大二概率論第二章5節(jié)

§2.5

常用連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、貝塔分布。2.5.1

正態(tài)分布本書第四章的中心極限定理表明：一個變量如果是由大量微小的、獨立的隨機因素的疊加結(jié)果，那么這個變量一定是正態(tài)變量。因此很多隨機變量可以用正太分布描述或近似描述，譬如測量誤差、產(chǎn)品重量、人的身高、年降雨量等都可用正態(tài)分布描述。記為X

~

N(m,s2),122s(x-m)2

p(x)

=exp-2ps,

-￥

<

x

<￥其中s

>0，m

是任意實數(shù).m

是位置參數(shù).s

是尺度參數(shù).一、正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)yxOμp(x)x0

μσ小σ大

p(x)關(guān)于m

是對稱的.在m

點p(x)取得最大值.若s

固定,m

改變,p(x)左右移動,形狀保持不變.(3)

若m

固定,s

改變,s

越大曲線越平坦;s

越小曲線越陡峭.正態(tài)分布的性質(zhì)：p(x)x02(1)

F

(0)

=

1

,x-xF

(-x)1

-F

(

x)二、標準正態(tài)分布N(0,

1)密度函數(shù)記為j(x),分布函數(shù)記為F

(x).(2)

F

(

-

x)

=

1

-

F

(x)F

(x)的計算x

?

0

時,

查標準正態(tài)分布函數(shù)表.x

<

0時,

用F

(x)

=

1

-

F

(

-

x).若

X

~

N(0,

1),

則P(X

￡

a)

=

F

(a);P(X>a)

=1-F

(a);P(a<X<b)

=

F

(b)-F

(a);若a

?

0,

則P(|X|<a)

=

P(-a<X<a)

=

F

(a)-F

(-a)=

F

(a)-

[1-

F

(a)]

=

2F

(a)-1例2.5.1

設(shè)

X

~

N(0,

1),

求P(X>-1.96)

,

P(|X|<1.96)解:

P(X>-1.96) =

1-

F

(-1.96)=

1-(1-

F

(1.96)) =

F

(1.96)=0.975

(查表得)P(|X|<1.96)

=

2

F

(1.96)-1=

2

·0.975-1 =

0.95三、一般正態(tài)分布的標準化s定理2.5.1

設(shè)

X

~

N(m,

s

2),

Y

=

X

-m

,則Y

~

N(0,

1).推論:

若

X

~

N(2m,s

),

則sx-mF(x)

=F

設(shè)X

~

N(10,

4),求

P(10<X<13),P(|X-10|<2).解:

P(10<X<13)

=

F

(1.5)-F

(0)=

0.9332

-

0.5 =

0.4332P(|X

-10|<2)

=

P(8<X<12)=

2F

(1)-1

=

0.6826例2.5.3設(shè)

X

~

N(m

,

s

2),

則隨s

的增大，概率P{|

X-m

|<s

}①單調(diào)增大③保持不變(

③

)②單調(diào)減少④增減不定課堂練習(xí)五、正態(tài)分布的3s

原則設(shè)

X

~

N(m,

s2),

則P(

|

X-m

|

<

s

)

=

0.6828.P(

|

X-m

|

<

2s

)

=

0.9545.P(

|

X-m

|

<

3s

)

=

0.9973.記為X

~

U(a,b)1a<x<bp(x)

=

b-a

,

0,其它0,1,x

<aa

￡

x

<bb

￡

x

x

-aF

(

x)

=

b

-a

,2.5.2

均勻分布2.5.3

指數(shù)分布0,x>0x￡0l

e-l

x

,p(x)

=

0,x>0x￡01-

e-l

x

,F

(x)

=

記為

X

~

Exp(l),

其中l(wèi)

>0.特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：P(

X

>

s+t

|

X

>

s

)=P(

X

>

t

)例2.5.5

如果某設(shè)備在任何長度為t的時間[0，t]內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)λt的泊松分布，則相繼兩次故障之間間隔T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布2.5.4

伽瑪分布記為X

~

Ga(a,l),laxa

-1e-lx

,p(x)

=x

?

0G(a

)其中a

>0，l

>0.為伽瑪函數(shù).0e

dxa

-1

-x+￥G(a

)

=

x稱2.5.5

貝塔分布1B(a,b)p(x)

=xa-1(1-

x)b-1,

0

<

x

<1記為

X

~

B(a,

b),

其中a

>0，b

>0.稱10B(a,

b)

=xa

-1(1-x)b

-1dx為貝塔函數(shù).常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望正態(tài)分布N(m,s2):均勻分布U(a,b):指數(shù)分布Exp(l):伽瑪分布Ga(a,l):貝塔分布Be(a,b):E(X) =

mE(X)

=

(a+b)/2E(X)

=

1/lE(X)

=

a/lE(X)

=

a/(a+b)常用連續(xù)分布的方差正態(tài)分布N(m,s2)的方差=s2均勻分布U(a,b)的方差=(b

-a)2/12指數(shù)分布Exp(l)的方差=1/l2設(shè)E(X)=μ，Var(X)=σ2，則對任意常數(shù)C，必有（

④）.E[(

X

-C)2

]

=

E(

X

2

)