》(1740年與歐拉、貝努利共獲法國科學院獎)、《流數(shù)論》、《有機幾何學》和《代數(shù)論》(載有克萊姆法則)。馬克勞林是18世紀英國數(shù)學最后一位重要人物，他的《流數(shù)論》維護了牛頓學說，但也助長了英國學術(shù)界對牛頓傳統(tǒng)的保守傾向，其后，英國數(shù)學日益落后于歐洲大陸國家。2.1、函數(shù)表示成n次多項式⑴若f(x)是一個n次多項式函數(shù)(見習題3-3第1題)對"x0?
R,它可以寫成關(guān)于(x-x0)的n次多項式.0
1
0
2
0
n
0f
(
x)
=
a
+
a
(
x
-
x
)
+
a
(
x
-
x
)2
+
+
a
(
x
-
x
)n事實上，當逐次求它在x=x0的各階導數(shù),得0
0
1
0￠a
=
f
(
x
),
1
a
=
f
(x
),02￠2!
a
=
f
(
x
),,0(
x
)(n)nn!
a
=
f1102!
n!(
n)f
￠(
x0
),,
an
=
f
(
x
)0
0
1
0
2或
a
=
f
(
x
),
a
=
f
￠(
x
),
a
=于是f(x)可唯一表示為f
(x)=f
(x0
)+f
￠(x0
)(x
-x0
)1120
0
0
0(
n)
n2!
n!f
(
x
)(
x
-
x
)
.￠+
f
(
x
)(
x
-
x
)
++注:若f(x)是某一個函數(shù),存在直到n階的導數(shù),且n+1階后導數(shù)為零,則在某點處它可用一個多項式來精確表示.⑵設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到n+1階導數(shù),則f(x)可表示如下：Pn
(
x)Rn
(
x)誤差Rn
(x)=f
(x)-Pn
(x)0
00
0
0n!f
(n)
(
x
)f
(
x)
=
f
(
x
)
+
f
￠(
x
)(
x
-
x
)
++
0
(
x
-
x
)n
+
o((
x
-
x
)n
).n
0
0注意到P
(x
)=f
(x
),n
0
0n
0
0P￠(
x
)
=
f
￠(
x
),
,P
(n)
(
x
)=
f
(n)
(
x
).0xy
=
f
(
x)oxyPn
(
x0
)
=
f
(
x0
)②若有相同的切線Pn
(
x0
)
=
f
(
x0
)③若彎曲方向相同Pn
(
x0
)
=
f
(
x0
)
①
若在
0
點相交x近似程度越來越好n!2!0
nf
(
n)
(
x
)+
0
(
x
-
x )n
+
R
(
x)20(
x
-
x
)
+0f
(
x
)0
0
0￠￠f
(
x)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
)(
x
-
x
)
+2.2、泰勒中值定理⑴Taylor定理
設(shè)
f(x)
在含有
x0
的開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導數(shù),則對任一x∈(a,b),有(x介于x0與x之間).其中Rn
(x)=n+1f
(
n+1)
(x)(
x
-
x0
)(n
+
1)!由假設(shè),
Rn(x)
在(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導數(shù),
且0
0n(x在x
與x之間)n+1證:由Rn
(x)=f
(x)-Pn
(x),只需證明f
(
n+1)
(x)(n
+
1)!R
(
x)
=
(
x
-
x
)R
(
x
)
=
R￠(
x
)
=
R￠(
x
)
=
=
R(
n)
(
x
)
=
0.n
0
n
0
n
0
n
0對兩函數(shù)Rn(x)及(x-x0)n+1在以x0及x為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件，得再對兩函數(shù)R'n(x)及(n+1)(x-x0)n在以x0及ξ1為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件，得(x1在x0與x之間)(n
+
1)(x
-
x
)n1
0Rn￠(x1
)Rn
(
x)
=
Rn
(
x)
-
Rn
(
x0
)
=(
x
-
x
)n+1
(
x
-
x
)n+1
-
00
0=(n
+
1)(x
-
x
)n
(n
+
1)(x
-
x
)n
-
01
0
1
0Rn
(x1
)
Rn
(x1
)
-
Rn
(
x0
)(x2在x0與x1之間)Rn￠(x2
)2
0n-1x
-
x
)n(n
+
1)(=
n
(n
+
1)!R(
n+1)
(x
)0R
(
x
)(
x
-
x
)n+1=
n
0x之間)n
0(x在x
與x
之間,也在x
與如此下去，經(jīng)過n
+1次后，得(
x)
=
0,(
n+1)n
Pn(
n+1)(
x)
=
f
(
n+1)
(
x)\
R則由上式得f
(
n+1)
(x)(n
+
1)!0
0(x在x
與x之間)n+1(
x
-
x
)nR
(
x)
=注意:定理前n項為f(x)按(x-x0)冪展開n次近似多項式n
0
k
=0
k!kf
(
k
)
(
x
)nP
(
x)
=0(
x
-
x
)⑵帶lagrange型余項的n階泰勒公式f
(
x)
=nk
=0n+
R
(
x)k0
0
(
x
-
x
)k!f
(
k
)
(
x
)(
)n
+
1
!f
(
n+1)
(x)0為拉格朗日余項.n+1(
x
-
x
)n其中R
(
x)
=f
(
x)
=
0
0n+
o[(
x
-
x
)
]kn
0
k!f
(
k
)
(
x
)(
x
-
x
)k
=0⑶帶peano型余項的n階泰勒公式0(
x
-
x
)n+1M(n
+
1)!0n+1(
x
-
x
)(n
+
1)!f
(
n+1)
(x)￡n∵
R
(
x)
==
0Rn
(
x)0xfi
x及l(fā)imn(
x
-
x0
)R
(
x)
=
o[(
x
-
x
)n
].n
0佩亞諾型余項⑵當x0
=
0時，泰勒公式變成較簡單的麥克勞林公式ξ
介于0
和x
之間,令ξ=θx(0<θ<1)，則余項xn+1f
(
n+1)
(qx)nR
(
x)
=⑴當n
=0時，泰勒公式變成拉氏中值公式f
(x)=f
(x0
)+f
￠(x)(x
-x0
)
(x在x0與x之間)2.3、幾點說明n!f
(
n)
(0)
f
￠(0)
2!f
(
x)
=
f
(0)
+
f
￠(0)
x
+x2
+
+xn佩氏余項+
o(
xn
)(0
<
q
<
1)2!+(n
+
1)!
(
n)(n
+
1)!f
(
n+1)
(qx)(0)
xnn!f
(
x)
=
f
(0)
+
f
￠(0)
x
+
f
(0)
x
2
+
+
fxn+拉1氏余項解
f
(
x)
=
f
(
x)
=
=
f
(
n)
(
x)
=
e
x
,\
f
(0)
=
f
(0)
=
f
(0)
=
=
f
(
n)
(0)
=
12!
n! (n
+
1)!n+1x2
xn
ex++
+
x
(x在0與x之間).xe
=
1
+
x
+例1
求
f(x)=ex
的n階麥克勞林公式.因此ex
的麥克勞林公式為例2
求
f(x)=sinx的n階麥克勞林公式.解),2
f
￠(
x)
=
cos
x,
f
￠(
x)
=
-sin
x,,
f
(n)
(
x)
=
sin(
x
+np￠
￠
￠(4)
(n)\
f
(0)
=
0,
f
(0)
=
1,
f
(0)
=
0,
f
(0)
=
-1,
f
(0)
=
0,,
f
(0)
=
1等等，它們順序循環(huán)地取四個數(shù)0,1,0,-1，于是得3!
5!cos
x(2n
+
1)!(2n
-1)!x2n-1x3
x5sin
x
=
x
-
+-+(-1)n-1
+(-1)n
x2n+1
.注意到cosx=(sinx)'，類似地，可得3!
5!cos
x(2n
-1)!
(2n
+
1)!x2n-1x3
x5sin
x
=
x
-
+
-+(-1)n-1
+(-1)n
x2n+1
.cos
x2!
4!
(2n)!
(2n
+
2)!x2
x4
x2n\
cos
x
=
1
-
+ -+(-1)n
+(-1)n+1
x2n+2
.例3
求
f(x)=ln(1+x)
的n階麥克勞林公式.1
11
+
x
(1
+
x)2
(1
+
x)n,
f
￠(
x)
=
-
,,
f
(
n)
(
x)
=
(-1)n-1
(n
-1)!
,解
f
￠(x)=\
f
(0)
=
0,
f
￠(0)
=
1,
f
￠(0)
=
-1,
f
￠(0)
=
2!,,
f
(n)
(0)
=
(-1)n-1
(n
-1)!因此ln(1+x)的麥克勞林公式為.2
3(-1)nn-1
+xn+1n
n
+
1
(1
+
x)n+1x2
x3
xnln(1
+
x)
=
x
-
+
-+
(-1)例4
求
f(x)=
(1+x)a
(a?
R)的n階麥克勞林公式.解
f
(k
)
(
x)
=
a(a
-1)(a
-
k
+1)(1
+
x)a-k
,\
f
(0)
=
1,
f
￠(0)
=
a,,
f
(
n)
(0)
=
a(a
-1)(a
-
n
+1)2!
n!\
(1
+
x)a
=
1
+
ax
+
a(a
-1)
x2
++
a(a
-1)(a
-
n
+
1)
xn
+
o(
xn
).x
2n
+
o(
x
2n
)(2n)!12!
4!
6!cos
x
=
1
-
1
x
2
+
1
x4
-
1
x6
+
+
(-1)nxn+1
+
o(
xn+1
)2
3
n
+
11ln(1
+
x)
=
x
-
1
x2
+
1
x3
-+
(-1)n12
n1
-x
注：以上為常用六個麥克勞林公式=
1
+
x
+
x
+
+
x
+
o(
xn
)113!5! (2n
+
1)!sin
x
=
x
-
x
3
+x5
-
+
(-1)n
x
2n+1
+
o(
x
2n+1
)
1nn1
2!
n!+
o(
x
)e
x
=
1
+
x
+
1
x2
+
+
x2!2
1解
e
x
=
1
+
x2
+
x4
+
o(
x4
)2!
4!x2
x4cos
x
=
1
-
+
+
o(
x4
)2e
x\ +
2cos
x
-
3
=
(
1
+
2
1
)
x4
+
o(
x4
)2!
4!4xfi
012x47
x4
+
o(
x
)原式=lim=
12
.744.1、求極限例5
求極限lim+
2
cos
x
-
32xe
xx
fi
0.例6
當x→0時,求f(x)=ln(1+2x)-2(x-x2)的一個等價無窮小.2
3解ln(1
+2x)=2x
-1
(2x)2
+1
(2x)3
+o(x3
)x3
+
o(
x3
)8383x3
+
o(
x3
)
-
2x
+
2x2
=2\
f
(
x)
=
2x
-
2x
+833x
(
x
fi
0)\
f
(
x)
~4.2、近似計算例7
討論近似式sin
x
?x
-在[0,
x](x>0)上的誤差。3!
5! (2n
-1)!x3
x5x2n-1+
-+
(-1)n-1
解：在[0,
x](x>0)上誤差可估計如下：x
|￡
.(2n
+
1)! (2n
+
1)!cos
xx2n+12n+1n|
R2n
(
x)
|=|
(-1)⑴當泰勒多項式Pn(x)的次數(shù)n不變時,x越小,誤差也越小,比如:當x=10o=p/18≈0.174533<0.2
,若取n=2就有5!
150.25
4= ·10-5
<
10-5.4|
R
(
x)
|<故用sinx≈x-x3/3,計算sin10o時就能精確到五位小數(shù)的結(jié)果sin10o≈0.17365.
當x>10o時若仍用sinx≈x-x3/3計算，精度會降低。3!n
=2,sinx
?
x
-
1
x3n
=
1,
sin
x
?
x3!
5!n
=
3,sinx
?
x
-
1
x3
+
1
x5y
=
sin
xy
=
x3!y
=
x
-
1
x33!
5!y
=
x
-
1
x3
+
1
x5y
=
x
-
1
x3
+
1
x5
-
1
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 廣東外語外貿(mào)大學《環(huán)境生物監(jiān)測與修復技術(shù)》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 廣東汕頭幼兒師范高等?？茖W?！端こ探?jīng)濟》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 廣東培正學院《文化項目管理》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 七年級上冊《3.1.1 代數(shù)式》課件與作業(yè)
- 廣東南方職業(yè)學院《數(shù)學物理方法Ⅱ》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 廣東理工職業(yè)學院《中國藝術(shù)設(shè)計史》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 【全國百強?！刻旖蚴心祥_中學2020-2021學年高一上學期第二次階段檢測數(shù)學試題
- 【Ks5u發(fā)布】山東省煙臺市2021屆高三上學期期末統(tǒng)考數(shù)學(理)試題掃描版含答案
- 2021高考生物限時規(guī)范特訓：第25講-現(xiàn)代生物進化理論
- 【9語一?！?024年合肥市第四十二中學中考一模語文試題
- htr-pm學習課件18燃耗測量系統(tǒng)
- GB/T 24218.2-2009紡織品非織造布試驗方法第2部分：厚度的測定
- 冀教版三年級下冊數(shù)學全冊教案完整版教學設(shè)計
- 2022-2023學年度二年級數(shù)學.（上冊）寒假作業(yè)【每日一練】
- 鑄牢中華民族共同體意識學習PPT
- 公司年會小品《老同學顯擺大會》臺詞劇本手稿
- 獎勵旅游策劃與組織課件
- 《信息素養(yǎng)與實踐》課程教學大綱
- 行政事業(yè)單位內(nèi)部控制規(guī)范講解課件
- 雞舍通風設(shè)計
- 老年人照料設(shè)施建筑設(shè)計防火規(guī)范
評論
0/150
提交評論