黑龍江省哈爾濱市第五十八中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

黑龍江省哈爾濱市第五十八中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則與故事情節(jié)相吻合是(

)參考答案：B2.若定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（）A

B

C

D

參考答案：D3.設(shè),二次函數(shù)的圖像可能是（

）參考答案：D略4.冪函數(shù)y=xa（α是常數(shù)）的圖象（）A．一定經(jīng)過點(diǎn)（0，0） B．一定經(jīng)過點(diǎn)（1，1）C．一定經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1） D．一定經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣1）參考答案：B【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的圖象．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，則y=1α=1，因此冪函數(shù)y=xa（α是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過（1，1）點(diǎn)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)及1α=1是解題的關(guān)鍵．5.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A．

B．C．

D．參考答案：A6.下列命題正確的是()A．單位向量都相等B．若與共線，與共線，則與共線C．若，則D．若與都是單位向量，則參考答案：CA選項(xiàng)，單位向量模相等，但方向不一定相同，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，對(duì)等式兩邊平方，易得，故C正確；D選項(xiàng)，與夾角為60°時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C

7.已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S﹣ABC的體積為（）A．3 B．2 C． D．1參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】設(shè)球心為點(diǎn)O，作AB中點(diǎn)D，連接OD，CD，說明SC是球的直徑，利用余弦定理，三角形的面積公式求出S△SCD，和棱錐的高AB，即可求出棱錐的體積．【解答】解：設(shè)球心為點(diǎn)O，作AB中點(diǎn)D，連接OD，CD因?yàn)榫€段SC是球的直徑，所以它也是大圓的直徑，則易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2則：SA=SB，AC=BC因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于點(diǎn)D所以：AB⊥平面SCD即：棱錐S﹣ABC的體積：V=AB?S△SCD，因?yàn)椋篠D=，CD=，SC=4所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==則：sin∠SDC==由三角形面積公式得△SCD的面積S=SD?CD?sin∠SDC==3所以：棱錐S﹣ABC的體積：V=AB?S△SCD==故選C8.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是

()

A．

B．C．

D．參考答案：C略9.已知△ABC中，A、B、C分別是三個(gè)內(nèi)角，已知=(a–b)sinB，又△ABC的外接圓半徑為，則角C為（）A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：解析：C

，故R2(sin2A–sin2C)=(a–b)RsinB，即a2–c2=(a–b)b，a2+b2–c2=ab，cosC=，C=60°.10.函數(shù)在以下哪個(gè)區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于下列命題：①函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)；②函數(shù)是偶函數(shù)；③函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是；④函數(shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù)．寫出所有正確的命題的序號(hào)：

．參考答案：③④略12.已知函數(shù)，同時(shí)滿足：；，，，求的值.參考答案：解析：令得：.再令，即得.若，令時(shí)，得不合題意，故；

，即，所以；

那么，13.某航空公司規(guī)定，乘客所攜帶行李的重量(kg)與其運(yùn)費(fèi)(元)由圖所示的函數(shù)圖象確定，那么乘客免費(fèi)可攜帶行李的最大重量為

參考答案：略14.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，則角C＝________．參考答案：由1＋＝和正弦定理得，cosA＝，∴A＝60°．由正弦定理得，＝，∴sinC＝．又c<a，∴C<60°，∴C＝45°．

15.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a＝

.若要從身高在[120,130），[130，140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為

.參考答案：，316.甲、乙兩個(gè)箱子里各裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)箱子中隨機(jī)各取一個(gè)球，則至少有一個(gè)紅球的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】至少有一個(gè)紅球的對(duì)立事件為取到兩個(gè)白球，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有一個(gè)紅球的概率．【解答】解：∵甲、乙兩個(gè)箱子里各裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)箱子中隨機(jī)各取一個(gè)球，至少有一個(gè)紅球的對(duì)立事件為取到兩個(gè)白球，∴至少有一個(gè)紅球的概率為：p=1﹣=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．17.在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，則A=

．參考答案：60°【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴根據(jù)余弦定理得：cosA===，又A為三角形的內(nèi)角，則A=60°．故答案為：60°【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了整體代入得數(shù)學(xué)思想，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量=（1，），=（﹣2，0）．（1）求|﹣|；（2）求向量﹣與的夾角；（3）當(dāng)t∈R時(shí)，求|﹣t|的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）由向量的加減運(yùn)算和向量的模的公式，計(jì)算即可得到所求值；（2）求得（﹣）?=2﹣?=6，由向量的數(shù)量積的夾角公式，計(jì)算即可得到所求值；（3）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，化簡(jiǎn)可得關(guān)于t的二次函數(shù)，配方即可得到最小值，即可得到所求范圍．【解答】解：（1）由向量=（1，），=（﹣2，0），所以﹣=（1，）﹣（﹣2，0）=（3，），|﹣|==2；（2）由（﹣）?=2﹣?=4﹣（﹣2）=6，可得cos＜（﹣），＞===，由0≤＜（﹣），＞≤π，所以向量﹣與的夾角為；（3）因?yàn)閨﹣t|2=2﹣2t?+t22=4t2+4t+4=4（t+）2+3，當(dāng)t=﹣時(shí)，上式取得最小值3．所以當(dāng)t∈R時(shí)，|﹣t|的取值范圍是．19.已知全集，若，，求實(shí)數(shù)、的值。參考答案：因?yàn)?，，所以?/p>

由已知得，解得。

因此，或，。20.（12分）已知：函數(shù)

，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)函數(shù)．（1）求、的值及函數(shù)的解析式；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）如果關(guān)于的方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（1），（4分）（2）（4分）（3）（4分）

略21.如圖所示，近日我漁船編隊(duì)在島A周圍海域作業(yè)，在島A的南偏西20°方向有一個(gè)海面觀測(cè)站B，某時(shí)刻觀測(cè)站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊(duì)靠近，現(xiàn)測(cè)得與B相距31海里的C處有一艘海警船巡航，上級(jí)指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小時(shí)的速度向島A直線航行以保護(hù)我漁船編隊(duì)，30分鐘后到達(dá)D處，此時(shí)觀測(cè)站測(cè)得B，D間的距離為21海里．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)試問海警船再向前航行多少分鐘方可到島A？參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分鐘即可到達(dá)島.【分析】(Ⅰ)在中，根據(jù)余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式計(jì)算，中，由正弦定理可得長(zhǎng)度，最后得到時(shí)間.【詳解】(Ⅰ)由已知可得，中，根據(jù)余弦定理求得，∴．(Ⅱ)由已知可得，∴．中，由正弦定理可得，∴分鐘．即海警船再向前航行22.5分鐘即可到達(dá)島．【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的建模能力，實(shí)際應(yīng)用能力和計(jì)算能力.22