直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 全市一等獎(jiǎng)

第3課時(shí)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系(二)第二章

2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1題型探究PARTONE一、弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；解

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，解設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).∴k＝±1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.∴直線(xiàn)l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.反思感悟求弦長(zhǎng)的兩種方法(1)求出直線(xiàn)與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng).跟蹤訓(xùn)練1

已知斜率為1的直線(xiàn)l過(guò)橢圓

＋y2＝1的右焦點(diǎn)F，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).解設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，二、中點(diǎn)弦問(wèn)題例2

已知橢圓

的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，求直線(xiàn)AB的方程.解

方法一(根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式法)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，知直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y－1＝k(x－2).將其代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，又M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，方法二(點(diǎn)差法)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(jìn)(2,1)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.故所求直線(xiàn)的方程為x＋2y－4＝0.反思感悟解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.①②√解析

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，①②三、與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題例3

已知橢圓C：4x2＋y2＝1.(1)P(m，n)是橢圓C上一點(diǎn)，求m2＋n2的取值范圍；解方法一m2＋n2表示原點(diǎn)O到橢圓C上點(diǎn)P的距離的平方，又∵P(m，n)是橢圓C上的一點(diǎn)，∴4m2＋n2＝1，∴m2＋n2＝m2＋1－4m2＝1－3m2，方法二m2＋n2即為P到原點(diǎn)距離的平方，∵P為橢圓上的點(diǎn)，∴(m2＋n2)max＝12＝1，(2)設(shè)直線(xiàn)y＝x＋m與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值及△AOB面積最大時(shí)的直線(xiàn)方程.將y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，反思感悟求最值問(wèn)題的基本策略(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值問(wèn)題，一般通過(guò)橢圓的定義把折線(xiàn)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PA|＋|PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值問(wèn)題，一般通過(guò)二次函數(shù)的最值求解，此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍.(3)求解形如ax＋by的最值問(wèn)題，一般通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)問(wèn)題解決.(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍.又－6≤m≤6，解得m＝2，所以點(diǎn)M(2,0).設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離為d，有由于－6≤x≤6.2隨堂演練PARTTWO123451.若直線(xiàn)l：2x＋by＋3＝0過(guò)橢圓C：10x2＋y2＝10的一個(gè)焦點(diǎn)，則b等于A.1 B.±1 C.－1 D.±2√12345√12345設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，123453.已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程是A.x＋2y－3＝0 B.2x＋y－3＝0C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0√12345解析由題意易知所求直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線(xiàn)方程為y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，123454.點(diǎn)P為橢圓

上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則

的最大值為A.2 B.3 C.4 D.不存在√12345由題意得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，1234512345解析

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，123451.知識(shí)清單：(1)根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用.(2)中點(diǎn)弦的問(wèn)題及方法.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程.3.常見(jiàn)誤區(qū)：在聯(lián)立方程后忽略對(duì)判別式的檢驗(yàn).課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE3課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTTHREE基礎(chǔ)鞏固√141234567891011121315161718得3x2＋4x＝0，1412345678910111213151617182.已知F是橢圓

的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過(guò)橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為A.6 B.15 C.20 D.12√141234567891011121315161718√141234567891011121315161718解析設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，141234567891011121315161718√141234567891011121315161718即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，141234567891011121315161718√141234567891011121315161718141234567891011121315161718141234567891011121315161718解析由已知可得直線(xiàn)方程為y＝2x－2，|OF|＝1，141234567891011121315161718141234567891011121315161718不妨設(shè)直線(xiàn)l過(guò)右焦點(diǎn)，傾斜角為45°，直線(xiàn)l的方程為y＝x－1.即3x2－4x＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，141234567891011121315161718141234567891011121315161718解析兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)是－c，c，兩邊乘以2a2b2，則c2(2b2＋a2)＝2a2b2，∵b2＝a2－c2，c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，2a4－5a2c2＋2c4＝0，

(2a2－c2)(a2－2c2)＝0，1412345678910111213151617189.已知橢圓

的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1的一條直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn).(1)求△ABF2的周長(zhǎng)；由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.141234567891011121315161718(2)若直線(xiàn)AB的傾斜角為

，求弦長(zhǎng)|AB|.141234567891011121315161718解由(1)可得F1(－1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直線(xiàn)AB的方程為y＝x＋1，141234567891011121315161718141234567891011121315161718141234567891011121315161718解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，141234567891011121315161718141234567891011121315161718解顯然直線(xiàn)AB的斜率不為0，設(shè)AB的方程為x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0，141234567891011121315161718解得t2＝1，∴直線(xiàn)方程為x＝±y－1，即y＝x＋1或y＝－x－1.141234567891011121315161718綜合運(yùn)用√141234567891011121315161718因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，又因?yàn)殚L(zhǎng)軸為橢圓中最長(zhǎng)的一條弦，所以符合條件的直線(xiàn)只有1條.141234567891011121315161718√141234567891011121315161718所以當(dāng)h＝b＝1時(shí)，

取最大值，此時(shí)∠F1PF2＝120°.141234567891011121315161718√141234567891011121315161718解析設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線(xiàn)l的方程為y＝x＋t，141234567891011121315161718141234567891011121315161718141234567891011121315161718整理得b2＝3a2－4c2，所以a2－c2＝3a2－4c2，141234567891011121315161718解析由題意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因?yàn)閨BF2|＋|AF2|的最大值為5，所以AB的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，取得最小值，15.已知橢圓

(0<b<2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是_______.141234567891011121315161718141234567891011121315161718解析

易知a>0，b>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，②－①，得a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－