2021年湖北省宜昌市枝江第二高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021年湖北省宜昌市枝江第二高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.8個(gè)不同的球放入三個(gè)相同的盒子中，問(wèn)有多少種不同的放法？（）A．1094 B．966 C．5796 D．6561參考答案：A【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】根據(jù)空盒的多少分三類(lèi)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得【解答】解：第一類(lèi)：有2和空盒子，即把8個(gè)不同的球放在同一個(gè)盒子里，故有1種，第二類(lèi)，有1個(gè)空盒子，8個(gè)球可以分為（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）故有C81+C82+C83+C84=127種，第三類(lèi)，沒(méi)有空盒子，8個(gè)球可以分（1，1，6），（1，2，5），（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3）故有C81C71+C81C72+C81C73+C82C62+C82C63=966種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得共有1+127+966=1094，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分類(lèi)，屬于中檔題2.若x＞0，則的最大值為（）A． B． C．﹣1 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】把所求的式子第二項(xiàng)與第三項(xiàng)提取﹣1變形為y=3﹣（3x+），由x大于0，利用基本不等式求出3x+的最小值，即可求出y的最大值．【解答】解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，3x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)3x=，即x=時(shí)取等號(hào)，∴y=3﹣3x﹣=3﹣（3x+）≤3﹣2，則y的最大值為3﹣2．故選A3.已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A.sina＞sinb B.ca＞cb C.ac＜bc D.參考答案：B【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對(duì)A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯(cuò)誤；對(duì)B,因?yàn)閥＝cx為增函數(shù)，且a＞b，所以ca＞cb，正確對(duì)C,因?yàn)閥＝xc為增函數(shù),故，錯(cuò)誤；對(duì)D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故，錯(cuò)誤故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．4.若雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)P（,b）到直線(xiàn)的距離為+b的值（

）

A．

B．

C．－2

D．2參考答案：B略5.4.已知函數(shù)，則（

）A．2

B．4

C.5

D．6參考答案：D6.在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)l的方程為，若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，則a=（

）A.12 B.22 C.17 D.12或22參考答案：A【分析】曲線(xiàn)上的點(diǎn)可以表示成，，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可以表示出到直線(xiàn)的距離，再結(jié)合距離的最大值為進(jìn)行分析，可以求出的值?！驹斀狻壳€(xiàn)上的任意一點(diǎn)可以表示成，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離（其中）因?yàn)榍疑系狞c(diǎn)到的距離的最大值為，所以當(dāng)時(shí)，距離有最大值，所以，解得故選A.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，參數(shù)方程，輔助角公式等，解題的關(guān)鍵是表示出上的點(diǎn)到的距離，屬于一般題。7.對(duì)于函數(shù)f(x),在使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值稱(chēng)為函數(shù)f(x)的“上確界”則函數(shù)f(x)=的上確界為(

)A.

B.

C.2

D.4參考答案：C略8.試在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到的距離之和最小，則該點(diǎn)坐標(biāo)為

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.已知點(diǎn)P（x，y）是直線(xiàn)kx+y+4=0（k＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y=0的兩條切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（）A．3 B． C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】先求圓的半徑，四邊形PACB的最小面積是2，轉(zhuǎn)化為三角形PBC的面積是1，求出切線(xiàn)長(zhǎng)，再求PC的距離也就是圓心到直線(xiàn)的距離，可解k的值．【解答】解：圓C：x2+y2﹣2y=0的圓心（0，1），半徑是r=1，由圓的性質(zhì)知：S四邊形PACB=2S△PBC，四邊形PACB的最小面積是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切線(xiàn)長(zhǎng)）∴d最小值=2圓心到直線(xiàn)的距離就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等知識(shí)，是中檔題．10.兩圓x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切參考答案：B【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【專(zhuān)題】綜合題．【分析】分別由兩圓的方程找出兩圓心坐標(biāo)和兩個(gè)半徑R和r，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心的距離d，比較d與R﹣r及d與R+r的大小，即可得到兩圓的位置關(guān)系．【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化為（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以?xún)蓤A心的坐標(biāo)分別為：（4，﹣3）和（0，0），兩半徑分別為R=4和r=3，則兩圓心之間的距離d==5，因?yàn)?﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以?xún)蓤A的位置關(guān)系是相交．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握兩圓的位置關(guān)系的判別方法，利用運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(|x﹣1|+|x﹣3|)dx=

．參考答案：10【考點(diǎn)】定積分．【專(zhuān)題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由和的積分等于積分的和展開(kāi)，把被積函數(shù)去絕對(duì)值后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為四個(gè)定積分求解．【解答】解：（|x﹣1|+|x﹣3|）dx=|x﹣1|dx+|x﹣3|dx=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx+（3﹣x）dx+（x﹣3）dx==10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定積分，關(guān)鍵是把被積函數(shù)去絕對(duì)值后注意積分區(qū)間的變化，是基礎(chǔ)題．12.已知f（2x﹣1）=3﹣4x，則f（x）=

．參考答案：1﹣2x【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】設(shè)t=2x﹣1求出x=，代入原函數(shù)化簡(jiǎn)求出f（t），用x換t求出f（x）．【解答】解：設(shè)t=2x﹣1，則x=，代入原函數(shù)得，f（t）=3﹣4×=1﹣2t，則f（x）=1﹣2x，故答案為：1﹣2x．13.已知變量x、y滿(mǎn)足：，則z=（）x+y的最大值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃．【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用；不等式．【分析】首先畫(huà)出可行域，求出x+y的最大值，然后求z的最大值．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖當(dāng)直線(xiàn)a=x+y過(guò)A時(shí)a最大，即z最大，由得A（1，2）所以；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題；關(guān)鍵是畫(huà)出平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值．14.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離比它到直線(xiàn)x=﹣2的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡方程為．參考答案：y2=12x【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離等于它到直線(xiàn)x=﹣3的距離，由拋物線(xiàn)的定義可得P的軌跡是以（3，0）為焦點(diǎn)、x=﹣3為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，即可算出點(diǎn)P的軌跡方程．【解答】解：∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離比它到直線(xiàn)x=﹣2的距離大1，∴將直線(xiàn)x=﹣2向左平移1個(gè)單位，得到直線(xiàn)x=﹣3，可得點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離等于它到直線(xiàn)x=﹣3的距離．因此，點(diǎn)P的軌跡是以（3，0）為焦點(diǎn)、x=﹣3為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2=2px（p＞0），可得=3，得2p=12∴拋物線(xiàn)的方程為y2=12x，即為點(diǎn)P的軌跡方程．故答案為：y2=12x15.設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是

.參考答案：516.已知中，銳角B所對(duì)邊，其外接圓半徑，三角形面積，則三角形其它兩邊的長(zhǎng)分別為

．w參考答案：5cm,8cm

17.在空間直角坐標(biāo)系中，的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形是．參考答案：過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的平面三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足≤0，（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復(fù)合命題的真假．【分析】（1）由a=1得到命題p下的不等式，并解出該不等式，解出命題q下的不等式，根據(jù)p∧q為真，得到p真q真，從而求出x的取值范圍；（2）先求出￢p，￢q，根據(jù)￢p是￢q的充分不必要條件，即可求出a的取值范圍．【解答】解：（1）若a=1，解x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，解得：2＜x≤3；∴命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足1＜x＜3，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足2＜x≤3；∵p∧q為真，∴p真，q真，∴x應(yīng)滿(mǎn)足，解得2＜x＜3，即x的取值范圍為（2，3）；（2）￢q為：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x≤2，或x＞3；￢p為：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a；￢p是￢q的充分不必要條件，所以a應(yīng)滿(mǎn)足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2；∴a的取值范圍為：（1，2]．【點(diǎn)評(píng)】考查解一元二次不等式，分式不等式，p∧q的真假情況，充分不必要條件的概念．19.在正方體中，棱長(zhǎng)為，，分別為和上的點(diǎn)，．（１）

求證：平面；（２）

求的長(zhǎng)．參考答案：解析：（１）作，，分別交，于，，連接．由作圖可知．，．由得．同理可得，平行且等于．是平行四邊形，，平面．平面．（２）由（１）可知，，．又，．20.已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2x+2（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若?x1∈（0，+∞），均?x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為f（x）max＜g（x）max，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出f（x）的最大值和g（x）的最大值，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ），①當(dāng)a≥0時(shí)，∵x＞0，∴f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），單調(diào)減區(qū)間為（，+∞）；（Ⅱ）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為f（x）max＜g（x）max，已知g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2，由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減，故f（x）max=f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得：a＜﹣e﹣