雙曲線的方程的求法

高中數(shù)學(xué)選修2-1雙曲線標準方程的求法雙曲線的定義

平面內(nèi),到兩定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（常數(shù)）的點的軌跡叫做雙曲線，其中，叫做雙曲線的焦點，叫做焦距，記為.知識梳理

練習(xí)1已知兩定點，之間的距離為，且動點滿足

，請判斷的軌跡.雙曲線變式1雙曲線的一支變式2一條射線雙曲線的標準方程焦點在軸上焦點在軸上焦點看正負練習(xí)2說出下列雙曲線方程所表示的焦點位置及的值.

定義

方程

焦點a.b.c的關(guān)系（±c，0）（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，b2=c2-a2a>b>0，b2=a2-c2||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

橢圓雙曲線（0，±c）（0，±c）歸納小結(jié)--橢圓與雙曲線的比較比得清，記得牢題型探究重點突破解析答案題型一求雙曲線的標準方程例1

根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程.解析答案解方法一若焦點在x軸上，∵P、Q兩點在雙曲線上，解析答案∵雙曲線經(jīng)過點(－5,2)，∴λ＝5或λ＝30(舍去).反思與感悟反思與感悟求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點位置設(shè)出標準方程，然后用待定系數(shù)法求出a，b的值.若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復(fù)雜，注意到雙曲線過兩定點，可設(shè)其方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，通過解方程組即可確定m、n，避免了討論，從而簡化求解過程.解析答案跟蹤訓(xùn)練1

求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是(－5,0)，(5,0)，雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8；解由雙曲線的定義知，2a＝8，所以a＝4，又知焦點在x軸上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，解析答案解因為焦點在x軸上，解得a2＝8，b2＝4，解析答案題型二雙曲線定義的應(yīng)用(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；(2)如圖，若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積.反思與感悟(1)由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，假設(shè)點M到另一個焦點的距離等于x，則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故點M到另一個焦點的距離為10或22.解析答案反思與感悟(2)將||PF2|－|PF1||＝2a＝6兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得∴∠F1PF2＝90°，反思與感悟反思與感悟(1)求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根據(jù)兩點間距離公式可求結(jié)果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據(jù)||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意對所求結(jié)果進行必要的驗證(負數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于c－a).(2)在解決雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題時，首先要注意定義中的條件||PF1|－|PF2||＝2a的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用.解析答案跟蹤訓(xùn)練2

已知雙曲線

＝1的左、右焦點分別是F1、F2，若雙曲線上一點P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積.由雙曲線的定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，解析答案題型三與雙曲線有關(guān)的軌跡問題例3

如圖，在△ABC中，已知|AB|＝

，且三個內(nèi)角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，求頂點C的軌跡方程.反思與感悟解以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點).反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，已知定圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圓F2：(x－5)2＋y2＝42，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程.解圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5,0)，半徑r1＝1；圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5,0)，半徑r2＝4.設(shè)動圓M的半徑為R，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.∴點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，反思與感悟(1)求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題，常見的方法有兩種：①列出等量關(guān)系，化簡得到方程；②尋找?guī)缀侮P(guān)系，由雙曲線的定義，得出對應(yīng)的方程.(2)求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：①雙曲線的焦點所在的坐標軸；②檢驗所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.解析答案返回解后反思例4

已知F1、F2是雙曲線

＝1的左、右焦點，A是雙曲線右支上的動點.(1)若點M(5,1)，求|AM|＋|AF2|的最小值；(2)若點M(5，n)，求|AM|＋|AF2|的最小值.思想方法數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用解析答案解后反思分析畫出草圖，結(jié)合焦點三角形進行考慮.解(1)草圖如圖所示.由雙曲線的定義，知|AM|＋|AF2|＝|AM|＋|AF1|－2a.由于點M在雙曲線右支的右邊，故由圖知當(dāng)點A在線段MF1上時，|AM|＋|AF1|最小，即|AM|＋|AF2|最小.解后反思(2)類似(1)可知，當(dāng)點M在雙曲線右支的右邊，當(dāng)M在雙曲線右支的外邊或其上，課堂小結(jié)返回1.雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了絕對值符號，當(dāng)2a＝|F1F2|時表示兩條射線.2.在雙曲線的標準方程中，a>b不一定成立.要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別.在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2.3.用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，要先判斷焦點所在的位置，設(shè)出標準方程后，由條件列出a，b，c的方程組.如果焦點不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.拓展