2023年北京市西城區(qū)初三二模數學

北京市西城區(qū)2023年九年級模擬測試

數學試卷2023.5

1.本試卷共8頁，共三道大題，28道小題，總分值100分，考試時間120分鐘。

考2.在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、姓名和學號。

生3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。

一、選擇題（此題共16分，每題2分）

第1-8題均有四個選項，符合題意的選項與事■一個.

1.如下圖，a//b,直線。與直線b之間的距離是

A.線段胡的長度B.線段的長度

C.線段PC的長度D.線段的長度

2.將某不等式組的解集-13表示在數軸上，以下表示正確的是

3.以下運算中，正確的是

A.X2+5X2=6X*4B5.x3-x2=x6C.(x2)3=x6D.(xy)3=xy3

4.以下實數中，在2和3之間的是

A.兀B.五一2c.^25D.^28

5.一副直角三角板如圖放置，其中NC=/L>FE=90。，ZA

=45°,/E=60。，點尸在CB的延長線上.假設￡>E〃CF,

那么NBDF等于

CB

A.35°B.30°

C.25°D.15°

網中由左向行依次為IN桿、水戊儀、限懾

6.中國古代在利用“計里畫方"（比例縮放和直角坐

標網格體系）的方法制作地圖時，會利用測桿、

水準儀和照板來測量距離.在如下圖的測量距

離AB的示意圖中，記照板“內芯”的高度為EF.

觀測者的眼睛（圖中用點C表示）與BF在同一水

平線上，那么以下結論中，正確的是

AEFCF「EFCF

ABFBABCB

cCECFCECF

CAFBEACB

7.在一次男子馬拉松長跑比賽中，隨機抽取了10名選手，記錄他們的成績（所用的時間）如下:

選手12345678910

時間(min)129136140145146148154158165175

由此所得的以下推斷不正頓的是

A.這組樣本數據的平均數超過130

B.這組樣本數據的中位數是147

C.在這次比賽中，估計成績?yōu)?30min的選手的成績會比平均成績差

D.在這次比賽中，估計成績?yōu)?42min的選手，會比一半以上的選手成績要好

8.如圖1所示，甲、乙兩車沿直路同向行駛，車速分別為20

m/s

和v(m/s),起初甲車在乙車前a(m)處，兩車同時出發(fā)，當乙

車追上甲車時，兩車都停止行駛.設x(s)后兩車相距y(m),

y

與x的函數關系如圖2所示.有以下結論：

①圖1中a的值為500；

②乙車的速度為35m/s；

③圖1中線段EF應表示為500+5X；

④圖2中函數圖象與x軸交點的橫坐標為100.

其中所有的正確結論是

A.①④B.②③

C.①②④D.①③④

二、填空題(此題共16分，每題2分)

9.如果/=有意義，那么x的取值范圍是.

10.不透明袋子中裝有5個紅色球和3個藍色球，這些球除了顏色外沒有其他差異.從袋子中隨機摸出一個

球，摸出藍色球的概率為.

11.如圖，等邊三角形ABC內接于。。，假設。。的半徑為2,那么圖中

陰影局部的面積等于.

12.某校''百變魔方"社團為組織同學們參加學校科技節(jié)的“最強大腦”

大賽，準備購置A,B兩款魔方.社長發(fā)現假設購置2個A款魔方和6個

B款魔方共需170元，購置3個A款魔方和購置8個B款魔方所需費

A款B款

用相同.求每款魔方的單價.設A款魔方的單價為X元，B款魔方的單

價為y元，依題意可列方程組為.

13.如圖，在矩形ABC。中，順次連接矩形四邊的中點得到四邊形EFGH.假設48=8,

AD=6,那么四邊形EFG”的周長等于.

14.在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=3(x+2『-1平移后得到拋物線y=3/+2.

請你寫出一種平移方法.答：.

15.如圖，A8為。。的直徑，AC與。。相切于點4,弦BD//OC.

假設NC=36。，那么/OOC=。.

16.我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系xOy

中，矩形ABCO的邊AB在x軸上，A(—3,0),8(4,0),邊AO長

為5.現固定邊48,“推”矩形使點。落在y軸的正半軸上(落點

記為。)，相應地，點C的對應點C'的坐標為.

三、解答題(此題共68分，第17~21題每題5分，第22、23題每題6分，第24題5分，第25、26題每

題6分，第27、28題每題7分)

17.計算：6cos60°-V27+(7t-2)°-|V3-2|.

18.解方程：上+—L=3.

x—22-x

19.如圖，在四邊形ABCO中，E為A8的中點，于點￡,

ZA=66°,ZABC=90°,BC=ADf求NC的度數.

口C

20.先化簡，再求值：(「嗔卜丁；：；+9,其中x=—5./

21.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLAB于點。，BEJ_AB于點B,/|_」BE=CD,

連接CE,DE.

(1)求證：四邊形CQ8E為矩形；

(2)假設AC=2,tanZACD=-,求OE的長.

2

22.閱讀以下材料：

材料一:

E

早在2023年9月25日，北京故宮博物院就開始嘗試網絡預售門票，2023年全年網絡售票僅占

1.68%.2023年至2023年，全年網絡售票占比都在2%左右.2023年全年網絡售票占17.33%,2023年全年

網絡售票占比增長至41.14%.2023年8月實現網絡售票占比77%.2023年10月2日，首次實現全部網上售

票.與此同時，網絡購票也采用了“人性化〃的效勞方式，為沒有線上支付能力的觀眾提供代客下單效勞.實

現全網絡售票措施后，在北京故宮博物院的精細化管理下，觀眾可以更自主地安排自己的行程方案，獲得

更美好的文化空間和參觀體臉.

材料二：

以下是某同學根據網上搜集的數據制作的2023-2023年度中國國家博物館參觀人數及年增長率統(tǒng)計表.

年度20232023202320232023

參觀人數(人次)74500007630000729000075500008060000

年增長率(%)38.72.4-4.53.66.8

他還注意到了如下的一那么新聞：2023年3月

8日，中國國家博物館官方微博發(fā)文，宣布取消紙

質門票，觀眾持身份證預約即可參觀.國博正在建中國國家博物館

設智慧國家博物館，同時館方工作人員擔憂的是：參觀累

“雖然有故宮兔〔紙質〕票的經驗在前，但對于國博

來說這項工作仍有新的挑戰(zhàn).參觀故宮需要觀眾網上

■??AS”???????★?

付費購置門票，他遵守預約的程度是不一樣的.但

〔國博〕免費就有可能約了不來，擠占資源，所以

難度其實不一樣盡管如此，國博仍將積極采取技術和效勞升級，希望帶給觀眾一個更完美的體臉方式.

根據以上信息解決以下問題：

(1)補全以下兩個統(tǒng)計圖；

(2)請你預估2023年中國國家博物館的參觀人數，并說明你的預估理由.

23.如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數y='(x<0)的圖象經過點A(-4,〃)，A8J_x軸于點點

X

C與點A關于原點。對稱，軸于點D,AABD的面積為8.

(1)求tn,n的值;

(2)假設直線曠=區(qū)+力(W0)經過點C,且與x軸，y軸的交點分別為點E,F,當CF=2CE時,

求點尸的坐標.

24.如圖，AB是。。的直徑，C是圓上一點，弦

且DC=AD.過點A作。。的切線，過點C

兩直線交于點F,FC的延長線交AB的延長

(1)求證：FG與。0相切；

(2)連接EF,求tanN￡FC的值.

25.閱讀下面材料：

:如圖，在正方形ABCQ中，邊A3=q.

按照以下操作步驟，可以從該正方形開始，構造一系列的正方形，它們之間的邊滿足一定的關系，

并且一個比一個小.

請解決以下問題：

(1)完成表格中的填空：

①；②；

(3);④；

(2)根據以上第三步、第四步的作法畫出第三個正方形CH/J(不要求尺規(guī)作圖).

26.拋物線例：丫=雙2-4"+。一1(ar。)與x軸交于A,B兩點(點4在點8左側)，拋物線的頂點為D

(1)拋物線M的對稱軸是直線；

(2)當AB=2時，求拋物線M的函數表達式；

(3)在(2)的條件下，直線/：y=^+6(kW0)經過拋物線的頂點。，直線y=〃與拋物線M有兩個

公共點，它們的橫坐標分別記為為，X],直線y=〃與直線/的交點的橫坐標記為(七>0),

假設當一2W“W—1時，總有-々>0,請結合函數的圖象，直接寫出左的取值范圍.

27.如圖1,在等邊三角形ABC中，CO為中線，點Q在線段C。上運動，將線段QA繞點Q順時針旋轉，，

使得點A的對應點E落在射線BC上連接BQ,設ZD40=a(0°<a<60°Ka^30°).

(1)當(TVaV30。時,

①在圖1中依題意畫出圖形，并求/BQE(用含a的式子表示)；

②探究線段CE,AC,CQ之間的數量關系，并加以證明；

(2)當3(T<a<60。時，直接寫出線段CE,4C,CQ之間的數量關系.

圖1備用圖

28.對于平面直角坐標系xOy中的點

Q(x,y)(#0),將它的縱坐標y與橫坐標

x的比上稱為點。的“理想值”，記作.如。(-1,2)的“理想值"兒=2=-2.

X-1

(1)①假設點Q(l,a)在直線y=x-4上，那么點Q的“理想值〃等于；

②如圖，C(瓜I),0c的半徑為1.假設點Q在。C上，那么點。的“理想值”"的取值范圍

是.

(2)點。在直線y=-^x+3上，。。的半徑為1,點Q在。。上運動時都有OWL?！词?，求點。

的橫坐標X"的取值范圍；

(3)M(2,機)(w>0),。是以，?為半徑的。M上任意一點，當0WL°W2及時，畫出滿足條件的最

大圓，并直接寫出相應的半徑r的值.(要求畫圖位置準確，但不必尺規(guī)作圖)

北京市西城區(qū)2023年九年級模擬測試

數學試卷答案及評分標準2023.5

選擇題(此題共16分，每題2分)

題號12345678

答案ABCCDBCA

二、填空題(此題共16分，每題2分)

-342x+6y=170,

9.xW2.10.11.-K.12J,13.20.

8313x=8y.

14.答案不唯一，例如，將拋物線y=3(x+2)2-1先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到

拋物線y=3f+2.

15.54.16.(7,4).

三、解答題(此題共68分，第17~21題每題5分，第22、23題每題6分，第24題5分，第25、26題每

題6分，第27、28題每題7分)

17.解：6cos60°-V27+(7t-2)°-1V3-2|

=6xl-3^+l-(2-^)

2.......................................................................................4分

=2-2y/31.........................................................................................................................5分

X]

18.解方程：3+—!—=3.

x—22—x

解：去分母，Wx-l=3(x-2)........................................................................................1分

去括號，得工一1=3*—6?.......................................................................................2分

移項，得3x—x=6—1.

合并同類項，得2x=5?...........................................................................................3分

系數化為1,得x=*................................................................................................4分

2

,/ZA=66°,

???Zl=66°.2分

YNABC=90。，

???Z2=ZABC-Z1=24°.3分

圖1

,:AD=BC,

:.BD=BC.4分

：.ZC=Z3.

“=國產8。

5分

x2—6x+9

20.解:1-

x+2x+2

x-3x+2

----------X---------------3分

x+2(x-3)2?

1

分

=x^3'4

1

當x=-5口寸，原式=8-5分

21.(1)證明：如圖2.

CD_L4B于點于點8,

?-?ZCDA=ZDBE=90°?

工CD//BE.1分

又???BE=CD,

圖2

???四邊形為平行四邊形.2分

又?.?ZDBE=90。,

???四邊形CO8E為矩形.3分

(2)解：:四邊形CQ8E為矩形,

DE=BC.4分

,/在RlZVLBC中，ZACB=90°,CDLAB,

可得NACD=N1.

■:tanZAC￡>=-

2

/.tanZ1=tanZACD=—

2

在RtZvlBC中，ZAC3=90°,4c=2,tanZl=-,

2

，BC=-^-=4.

tanZ1

DE=BC=4.5分

22.解：⑴補全統(tǒng)計圖如圖3.

參觀人數I2013-2017年度中國國家博物館增長率

比例㈣2011-2017年北京故宮網絡售票占比統(tǒng)計圖(人次)參觀人數及年增長率統(tǒng)計圖(%)

1208200000

806000045

(100)40

1008000000

35

(77)30

807800000

763000025

76000007550000

60745000020

15

41.1474000007290000

406.810

72000005

(17.33)0

20月月7000000

810-5

Lg8g2底底

0-2f2017麗7°

2011201220132014201520162017時間2013201420152016

年底年底年底年底年底年底

圖3

4分

(2)答案不唯一，預估理由合理，支撐預估數據即可...................6分

23.解：⑴如圖4.

,/點A的坐標為A(T,〃)，點C與點A關于原點。對稱,

.?.點C的坐標為C(4,-“).

AB_Lx軸于點8,COLx軸于點

B,。兩點的坐標分別為3(T,0),￡>(4,0).

△ABD的面積為8,S.OTJ——ABxBD=—x(―〃)x8=-4/?,

22

-4n=8.

解得〃=-2................................................2分

V函數y='(x＜0)的圖象經過點A(T,〃)，

x

m—-4n=8............................................3分

(2)由(1)得點C的坐標為C(4,2).

①如圖4,當左＜0時，設直線y=丘+力與x軸，

y軸的交點分別為點g，

由CC_Lx軸于點?？傻肅D〃。耳.

△E,CD^AEtFtO.

.DCE、C

?,西=麗，

?/CF、=2CEi，

圖4

DC1

醞一3

OF}=3DC=6.

二點6的坐標為耳(0,6).

②如圖5,當左＞0時，設直線)=依+力與x軸，y軸的交點分別為

點E2,F2.

同理可得8〃0居，一:二，二.

OF2E2F2

??,CF2=2CE2,

?,?E2為線段的中點，E2C=E2F2.

?OF2=DC=2

點用的坐標為瑪(0,-2).................6分

綜上所述，點尸的坐標為片(0,6),6(0,-2).圖5

24.(1)證明：如圖6,連接OC,AC.

A8是。。的直徑，弦C￡>J_AB于點E,

:.CE=DE,AD=AC.

,:DC=AD,

：.DC=AD=AC.

???△ACO為等邊三角形.

ZD=ZDCA=Z￡>AC=60°.

???Zl=-ZDC4=30°.

2

■:FG//DA,

圖6

JNDCF+N￡>=180。.

???ZDCF=180°-Z￡)=120°.

，ZOCF=ZDCF-Zl=90°.

:.FGLOC.

：.FG與。O相切.3分

（2）解：如圖6,作尸G于點H.

設CE=a,那么DE=a,AD=2a.

,：A/與O。相切,

AFVAG.

XVDCVAG,

可得A尸〃。C.

又：FG//DA,

：.四邊形AFC。為平行四邊形.

,/DC=AD,AD=2a,

，四邊形AFCO為菱形.

，AF=FC=AD=2a,NAFC=N￡>=60。.

EH=CEsin600=—aCH=CE-cos600=-a

由（1）得NOCG=60。，2,2

FH=CH+CF=）a

2

在RtZ\EFH中，NEHF=90°,

百

,/口”EH3"V3

tanZ.EFC=----=——=——

FH—5a5

：.2.....................................................5分

25.解：(1)①斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等..............1分

②（應-1）《..............2分

③（無一I）%...........................3分

④（夜-1尸4.......................4分

(2)所畫正方形C"〃見圖7.

6分

26.解：如圖8.

圖7

(1)x=2.............................................1分

(2)V拋物線曠=以2-4雙+“-1的對稱軸為直線工;？，拋物線“與x軸的

交點為點A,B(點A在點B左側)，AB=2,

A,B兩點的坐標分別為A(1,O),8(3,0)..................................................2分

?點4在拋物線M上，

/.將A(l,0)的坐標代入拋物線的函數表達式，得a—4"+〃一1=0.

解得a=一■-.....................................................3分

2

y=--X2+2X--

???拋物線M的函數表達式為224分

⑶“4

27.解：⑴當0°<a<30°時,

①畫出的圖形如圖

示.?............1分

「△ABC為等邊三角形,

/4BC=60°.

1/CD為等邊三角形的中線,

。為線段上的點,

由等邊三角形的對稱性得QA=QB.

ZDAQ=a,

???ZABQ=ZDAQ=a9ZQBE=60°-a.

圖9

?；線段QE為線段QA繞點。順時針旋轉所得，

，QE=QA.

QB=QE.

可得ZBQE=180°-2ZQBE=180°-2<60°-?)=60°+2?..........2分

@CE+AC=y/3CQ................................................................................3分

證法一：如圖10,延長C4到點凡使得AF=CE,連接QF,作QHLAC于點H.

,?ZBQE=600+2a,點E在BC上,

ZQEC=ZBQE+ZQBE=(60°+2a)+(60°-a)=120°+?.

?.?點尸在C4的延長線上，ZDAQ=a,

：.ZQAF=ZBAF+ZDAQ^\20°+a.

，NQAF=NQEC.

又：AF=CE,QA=QE,

，/\QAF^/\QEC.

:.QF^QC.

:Q〃J_AC于點”，

，FH=CH,CF=2CH.

,：在等邊三角形ABC中，C￡＞為中線,

點。在CD上,

-ZACB

：.ZACQ=2=30°,圖10

B|JAgCF為底角為30。的等腰三角形.

CH=CQ-cosZHCQ=CQ-cos30°=^~-CQ

:.CE+AC=AF+AC=CF=2CH=>/3CQ

即CE+AC=gCQ.6分

思路二：如圖11,延長CB到點G,使得BG=CE,連接QG,可得

4QBG94QEC,ZXQCG為底角為30。的等腰三角形，與證法一

同理可得CE+AC=BG+