中考數(shù)學(xué)點(diǎn)對點(diǎn)-二元一次方程組及其應(yīng)用(解析版)

專題09二元一次方程組及其應(yīng)用專題知識(shí)點(diǎn)概述1．二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程整式方程叫做二元一次方程.一般形式是ax+by=c（a≠0,b≠0）。2．二元一次方程組：把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成一個(gè)二元一次方程組。3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。4．二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解。.解二元一次方程組的方法將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。（1）代入消元：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟（1）審：有什么，求什么，干什么；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)，并注意單位；（3）找：等量關(guān)系；（4）列：用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來；（5）解：解方程（組）．（6）驗(yàn)：檢驗(yàn)方程（組）的解是否符合實(shí)際題意.(7)答：完整寫出答案(包括單位).注意：找出相等關(guān)系“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”.有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等例題解析與對點(diǎn)練習(xí).、，一，，、，一、一一，、*r,l%+3y=4，①， ，、、，，一、，，一，，【例題1】(2020?嘉興)用加減消兀法解二兀一次方程組; , AA時(shí)，下列方法中無法消兀的12%-y=1②是()A.①X2-② B.②×(-3)-①C.①×(-2)+② D.①-②×3【答案】D【分析】方程組利用加減消元法變形即可.【解析】A.①X2-②可以消元x,不符合題意；B.②×(-3)-①可以消元y,不符合題意；C.①×(-2)+②可以消元x,不符合題意；D.①-②×3無法消元，符合題意.【對點(diǎn)練習(xí)】(2020年廣州模擬)解方程組：I'Hl.【答案】見解析。【解析】運(yùn)用加減消元解答即可.?κ-y=lΦ匕十3尸9②，②-①得，4y=2,解得y=2,把丫=2代入①得，x-2=1,解得x=3,故原方程組的解為」K二3y=2【點(diǎn)撥】本題利用加減消元解方程。【例題2】（2020?臺(tái)州）解方程組：X—y=1,3x+y=7.【答案】見解析。【分析】方程組利用加減消元法求出解即可.【解析】x—y=1①

、3x+y=7②'①+②得：4x=8,解得：x=2,把*=2代入①得：y=1,X=2則該方程組的解為［=2y=1?V【對點(diǎn)練習(xí)】（2020海南模擬）解方程組：（λ^+2j=O玄+4y=6【答案】見解析。【解析】根據(jù)二元一次方程組代入消元解方程即可.?+2y=0φ?+4y=?g）,由①得：x=-2y ③將③代入②得：3（-2y）+4y=6,解得：y=-3,將丫=-3代入③得：x=6,∕=6??原方程組的解為：V=-3【點(diǎn)撥】本題利用代入消元解方程?！纠}3】（2020?岳陽）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》上有這樣一個(gè)問題：“今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十．今將錢三十，得酒二斗．問醇、行酒各得幾何？”其大意是：今有醇酒（優(yōu)質(zhì)酒）1斗，價(jià)值50錢；行酒（劣質(zhì)酒）1斗，價(jià)值10錢．現(xiàn)用30錢，買得2斗酒．問醇酒、行酒各能買得多少？設(shè)醇酒為X斗，行酒為y斗，根據(jù)題意，可列方程組為..生、,(%+y=2【答案】｛50%+10y=30．【分析】根據(jù)“現(xiàn)用30錢，買得2斗酒”，即可得出關(guān)于X,y的二元一次方程組，此題得解.【解析】依題意,得：L+Λ=2y=30?故答案為：｛50χ^+10y=30?【對點(diǎn)練習(xí)】（2019年江蘇省淮安市）某公司用火車和汽車運(yùn)輸兩批物資，具體運(yùn)輸情況如下表所示：所用火車車皮數(shù)量（節(jié)） 所用汽車數(shù)量（輛）運(yùn)輸物資總量（噸）第一批 2 5 130第二批 4 3 218試問每節(jié)火車車皮和每輛汽車平均各裝物資多少噸？【答案】每節(jié)火車車皮裝物資50噸,每輛汽車裝物資6噸；【解析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用；能夠根據(jù)題意列出準(zhǔn)確的方程組,并用加減消元法解方程組是關(guān)鍵．設(shè)每節(jié)火車車皮裝物資X噸，每輛汽車裝物資y噸，根據(jù)題意，得Ξκ+5y=1304x+3y=ΞlΞ,??產(chǎn)5。，[y=6,?每節(jié)火車車皮裝物資50噸，每輛汽車裝物資6噸。【點(diǎn)撥】本題屬于二元一次方程組的應(yīng)用。專題點(diǎn)對點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題（2020?齊齊哈爾）母親節(jié)來臨，小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物.已知康乃馨每支2元，百合每支3元.小明將30元錢全部用于購買這兩種花（兩種花都買），小明的購買方案共有（）A.3種 B.4種 C.5種 D.6種【答案】B【分析】設(shè)可以購買X支康乃馨，y支百合，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程，結(jié)合X,y均為正整數(shù)即可得出小明有4種購買方案.【解析】設(shè)可以購買X支康乃馨，y支百合，依題意，得：2x+3y=30,2?y=10—3X.???χ,y均為正整數(shù)，（X=3P:=6P:=9產(chǎn)=12?｛y=8，｛y=6，｛y=4，｛y=2，?小明有4種購買方案.（2019廣西賀州）已知方程組尸"卡'=3,則2%+6y的值是（ ）[X-2y=5A.-2 B.2 C.-4 D.4【答案】C【解析】兩式相減，得％+3y=-2,.?.2（%+3y）=—4，即2%+6y=-4，故選：C3.（2019湖南邵陽）某出租車起步價(jià)所包含的路程為0~2km，超過2km的部分按每千米另收費(fèi).津津乘坐這種出租車走了7km，付了16元；盼盼乘坐這種出租車走了13km，付了28元.設(shè)這種出租車的起步價(jià)為%元，超過2km后每千米收費(fèi)y元，則下列方程正確的是（ ）B．%+(7-2)y=16%+13y=28CI%+7y=16?I%+(13-2)y=28D．%+(7-2)y=16%+(13-2)y=28【答案】D【解析】設(shè)這種出租車的起步價(jià)為%元，超過2km后每千米收費(fèi)y元,則所列方程組為%+(7-2)y=16%+(13-2)y=28I%+7y=16A,]I%+13y=284. （2019黑龍江省龍東地區(qū)）某學(xué)校計(jì)劃用34件同樣的獎(jiǎng)品全部用于獎(jiǎng)勵(lì)在“經(jīng)典誦讀”活動(dòng)中表現(xiàn)突出的班級，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)6件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)4件，則分配一、二等獎(jiǎng)個(gè)數(shù)的方案有（）A.4種 B.3種 C.2種 D.1種【答案】B【解析】根據(jù)題意可列二元一次方程，再根據(jù)問題的實(shí)際意義，取正整數(shù)解即可.設(shè)分配一等獎(jiǎng)X個(gè)，二等獎(jiǎng)y個(gè)，依題意得6x+4y=34,其正整數(shù)解有1%=1Iy=7y二4,1y15,故選b.5.（2019吉林長春）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞,人出九,盈十一；人出六,不足十六.問人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買雞,每人出九錢,會(huì)多出11錢；每人出6錢，又差16錢.問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為X,買雞的錢數(shù)為y,可列方程組為?9x+ll=y J9x-ll=y?6x+?6=y [6x-16=j【答案】D.【解析】設(shè)人數(shù)為χ,買雞的錢數(shù)為y,可列方程組為：[9x-ll=j

∣6x+16=)二、填空題9x-11=j6x+16=j9x+l?=y6x-16=y(X+3y=-1,(2020?南京)已知x、y滿足方程組I ，則x+y的值為 2%+y=3,【答案】1【分析】求出方程組的解，代入求解即可.r族垢1f%+3y=-1①【斛析】??9,[2x+y=3(2)①X2-②得：5y=-5,解得：y=-1,①-②義3得：-5x=-10,解得：x=2,貝IJx+y=2-1=1,故答案為1.γ—V=I(2020?北京)方程組3%；y=7的解為V.”一?【答案】:二「y—lV【分析】方程組利用加減消元法求出解即可.【解析】‘％—y=1①3x+y=7②,①+②得：4x=8,解得：x=2,把*=2代入①得：y=1,X2則方程組的解為｛X=1.y—1X.8.（2020?無錫）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，若將繩四折測之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺，井深幾尺？則該問題的井深是一尺.【答案】8【分析】可設(shè)繩長為X尺，井深為y尺，根據(jù)等量關(guān)系：①繩長的1-井深=4尺；②繩長的1-井深=1尺；3 4列出方程組求解即可.【解析】設(shè)繩長是X尺，井深是y尺，依題意有λf?X—y—43<1x—y—14J解得"86.V故井深是8尺.fx=1（2019江蘇常州）若1 C是關(guān)于x、y的二元一次方程ax+y=3的解，則a= Iy=2【答案】1【解析】本題考查了二元一次方程的解的定義，Ix=1將1 小代入方程ax+y=3,得a+2=3,a=1,Iy=2因此本題答案為1．（2019?湖南張家界）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”．意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？根據(jù)題意得，長比寬多步.【答案】12．【解析】二元方程組的應(yīng)用；整體思想；完全平方公式。（xy=864設(shè)矩形的長為X步，寬為y步，根據(jù)題意，得《 ,n,[X+y=60從而（x+y）2-4xy=602-4×864=3600-3456=144,即（x—y）2=144,于是，χ-y=i2.三、應(yīng)用題(2%+4y=5,(2020?連云港)解方程組］(%=1-y.【答案】見解析?！痉治觥堪呀M中的方程②直接代入①，用代入法求解即可.【解析】2%+4y=5①x=1-y②把②代入①，得2(1-y)+4y=5,解得y=2.乙把丫二,代入②，得χ=-1.原方程組的解為.%=一

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iy=21212.（2020?樂山）解二元一次方程組：'2%+y=2,8x+3y=9.【答案】見解析?！痉治觥糠匠探M利用加減消元法與代入消元法求出解即可.【解析】｛2χ+yy-=2?,法1：②-①×3,得2x=3,3解得：x=2,把乂：,代入①，得y=-1,3???原方程組的解為H；法2：由②得：2x+3(2x+y)=9,把①代入上式，解得：x=2,把乂/代入①，得y=-1,???原方程組的解為3

[y:-1?13.（2019年福建省）解方程組K-V=5Ξx+y=4【答案】方程組的解為z=3V=-Ξ**【解析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.方程組利用加減消元法求出解即可．?耳-y=5①（2,十尸4②‘①+②得：3χ=9,即χ=3,把乂=3代入①得：y=-2,則方程組的解為.f3κ-4（κ-Ξy）=5r（2019年麗水）解方程組[χ-Ξy=l.【答案】'{I；【解析】根據(jù)二元一次方程組的解法，先將式子①化簡，再用加減消元法（或代入消元法）求解；r3κ-4（χ-Ξy）=5j①[工-%=1②. '將①化簡得：-x+8y=5③，②+③，得y=l,將y=ι代入②，得χ=3,I7=1（2019年山東濰坊）己知關(guān)于X,y的二元一次方程組!”一3曠5的解滿足χ>y,求k的取值范圍.[κ~Ξy=k【答案】k<5.【解析】先用加減法求得χ-y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可.?2芯-3產(chǎn)5①匕-2y=k②①-②得：χ-y=5-k,???x〉y,.?.x-y>0..?.5-k>0.解得：k<5.(2020?江西)放學(xué)后，小賢和小藝來到學(xué)校附近的地?cái)偵腺徺I一種特殊型號的筆芯和卡通筆記本，這種筆芯每盒10支，如果整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元．小賢要買3支筆芯，2本筆記本需花費(fèi)19元；小藝要買7支筆芯，1本筆記本需花費(fèi)26元.(1)求筆記本的單價(jià)和單獨(dú)購買一支筆芯的價(jià)格；(2)小賢和小藝都還想再買一件單價(jià)為3元的小工藝品，但如果他們各自為要買的文具付款后，只有小賢還剩2元錢.他們要怎樣做才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品，請通過運(yùn)算說明.【答案】見解析。【分析】(1)設(shè)筆記本的單價(jià)為X元，單獨(dú)購買一支筆芯的價(jià)格為y元，根據(jù)“小賢要買3支筆芯，2本筆記本需花費(fèi)19元；小藝要買7支筆芯，1本筆記本需花費(fèi)26元”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；(2)先求兩人帶的總錢數(shù)，再求出兩人合在一起買文具所需費(fèi)用，由二者的差大于2個(gè)小工藝品所需錢數(shù)，可找出：他們合在一起購買，才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品.【解析】(1)設(shè)筆記本的單價(jià)為X元，單獨(dú)購買一支筆芯的價(jià)格為y元,>舊*,口(2%+3y=19依題意,得：｛%+7yL26，解得：｛13?答：筆記本的單價(jià)為5元，單獨(dú)購買一支筆芯的價(jià)格為3元.(2)小賢和小藝帶的總錢數(shù)為19+2+26=47(元).兩人合在一起購買所需費(fèi)用為5×(2+1)+(3-0.5)×10=40(元).?.?47-40=7（元），3X2=6（元）,7>6,???他們合在一起購買，才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品.17.（2019年山東煙臺(tái)）亞洲文明對話大會(huì)召開期間，大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作．某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體