山東省濰坊市四縣高三下學(xué)期5月高考模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年全國普通高考模擬試題數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i為虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】解：由，得，故選：B2.已知集合，，則集合B中所有元素之和為（）A.0 B.1 C.－1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列式求得的值，即可得出答案.【詳解】根據(jù)條件分別令，解得，又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故選：C．3.已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，列出等量關(guān)系，即可求解.【詳解】圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖如圖所示，設(shè)點(diǎn)為球心，內(nèi)切球半徑為，為切點(diǎn)，，由條件可知，，所以，中，，即，解得，所以圓錐內(nèi)切球表面積.故選：B4.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù).【詳解】求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù).由，得或，解得：或或，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：A.5.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖所示，這是一個(gè)“阿基米德多面體”花崗巖石凳，它是將正方體沿交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此截去八個(gè)三棱錐得到．已知此石凳的體積為，則此石凳的棱長(zhǎng)（單位：cm）為（）A.15 B. C.20 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則石凳的棱長(zhǎng)為，根據(jù)石凳的體積得到方程，求出的值，即可得解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則石凳的棱長(zhǎng)為，因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為，解得，所以石凳的棱長(zhǎng)為.故選：B6.數(shù)列1，3，2，…中，，則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】利用推導(dǎo)出，即數(shù)列具有周期，利用數(shù)列的周期性可求得和的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列的周期為6，因?yàn)?，，所以，，所?故選：C7.已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，為奇函數(shù)，關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由為奇函數(shù)得，由關(guān)于直線對(duì)稱得為偶函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A，由為偶函數(shù)滿足即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由得即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，由偶函數(shù)的對(duì)稱性得到切線的對(duì)稱性，從而得到導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，由得到的對(duì)稱性，從而得到導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可判斷.【詳解】解法一：由為奇函數(shù)得，令，則，所以，即，所以；因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，所以.對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，由得，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榈膱D像關(guān)于軸對(duì)稱，所以軸左右兩邊對(duì)稱點(diǎn)的切線關(guān)于軸對(duì)稱，所以切線的斜率互為相反數(shù)，即，所以，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋躁P(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)?，所以和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以在和處切線的斜率相等，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：D.8.已知雙曲線（）的左焦點(diǎn)為F，過F的直線交E的左支于點(diǎn)P，交E的漸近線于點(diǎn)M，N，且P，M恰為線段FN的三等分點(diǎn)，則雙曲線E的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，設(shè)，從而可得出的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在漸近線上，求出，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線，得出的齊次式即可得解.【詳解】由題意，點(diǎn)在漸近線上，點(diǎn)在漸近線上，設(shè)，因?yàn)镻，M恰為線段FN的三等分點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則，則，即，又點(diǎn)在漸近線上，所以，所以，故，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線，所以，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，由為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，得出的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在漸近線上，求出，是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.統(tǒng)計(jì)學(xué)是源自對(duì)國家的資料進(jìn)行分析，也就是“研究國家的科學(xué)”．一般認(rèn)為其學(xué)理研究始于希臘的亞里士多德時(shí)代，迄今已有兩千三百多年的歷史．在兩千多年的發(fā)展過程中，將社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象量化的方法是近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要特征．為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)有了自己研究問題的參數(shù)，比如：均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差．一組數(shù)據(jù)：（）記其均值為m，中位數(shù)為k，方差為，則（）A.B.C.新數(shù)據(jù)：的均值為m＋2D.新數(shù)據(jù)：的方差為【答案】CD【解析】【分析】利用中位數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；舉反例可判斷B選項(xiàng)；利用均值和方差公式可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因，樣本數(shù)據(jù)最中間的項(xiàng)為和，由中位數(shù)的定義可知，，A錯(cuò)；對(duì)于B，不妨令，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)據(jù)的均值為：，C正確；對(duì)于D，數(shù)據(jù)的均值為：，其方差為，D對(duì).故選：CD10.已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，則（）A.若O為AD中點(diǎn)，則B.若O為AD中點(diǎn)，則C.若O為△ABC的重心，則D.若O為△ABC的外心，且BC＝4，則【答案】ABD【解析】【分析】由為中點(diǎn)，結(jié)合平面向量的加法法則即可判斷A，B；由重心的性質(zhì)即可判斷C；由三角形外心性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積公式判斷D．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，由為中點(diǎn)，則，故B正確；對(duì)于C，由O為△ABC的重心，則根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若點(diǎn)O為△ABC的外心，BC＝4，則根據(jù)三角形外心的性質(zhì)得，故，故D正確．故選：ABD．11.已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，，，則以下說法正確的是（）A.若直線AB與圓C相切，則B.若以A，B為直徑的圓與圓C相切，則C.若，則D.當(dāng)時(shí)，的最小值為34【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相切，可得圓心到直線的距離即為半徑，進(jìn)而即可判斷A；根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，分圓與外切和內(nèi)切兩種情況討論即可判斷B；設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得到，即圓C與有交點(diǎn)，進(jìn)而即可判斷C；設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(為參數(shù))，從而得到其中，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，由，，則直線AB的方程為，所以圓的圓心到直線AB的距離為，又直線AB與圓C相切，所以，故A正確；對(duì)于B，由，，則以A，B為直徑的圓方程為：，所以圓的圓心到圓的圓心的距離為5，當(dāng)圓與外切時(shí)，有，得，當(dāng)圓與內(nèi)切時(shí)，有，得，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，所以，即，所以圓C與有交點(diǎn)，所以結(jié)合選項(xiàng)B可得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(為參數(shù))，則，，所以，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為34，故D正確．故選：ACD．12.設(shè)函數(shù)其中，．若，，且相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離大于，，設(shè)，則（）A. B.C.在上單調(diào)遞減 D.在上存在唯一極值點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意求得，由，求得，得到或，當(dāng)時(shí)，求得，得到，進(jìn)而得到，所以不符合題意，，求得，可判定A不正確；由時(shí)，求得，進(jìn)而可判定B正確；求得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可判定C正確、D錯(cuò)誤.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)榍?，可得，可得，所以因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)極值點(diǎn)之間的距離大于，可得，解得，所以，可得，可得或，當(dāng)時(shí)，，可得，則，可得，即因?yàn)?，所以，所以，可得，則，因?yàn)椋圆环项}意，（舍去），所以，所以A不正確；當(dāng)時(shí)，可得，解得，因?yàn)?，所以，所以B正確；由，可得，所以，其中，因?yàn)椋傻?，又由，可得，根?jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以C正確；由，可得，因?yàn)?，可得且，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得極小值，所以在上存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，所以D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某高中學(xué)校共有學(xué)生3600人，為了解某次數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽的得分情況，采用分層抽樣的方法從這3600名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為48的樣本，若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)組成一個(gè)以4為公差的等差數(shù)列，則該學(xué)校高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為______人．【答案】1500【解析】【分析】由等差數(shù)列與分層抽樣的概念求解即可.【詳解】設(shè)從高二抽取的人數(shù)為，則高一抽取的人數(shù)為，高三抽取的人數(shù)為.所以，解得，所以高三年級(jí)抽取了20人，由分層抽樣的概念可知高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為：.故答案為：1500.14.若，則______．【答案】【解析】【分析】分別令，和求出即可求解.【詳解】令得，所以，令得，所以，而，所以.故答案為：.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線定義求出以及點(diǎn)到軸的距離，從而表示出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由得，由題意知直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立消去得，則由韋達(dá)定理得，所以，所以，所以，又點(diǎn)到軸的距離，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.16.已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為______．【答案】或【解析】【分析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，根據(jù)體積公式計(jì)算得到，建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：將四面體放入長(zhǎng)方體中，，解得，故，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，或，或，，異面直線AD與BC所成的角的大小為，，，；或，；綜上所述：異面直線AD與BC所成的角的大小為或.故答案為：或四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可證得數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再由n≥2時(shí)，，兩式相減即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再檢驗(yàn)也符合；（2）由（1）求出，再由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．【小問1詳解】由于，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)n≥2時(shí)，，所以，也符合上式，所以【小問2詳解】由（1）可得：，，，兩式相減得，所以．18.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若△ABC的面積為，點(diǎn)D在線段BC上，且，求AD的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理的邊化角及兩角和的正弦公式代入化簡(jiǎn)已知式即可得出答案；（2）由三角形的面積公式可求出，再由，兩邊同時(shí)平方結(jié)合基本不等式即可得出AD的最小值.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】由（1），所以，所以．點(diǎn)D在線段BC上，且，所以，則，所以．當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立．所以AD的最小值為．19.如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面⊙O的內(nèi)接正三角形，．（1）劣弧上是否存在點(diǎn)D，使得平面？若存在，求出劣弧的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）求平面和平面所成角的正弦值．【答案】（1）存在，劣弧長(zhǎng)度為（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理即可證明平面；求出⊙O的半徑，再由弧長(zhǎng)公式即可得出答案；（2）如圖取BC的中點(diǎn)為M，連接MA，以MB為x軸，MA為y軸，過M作OO1平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.【小問1詳解】如圖過點(diǎn)O作AB平行線OD交劣弧于點(diǎn)D，連接，，因?yàn)椋矫?，平面，則平面，同理可證平面，，且平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面故存在點(diǎn)D滿足題意．因?yàn)闉榈酌妗袿的內(nèi)接正三角形，所以，即，又因?yàn)椋浴袿的半徑為，所以劣弧長(zhǎng)度為；【小問2詳解】如圖取BC的中點(diǎn)為M，連接MA，以MB為x軸，MA為y軸，過M作OO1平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)?，設(shè)AB中點(diǎn)為N．故，，，，，，易知平面，所以平面的法向量．設(shè)平面的法向量為，又因?yàn)?，，故即令得所以平面和平面夾角的余弦值為．故平面和平面夾角的正弦值為．20.從某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該企業(yè)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算，若，令，則，且．（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）若質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間內(nèi)的為合格品，其余為不合格品，為了保證出廠產(chǎn)品質(zhì)量，需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢查，但直接檢查帶有破壞性，現(xiàn)在嘗試一種新的檢查方法，經(jīng)試驗(yàn)知一件合格品經(jīng)檢查而獲準(zhǔn)出廠的概率是，一件不合格品經(jīng)檢查而獲準(zhǔn)出廠的概率是，求采用新的檢查方法后，獲準(zhǔn)出廠的產(chǎn)品是合格品的概率為多少（精確到）？參考數(shù)據(jù)：，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表α【答案】（1），（2）（?。唬áⅲ窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)和方差的公式即可求解；（2）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性和條件概率即可求解.【小問1詳解】平均數(shù)，．【小問2詳解】（?。?，（ⅱ）設(shè)A表示產(chǎn)品為合格品，B表示產(chǎn)品獲準(zhǔn)出廠，則：，，，，故獲準(zhǔn)出廠的產(chǎn)品是合格品的概率為：.21.已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，C的短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且，點(diǎn)P滿足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意先得a＝2，再由C的短軸兩個(gè)頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形計(jì)算得b＝1即可；（2）確定P的軌跡為以AB為直徑的圓，設(shè)圓心為M，由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為，再分類討論l斜率存在的情況，斜率不存在時(shí)顯然|OP|＝1，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程并與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理求OM最值即可.【小問1詳解】由題意知，2a＝4，所以a＝2，設(shè)C的短軸兩個(gè)頂點(diǎn)為DE，左焦點(diǎn)為F1，因?yàn)镃的短軸兩個(gè)頂