2023年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={x|-1<x<1},B-{x\0<%<3},則/UB=（）

A.[0,1）B.[0,1]C.（-13]D.（-1,3）

2.在。一夕的展開式中，/的系數(shù)是（）

A.—8B.8C.—4D.4

3.已知數(shù)列{冊(cè)}對(duì)任意nWN*滿足%+的=1+1，且%=1,則等于（）

A.2B.3C.4D.5

4.是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知拋物線C：y2=鈦的焦點(diǎn)為F,拋物線C上一點(diǎn)P到點(diǎn)尸的距離為3,則點(diǎn)P到原點(diǎn)的

距離為（）

A.2B.3C.25/2D.2V3

6.已知直線y+1=-2）與圓（X-1）2+（y-1）2=9相交于M,N兩點(diǎn).則|MN|的最小

值為（）

A.V5B.2V5C.4D.6

7.已知函數(shù)/Q）同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f（x）+/（-%）=0；②對(duì)任

2

意實(shí)數(shù)X1，x2,當(dāng)》1+%2芋0時(shí)，都有黨警<0?則函數(shù)“X）的解析式可能為（）

A./（%）=2xB./（x）=-2xC./（x）=2XD.f（x）=-2X

8.在^ABC中，4C=90。,4c=BC=&,P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則|方+

而|的最大值為（）

A.16B.10C.8D.4

9.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%?100%，當(dāng)血

氧飽和度低于90%時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：

S（t）=S（）eKt描述血氧飽和度S（t）隨給氧時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中So為初始血氧飽和

度，K為參數(shù),已知So=60%,給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達(dá)到90%,

則至少還需要給氧時(shí)間(單位：時(shí))為()

(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):62ao.69,In3kl.10)

A.0.3B,0.5C.0.7D.0.9

10.如圖，已知正方體ABC。—4BiGDi，則下列結(jié)論中正確的是

()

A.與三條直線4B,CC],。遇1所成的角都相等的直線有且僅有一條

B.與三條直線AB,CCi，。送1所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)

C.到三條直線AB,CG，DM1的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個(gè)

D.到三條直線4B,CC1，。遇1的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),則(l+i)-z=—.

12.能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù)，若a<b<c,則ac<be”是假命題的一組整數(shù)a,

b,c的值依次為—.

13.已知雙曲線圣一《=1的一條漸近線方程為y=則雙曲線的離心率為.

14.在△ABC中，sinA=sin2A,2a=^3b,則乙4=—；②的值為—.

C

15.設(shè)函數(shù)f⑺=｛驕人+1蓑;'給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)/⑸的值域是R；

+

@Va>l,方程/(x)=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；@3x0eR,使得/(一的)一/(殉)=。；④若實(shí)

x

數(shù)%1<x2<x3<X4,且f(%1)=/(%2)=f(3)=f(%4).則(%1+X2)(x3一%4)的最大值為4e-

上其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

e

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題13.0分)

已知函數(shù)/(x)=sin(3X4-3)(3>0,0<<p<兀)的最小正周期為兀.

(1)求3值；

(2)再從條件①.條件②、條件③三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.確定/(x)的解析式.設(shè)函數(shù)

g(x)=f(x)-2sin2x,求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.條件①:f(x)是偶函數(shù)；條件②:/(%)圖象過

點(diǎn)(?1);條件③：/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(瑞,0).注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分

別解答，按第一個(gè)解答給分.

17.(本小題14.0分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD1底面/BCD,PD=DC=2,AD=2a，M為BC

的中點(diǎn).

(1)求證：4Ml平面P8D；

(2)求平面ABC。與平面APM所成角的余弦值；

(3)求。到平面4PM的距離.

18.(本小題13.0分)

某社區(qū)組織了一次公益講座.向社區(qū)居民普及垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社

區(qū)居民.讓他們?cè)谥v座前和講座后分別回答一份垃圾分類知識(shí)問卷.這10位社區(qū)居民的講座前

和講座后答卷的正確率如表：

編號(hào)

1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)8號(hào)9號(hào)10號(hào)

準(zhǔn)確率

講座前65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%

講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%

(1)從公益講座前的10份垃圾分類知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取一份.求這份答卷正確率低于80%的概

率；

(2)從正確率不低于90%的垃圾分類知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取3份，記隨機(jī)變量X為抽中講座前答卷

的個(gè)數(shù).求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)判斷此次公益講座的宣傳效果.并說明你的理由.

19.(本小題15.0分)

已知橢圓E：芻+號(hào)=l(a>+>0)過點(diǎn)>(0,1),且離心率為，

ab2

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線1與橢圓E相切，過點(diǎn)M(1,O)作直線/的垂線，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：|0N|為

定值.

20.(本小題15.0分)

已知函數(shù)/(%)=ax—(a+l)lnx—

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)若y=/(x)在％=2處取得極值，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求證：當(dāng)0<a<l時(shí)，關(guān)于x的不等式/(x)>l在區(qū)間［l,e］上無解.

21.(本小題15.0分)

如果數(shù)列｛即｝對(duì)任意的nGN*,an+2-an+1>an+1-an,則稱｛aj為“速增數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列｛2"｝是否為“速增數(shù)列”？說明理由；

(2)若數(shù)列｛an｝為“速增數(shù)列”,且任意項(xiàng)anCZ,的=1,。2=3,以=2023,求正整數(shù)k的

最大值；

(3)己知項(xiàng)數(shù)為2k(kN2,kCZ)的數(shù)列｛%｝是“速增數(shù)列”，且｛匕｝的所有項(xiàng)的和等于匕若

%=2%，n=1,2,3,…，2k,證明：ckck+1<2.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合4={x|-1<x<1},B-{x|0<x<3],

則4UB={x|-1<xW3}.

故選：C.

直接求并集得到答案.

本題主要考查了集合并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

42r

【解析】解：(X-94的展開式通項(xiàng)為圖+1=Cr.x4-r.(-|)r=C>(一2尸?X-,

取4—2r=2,則r=1,系數(shù)為"x(-2)=-8.

故選：A.

直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由題意可得,。2=+Q1=2,。3=。2+=2+1=3,=3+1=4,

=4+1=5.

故選：D.

由數(shù)列遞推公式依次計(jì)算&，。3,。4,。5,即可得答案.

本題主要考查數(shù)列的遞推式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：當(dāng)OVx</時(shí)，tanx6(0,1),滿足tern%V1,充分性；

取》=乎，滿足=不滿足不必要性.

44

故"0Vx<,是"tmx<r的充分而不必要條件.

故選：A.

當(dāng)0<x<：時(shí)，ttmxe(O,l),滿足tanx<l,充分性，取x=含十算得到不必要性，得到答案.

本題主要考查充分必要條件的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：■:拋物線C：y2=府的準(zhǔn)線為％=-1,設(shè)P(x(),yo),

—

???\PF\=x01)-3,???x0=2,yo=8,

???點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為V?”=2V3.

故選：D.

由拋物線的定義，將拋物線C上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，列方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，

進(jìn)而得出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：由圓的方程1)2+(y—1)2=9,可知圓心4(1,1),半徑R=3,

直線y+1=m(x-2)過定點(diǎn)B(2,-l),

因?yàn)?2-1尸+(—1-1)2=5<9,則定點(diǎn)8(2,—1)在圓內(nèi)，

則點(diǎn)8(2,-1)和圓心4(1,1)連線的長度為d=V(2-l)2+(-l-l)2=V5,

當(dāng)圓心到直線MN距離最大時(shí)，弦長MN最小，此時(shí)4B1MN,

由圓的弦長公式可得|MN|=2V/?2-d2=2J32-(近/=4-

故選：C.

先求出圓心4(1,1)和半徑，以及直線的定點(diǎn)8(2,-1),利用圓的幾何特征可得到當(dāng)ABJ.MN時(shí)，

|MN|最小.

本題主要考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有/(x)+/(-%)=0,故函數(shù)為奇函數(shù)；

對(duì)任意實(shí)數(shù)%,X2,當(dāng)%+尤2*0時(shí)，都有產(chǎn)2)<0,即駕笠⑼<o,

即智戶<0,(打力為2)，故函數(shù)單調(diào)遞減.

對(duì)選項(xiàng)A：/(%)=2%單調(diào)遞增，不滿足；

對(duì)選項(xiàng)B：/(x)=-2刀單調(diào)遞減，且函數(shù)為奇函數(shù)，滿足；

對(duì)選項(xiàng)C：“無)=2》單調(diào)遞增，不滿足；

對(duì)選項(xiàng)。：/Q)=-不是奇函數(shù)，不滿足.

故選：B.

確定函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的判斷及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：由題意可得，點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，1為半徑的圓,

取48的中點(diǎn)。，則可+而=2萬，

所以|同+而\max=2\PD\max=2(|CD|+1)=2X(|V2T2+1)=4,

故選：D.

由己知求出點(diǎn)P的軌跡為圓，再由平面向量的平行四邊形法則得出刀+麗=2而，PD的最大值

即圓心到定點(diǎn)。的距離加上半徑，代入化簡(jiǎn)求值即可.

本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要t-l小時(shí)，

由題意可得60eK=80,60eKt=90,兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)并整理，

得K=In舞=In*=ln4—ln3=2ln2—ln3,Kt=In"=ln\=ln3—ln2,

603ouL

則1=翳陪?二無7n?1.5,則給氧時(shí)間至少還需要0.5小時(shí).

2ln2-ln32x0.69-1.10

故選：B.

依據(jù)題給條件列出關(guān)于時(shí)間t的方程，解之即可求得給氧時(shí)間至少還需要的小時(shí)數(shù).

本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：CCJ/AA^

AC1與三直線直線4B,CG，Di&所成的角都相等，

與直線4cl平行的直線均與三直線直線AB,CQ,所成的角都相等，故有無數(shù)條，故A錯(cuò)誤;

平面4815與三直線直線48,CJ,么&所成的角都相等，

而與平面力當(dāng)。1平行的平面均與直線AB,CC1，。送1所成的角都相等，故B錯(cuò)誤；

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(a,a,a),4(1,0,0),8(1,1,0),

PA=(a—1,a,a)>AB=(0,1,0)?

P到直線4B的距離d=|^4||?Jl-cos2<PA,AB>=V(a-l)2+2a2-/((;.魯：

7(a-l)2+a2,

同理可得P到直線CCi和。14的距離為，(a-+a2,

故QB】上的點(diǎn)到三條直線4B,CG，的距離相等，

故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到三條直線AB,CC],。送1的距離相等，故C錯(cuò)誤，O正確.

故選：D.

利用空間幾何體的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.

本題考查空間幾何體的性持，考查線面角，點(diǎn)到線的距離，屬中檔題.

11.【答案】i-1

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),

所以z=i,所以(1+i)-z=(l+i)-i=i+i2=i-l.

故答案為：i—1.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示復(fù)數(shù)z,然后利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】一2,-1,0

【解析】解：若a<b,當(dāng)c>0時(shí)，ac<be；

當(dāng)c=0時(shí)，ac=be；

當(dāng)c<0時(shí)，ac>be；

“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù)，若a<b<c,則ac<be”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為一2,

—1,0,

故答案為：-2,—1.0(答案不唯一).

根據(jù)不等式的性質(zhì)，討論c的正負(fù)和c=0三種情況，得出結(jié)論.

本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】2

【解析】解:雙曲線圣一/=1的一條漸近線方程為y=V3x,可得g=V3,即黑=4,解得e=2.

故答案為：2.

利用雙曲線的漸近線方程，推出a,b的關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率即可.

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

14.【答案】I2

【解析】解：sinA=sin2A=2sinAcosAf

因?yàn)锳6(0,7r),所以sinAW0,

所以cosA=I，A=

又2a=則2si7M=V3sinB,即2x亨=V3sinF?

所以sinB=1,又Be則B=

所以C=7r-4-B=g

o

bsinB1仁

所以"=赤=工=2.

2

故答案為：.2.

化簡(jiǎn)得到COSA=3再根據(jù)正弦定理得到2sM4=WsinB,得到B=冬計(jì)算得到答案.

本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②③④

【解析】解：作出函數(shù)間=比"1,二;'的圖象如下圖所示:

對(duì)于①，由圖可知，函數(shù)/(x)的值域不是R,故①不正確；

對(duì)于②，由圖可知，Va>1,方程/(x)=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，故②正確；

對(duì)于③,當(dāng)^x()eR+時(shí)，使得有f(To)=/(Xo)成立，即y=/-4x+1與y=|/nx|有交點(diǎn)，這

顯然成立，故③正確；

對(duì)于④，不妨設(shè)互不相等的實(shí)數(shù)X],x2,%3>%4滿足<%2<%3<%4，當(dāng)滿足/(X[)=f(X2)=

f(%3)=/(%4)時(shí)，

由圖可知其型=-2，即/+x2=-4,|Znx3|-|/nx4|>即-)右=lnx4,x3==，

Z%4

11

所以(3+3)(這一打)=一4(2-多)，由圖可知，x4e(l,e],

而y=^1—x在xe(l,e]上單調(diào)遞減，所以1《一打€1弓一e,0),

X44e

X-=

所以(%i+%2)(37*)一五]-4)W(0,4e-3，

X

貝IJQ1+X2)(3-X4)的最大值為4e-故④正確.

故答案為：@(3)(4).

畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對(duì)四個(gè)結(jié)論依次分析，即可求解結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，分段函數(shù)及其應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

16.【答案】解：⑴由條件可知，號(hào)=兀，解得3=2；

(2)由(1)可知，/(x)=sin(2x+(p)(s>0,0<(p<7r),

若選擇條件①：/(%)是偶函數(shù)，

所以2x0+0=]+kn,kGZ,

因?yàn)?<(p<71,

所以8=p

所以/(%)=sin(2x+])=COS2X9

所以g(x)=cos2x—2sin2x=cos2x+cos2x—1=2cos2x—1,

令一Jr+2kn<2x<2knfkEZ,

解得一]+ku<%<kn,kEZ,

函數(shù)g(%)的遞增區(qū)間是[一與+々兀/捫,々cZ；

若選擇條件②：f(x)圖象過點(diǎn)(也1),

則照)=sin(2x3+卬)=1,

則g+W=5+2k7r,kCZ,即w屋+2k7r,keZ,

因?yàn)?<0<兀，

所以8=1

所以/(%)=Sin(2x+1),

所以g(x)=sin(2x+*)-2sin2x=^-sin2x+|cos2x+cos2x—1=^-sin2x+|cos2x—1=

V3sin(2x+貨-1,

令一~+2/CTT<2x+科工2+2kli,k€Z,

解得：一招+k/rWx工工+々兀，

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[一招+kn,^+kn],keZ.

如選擇條件③：/(X)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(瑞,0),

所以2x—+w=/CTT,keZ,cp—kit——,

因?yàn)镺V^V*所以0=3

o

所以/'(x)=sin(2x+3)，

所以g(x)=sin(2x+^)—2sin2x=^--sin2x+^cos2x+cos2x-1=ysin2x+|cos2x-1=

V3sin(2x+^)—1,

令一+2/OTW2X+gW]+2k7t,keZ,

解得-瑞+卜兀W%"+kn，

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[一招+kn,^+kn],keZ.

【解析】(1)根據(jù)周期公式，即可求解；

(2)分別選擇條件，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，代入公式，即可求解.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)證明：???PD=DC=2,4。=2A/2,M為8c的

中點(diǎn)，

.?.*=*=或，又四棱錐P—ABCD的底面是矩形，

ABAM

ADAB=4MBA=p

???Rt△DAB^Rt△ABM,:./.DBA=乙AMB,

又乙MBD+乙DBA=2,乙MBD+乙ANB="AM1OB,

「PDJ"底面4BCD,u底面4BCD,

???PD1AM,又DBCPB=B,且DB,PBu平面PBD,

AM1平面PBD；

(2)?；PD1平面ABCD,又AD,DCu平面4BCD,

-.PD1AD,PD1DC,又四棱錐P-ABC。的底面是矩形,

.?.AD，DC,.?.建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可得：

0(0,0,0),P(0,0,2),A(2&,0,0),M(V2,2,0).

-.PA=(2A/2,0,-2)>MA=(V2,-2,0).DP=(0,0,2).

PD1平面4BCD,.?.平面ABC。的法向量為而=(0,0,2),

設(shè)平面4PM的法向量為元=(x,y,z),

貝%廂=缶-2y=0'取"(四，L2)'

???平面力BCD與平面APM所成角的余弦值為：

I|cooss<D也Pn>|\-瓦底阿包_1工夕一”7'

⑶由(2)可知平面力PM的法向量為元=(瘋,1,2),|cos<DP,n>|=手，

。到平面4PM的距離為|DP||cos<DP,n>\=2=

【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定定理和性質(zhì)、線面垂直的判定定理進(jìn)行

證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；

(3)利用空間點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.

本題考查線面垂直的判定定理，向量法求解面面角問題，向量法求解點(diǎn)面距問題，屬中檔題.

18.【答案】解：⑴共10份書卷，準(zhǔn)確率低于80%有6份，.??所求概率為P=卷=|；

(2)正確率不低于90%的垃圾分類知識(shí)答卷中，講座前有2份，講座后有5份，

??4=。，1，2，又「(乂=。)=加3制-0)=管=機(jī)”-2)=等=￡—

???X的分布列為：

X012

241

P

777

?**E(X)=0x^4-lx^+2x^=^；

(3)此次公益講座的宣傳效果很好，理由如下:

65%+60%+70%+100%+65%+75%+90%+85%+80%+60%_

講座前的平均準(zhǔn)確率為:75%,

10

講座后的平均準(zhǔn)確率為：90%+85%+80%+95%+85%：；5%+95%+100%+85%+90%=89%)

平均準(zhǔn)確率明顯提高，故此次公益講座的宣傳效果很好.

【解析】(1)共10份書卷，準(zhǔn)確率低于80%有6份，計(jì)算概率即可.

(2)X的取值可能是0,1,2,計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

(3)講座前的平均準(zhǔn)確率為75%,講座后的平均準(zhǔn)確率為89%,提升明顯，得到答案.

本題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，平均數(shù)的概念,

屬中檔題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)闄E圓過點(diǎn)B(0,l),所以b=l,

又6=或，a2=b2+c2,所以￡=四!=—K=得到a=&,

2Q7Q27a22

2

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+y2=1;

證明：(2)當(dāng)直線斜率/存在且不為0時(shí)，設(shè)直線［的方程為y=kx+7n(k#0),

y-

N

2消去并整理，得22

聯(lián)立直線/和橢圓E的方程得，T+yy(2k?+i)x+4kmx+2m-2=0,

因?yàn)橹本€/與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等的根，4=16k2m2-4(2/+

1)(2*-2)=0,

化簡(jiǎn)整理得瓶2=21+1,

因?yàn)橹本€MN與］垂直，所以直線MN的方程為y=

*l—km

丫=一X*一1),解得一

聯(lián)立得l+Q...Npimk+m>.

.y=kx+m

--1+k2

(l—km)2+(k+m)2_k2m2+k2+m2+l__(fc2+l)(m2+l)_m2+l

所以|ON|2=

(1+k2)2-(1+k2)2-(l+/c2)2-1+fc2

2

把m2=2/+1代入上式得，|ON『=箸罟=2,所以|ON|=&,為定值;

當(dāng)直線/斜率為0時(shí)，直線八y=+l,過點(diǎn)M(l,0)作直線/的垂線，則垂線方程為％=1,

此時(shí)N(l,l)或N(l,-1),|ON|=應(yīng)，為定值；

當(dāng)直線/斜率不存在時(shí).，直線I：x=士四，過點(diǎn)M(l,0)作直線1的垂線，則垂線方程為y=0,

此時(shí)N(—&,0)或N(迎,0),|ON|=VI,為定值;

綜上所述，\ON\=V2,為定值.

【解析】(1)利用橢圓過點(diǎn)8(0,1),得到b=l,再由橢圓的離心率為亨，求出a的值，從而求到橢

圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)對(duì)直線，的斜率為0、斜率不存在及斜率存在且不為0三種情況討論，從而求出|。/7|=四，得到

結(jié)論.

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由/1(x)=ax-(a+l)/nx->0,

可得尸(X)=a-絲+3=，-("l)x+l=(ax?(xT),

當(dāng)。=0時(shí)-，/(I)=-/nl-1=-1,<(1)=0,

y=f(x)在點(diǎn)(Lf(l))處的切線方程為y=-1；

(2)因?yàn)閥=/(x)在x=2處取得極值，所以尸(2)=宇=0,解得a=

檢驗(yàn)如下：

令/(X)=(紅一?/)=0,解得％=2或%=1,

若0cx<1或x>2時(shí),則/'(x)>0；若l<x<2,則尸<)<0.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2),

故y=/(x)在％=2處取得極小值，滿足題意，

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)；

(3)證明：由(1)知1(x)=(ax-?xT),由0<a<i時(shí)，得;>1,因xe［l,e］,

當(dāng);>e時(shí)，當(dāng)％G(l,e)時(shí),/'(X)<0,即函數(shù)/Q)在［l,e］上單調(diào)遞減,^f(x)max=f⑴=a-l<

1,

因此不等式/(%)>1不成立，即不等式/(%)>1在區(qū)間［l,e］上無解；

當(dāng)l<：<e時(shí)，當(dāng)l<x<3時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)，<%<6時(shí)，f'(X)>0,即/'(%)在(1,，)上遞減，

在?,e)上遞增，

于是得f(x)在［l,e］上的最大值為/(I)或/(e),

而/(I)=