中考復習 名師獲獎

中考數(shù)學壓軸題

設計技巧與實踐分享莆田市教師進修學院蔡德清QQ：1551883802014年2月28日考試學生學習教師命題者教學共同關注命題標準命題技術命題方法命題案例命題分享實踐分享

專業(yè)標準

好卷標準試題構成標準命題標準

好題標準理論修養(yǎng)教學實踐命題經驗批判精神專業(yè)標準123好題的標準4符合貼切、適度原則符合科學、規(guī)范原則具備公平性、新穎性、導向性特點

具有適當?shù)暮裰囟?、良好的自洽性和可推廣性

情境立意知識技能能力意識思想方法四維構成---數(shù)量---課標要求---聯(lián)結結構---數(shù)量---級別---聯(lián)結結構熟悉程度---思維結構---數(shù)量---級別---聯(lián)結結構---試題的四維構成標準符合貼切、穩(wěn)定性準則符合科學、規(guī)范性準則符合導向、可推廣性準則符合自洽、一致性準則

符合教育、思想性準則符合和諧、創(chuàng)新性準則

好卷標準好卷的標準基本模式基本方法策略與技巧素材與靈感命題技術七因素說明

﹙1﹚“情景”主要有兩種：①生活情景，如海面、燈光等；②數(shù)學情景，如網(wǎng)格、運動等.﹙2﹚“對象”主要有三種：①實物對象，如樹等；②模型對象，如三角形、方程等；③任務對象，如決策對象，閱讀對象等.﹙3﹚“方式”主要有四種：①操作方式，如使用測角器的測量方式，圖形分割、旋轉等；②說理方式，如合情推理等；

﹙4﹚“條件”主要有四種：①數(shù)值條件，如角度、長度等；②關系條件，如圖形之間的關系，代數(shù)式間的關系等；③結構性條件，這里又有三種，（a）情景圖所確定的結構，如測量中的”兩角一邊”型圖形或它的變式圖形，組合圖形；﹙b﹚圖形結構，如位置關系等；﹙c﹚代數(shù)結構，如式的結構等；④輔助性條件，這里又有兩種：﹙a﹚限制性條件，如點的運動方式的限制性條件，最值所滿足的條件；﹙b﹚說明性條件，如概率情景中球的外形、質感相同等.

③應用方式，如決策、方案設計、最值等；④學習方式，如閱讀理解與運用等.﹙5﹚“要求”主要有三種：①操作性要求，如折疊后使某點落在某位置等；②任務性要求，如“判斷”，“猜想”，“探究”等；③結果性要求，主要是指對結果表現(xiàn)形式的要求，如“寫出一個結論”，“不要求寫畫法”，“結果保留”等.﹙6﹚“任務”主要有四種：①操作性任務，如畫圖、求解等；②推理性任務，如歸納、證明等；③應用性任務，如決策等；④學習性任務，如閱讀理解基礎上的求解、探究等運用性任務

﹙7﹚“結果”主要有六種：①數(shù)值性結果，如概率；②方案性結果，結果為一個或若干個方案；③圖形性結果，結果為一個圖形；④關系性結果，結果為幾何對象或代數(shù)對象之間的某種關系；⑤結論性結果，如某人發(fā)揮水平較為穩(wěn)定等；⑥問題實例性結果，如所提問題，所舉實例等.命題基本方法

1、改編特點：利用已有情景，通過改換等途徑編題。已有情景；已有背景；已有結構。平行性改編；實質性改編；提升性改編；借鑒性改編?；痉椒ǎ海?）改換：改換圖形，改換數(shù)式。（2）改進：結論價值更高，思維含量更高。（3）改變因素：改變問題模型中的因素如A.改變情景B.改變方式C.改變關系f等（4）構造

特點：通過構造或想象等手段來構造試題，其關鍵要素是通過探究得到所需結論與效果?；痉椒ǎ孩偬砑臃ā；舅悸罚簭囊粋€基本圖形出發(fā)，通過添加若干線段，找出其中所蘊藏的若干有價值的結論，選擇適宜的結論，以適當?shù)姆绞脚c題型，編成題目

②疊加法：從兩個基本圖形出發(fā)，通過圖形的特殊疊放，或在此基礎上添加適當?shù)木€段，從中找出有價值的結論，進行編題。③變換法：以圖形的變換為主要手段構造情境。④運動法：以圖形的運動（平移、折疊、旋轉）為主要手段構造情境。⑤一般化或特殊化：對情境進行一般化或特殊化處理，看結論是否發(fā)生變化。⑥借鑒：借鑒已有的情境。⑦定義：重新定義新的概念、問題。2、原創(chuàng)

特點：原創(chuàng)命題是指不直接借鑒現(xiàn)有試題，直接利用預設的雙向細目表進行構思，確定命題立意，通過創(chuàng)造性的分拆、組合、變更、重組同質性試題素材后編擬出情境與設問具備新穎特征及獨特價值的新試題的命題過程。原創(chuàng)性試題通常具有高雅的立意、新穎的情境和巧妙的設問。

可用素材：符合考查目標、實際或純粹的素材。

有價值東西：隱含性的規(guī)律或模型。

一般方法：常留意，深研究。

命題的策略與技巧過程性：通過構建新的操作性、過程性情景來編制綜合題。開放性：通過構造條件開放、結論開放、策略開放等形式的開放性試題及可選擇性試題來命制試題。模型性：選擇適當?shù)哪Ｐ土⒁鈽嬎紒砭幹凭C合題。探究性：通過設計觀察、操作、實驗、探究、發(fā)現(xiàn)、驗證等探究性試題，考查綜合運用各種知識解決問題的能力的綜合。創(chuàng)新性：創(chuàng)新的情景是編制綜合題的一個重要手段.手段可以是舊的，但情景可以是新的，還可以從其它的角度來創(chuàng)設情景，如應用題的背景等.應用性：通過構建應用性情景來編制試題。交匯性：通過知識的交匯來命題課題學習：從課題學習領域尋找命題素材構造原創(chuàng)性試題。命題的素材與靈感1、素材的標準與類型好素材的標準:

A.有意義有價值；B.適合考查需要.

素材的類型：

A.現(xiàn)成題素材；B.構造性素材；C.新情景素材。2、素材的尋覓與獲得――隨處留意善捕捉

A.現(xiàn)成題素材――現(xiàn)成題目可作改編素材

B.新情景素材――素材由觀察而來

C.構造性素材――素材由構造而出3、素材的保存與孕育建立素材庫—自然的孕育與篩選產生靈感的方法

界定你的問題界定你認為理想的結果并使之有形化。收集所有的材料：特殊的、一般的。打破模式。走出你自己的領域。嘗試各種各樣的組合。使用你所有的感官。關掉——讓它醞釀。使用音樂或自然放松。把它帶進睡眠。我找到了！它突然出現(xiàn)了。再檢驗它。解答題的特點與形式壓軸題的功能與定位壓軸題的內容與類型壓軸題命制的實踐與分享命題實踐

解答題的特點與形式

中考數(shù)學解答題的特點是容量較大，能直接考查多個知識點，以及綜合考查多種數(shù)學思想、方法和數(shù)學能力。在一個大前提（已知條件）下，提出若干問題，要求學生解答，這是數(shù)學解答題的常見呈現(xiàn)方式。從表現(xiàn)形式來看，解答題大體可分成兩大類。第一類：所提的若干問是并列的，彼此獨立、互不關聯(lián)；第二類：所提的若干問是遞進的，彼此間存在層次上的聯(lián)系，后一問的解答，依賴于前一問的結果。壓軸題的功能與定位

目前福建省中考數(shù)學試卷都是畢業(yè)、升學兩考合一試卷，兼顧學生的基礎性和發(fā)展性，考試具有評價、選撥功能。壓軸題的目標是選拔功能,意圖通過壓軸題考查學生的綜合素質，尤其是分析問題、解決問題的能力，發(fā)現(xiàn)挖掘學生繼續(xù)升學的潛力。壓軸題設置常見有探究型問題、開放型問題、運動變化型問題、操作型問題、應用型問題等。壓軸題常以支撐整個初中數(shù)學的核心知識與重要思想方法為載體,突出能力考查，對學生的閱讀能力、計算能力、理解能力、思維能力有較高的要求；壓軸題突出了對數(shù)形結合、歸納概括、轉化化歸、分類討論、函數(shù)與方程、合情推理、演繹推理等主要數(shù)學思想方法的考查。因此壓軸題是區(qū)分度和綜合性的集中體現(xiàn),也滲透了命題者對中考方向的理解，同時也為初中數(shù)學教學指明方向。壓軸題的內容與類型研究近幾年全國中考數(shù)學壓軸題考查的內容,以下兩類占了大部份。（1）.以幾何為載體考查函數(shù)或幾何.（2）.以函數(shù)為載體考查函數(shù)或幾何.

其中函數(shù)的載體有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，其中以二次函數(shù)為重點。函數(shù)考查的內容有求函數(shù)的解析式、求相關點的坐標、求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質等。代數(shù)方面涉及的知識主要有方程、函數(shù)、不等式、坐標、和解直角三角形（三角函數(shù)）等。幾何的載體有三角形、四邊形、圓等，其中以三角形、四邊形為重點。幾何考查的內容有圖形形狀的判定、圖形的大?。ň€段的長度、幾何圖形的周長、面積的大小或最值等）計算、圖形的關系（相似或全等）判定、圖形的運動等。圖形就運動對象而言有點動（點在線段或弧線上運動），線動（直線或線段的平移、旋轉）和面動（部分圖形的平移、旋轉、翻折）等。幾何中考查代數(shù)，代數(shù)中考查幾何，代數(shù)與幾何融為一體，是數(shù)形結合的完美體現(xiàn)。這類試題具有較強的綜合性、靈活性、和開放性。中考幾何壓軸題命題分享

中考幾何壓軸題是以幾何圖形為載體去考查幾何或函數(shù)，幾何的載體有三角形、四邊形、圓等，其中以三角形、四邊形為重點。常研究以下兩個方面的問題：1、證明問題：①線段、角的數(shù)量關系（包括相等、和差、倍、分關系以及比例關系）；②圖形的關系（如三角形的相似與全等，點與線、線與線、線與圓位置關系等）；③圖形的形狀問題（如直角三角形、等腰三角形、梯形、平行四邊形等的判定）2、計算問題：①角度的大小、線段的長度、幾何圖形的周長、面積的大小或定值、最值等的計算；②與運動聯(lián)系建立函數(shù)關系式從而研究函數(shù)的圖象與性質等。創(chuàng)設情境（具體施工）命題案例調整設問（裝修優(yōu)化）確定立意（規(guī)劃設計）審題定稿（竣工驗收）案例1（2011年莆田市中考試題第25題）

本題是一道集閱讀理解、實驗操作、猜想證明、應用探究于一體的綜合題。試題以菱形中的一個等邊三角形的旋轉作為載體，綜合考查了等邊三角形、菱形兩個基本圖形的性質，同時考查了等邊三角形的外心（中心）、三角形的中位線、相似、全等等初中數(shù)學幾何主干知識。其新意主要體現(xiàn)在：讓學生在操作、實驗等嘗試性活動中表現(xiàn)出對基礎知識的理解水平、對圖形的分解與組合能力。試題情境較為復雜，要求學生在眾多的可變元素中確定不變的元素，有利于全面考查探索過程（類比、歸納、猜想等合情推理等在整個思維過程中能得到充分的體現(xiàn)），從而較為有效地發(fā)揮證明題在考查學生觀察、數(shù)學表達、猜想、證明等數(shù)學活動能力方面的功能，可謂操作與探究相融、猜想與創(chuàng)新同途。本題結論開放、方法開放、思路開放，因而能有效地反映高層次思維，融合了特殊與一般、轉化、數(shù)學建模、函數(shù)、數(shù)形結合等數(shù)學思想。[試題評析]：

（以下是2011年福建省中考數(shù)學評價組的評析）確定立意（規(guī)劃設計）考查的目標：2011年中考數(shù)學壓軸題，試題要有一定難度（0.2～0.4）與區(qū)分度，并要關注對數(shù)學活動過程的評價，希望從知識立意、能力立意過渡到過程立意。因此，試題希望能讓學生通過操作、觀察、實驗、歸納、類比等活動，獲得數(shù)學猜想正確與否的原理、策略與方法，發(fā)展演繹推理與合情推理能力，感悟積極的態(tài)度、科學的思想方法的意義和作用，促進創(chuàng)新精神的養(yǎng)成及學習能力的提高，進而對教學產生良好的導向作用?？疾榈囊螅ㄕn標）考生經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能，在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法?？忌@得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。試題立意反思試題立意是試題編制的出發(fā)點和落腳點，具有導向和制約功能。它包括考試內容、考查目的和各種量化指標（試題難度、信度、效度等）。一道試題，既可用知識內容立意，也可用能力要求立意，還可用問題和情境立意。當考試的試題是以知識考查為主線時，多數(shù)試題將以知識內容立意；若試卷是以數(shù)學能力考查為主線時，多數(shù)試題則應以能力要求立意；而一些綜合性比較強的實際應用型的試題，則宜以問題和情境立意。創(chuàng)設情境（具體施工）命題組據(jù)此確定試題要以三角形或四邊形為載體，以初中數(shù)學的幾何核心知識和方法為基礎，以全等和相似為工具，通過圖形變換——旋轉(當時不考慮折疊是基于教材中把旋轉單獨列為一節(jié))來考查幾何問題的證明與計算。原型1：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，（1）求證：EF＝BE＋FD；(改編）（2）若“

E、F分別是BC、CD上的點”改為“E、F分別是BC、CD延長線上的點”，試探索線段EF、BE、FD之間關系，并加以證明．試題改編一：

(源于證明過程)如圖,在四邊形ABCD中,AB＝AD,∠B＝∠D＝90°,E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF是∠BAD的一半,1）求證：EF＝BE＋FD；(2)若“

E、F分別是BC、CD上的點”改為“E、F分別是BC、CD延長線上的點”,試探索線段EF、BE、FD之間關系,并加以證明．試題改編二：如圖,在四邊形ABCD中,AB＝AD,∠B+∠D＝180°,E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF是∠BAD的一半,（1）求證：EF＝BE＋FD;(2)若“

E、F分別是BC、CD上的點”改為“E、F分別是BC、CD延長線上的點”,試探索線段EF、BE、FD之間關系,并加以證明．試題改編三：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，求證：EF＝BE＋FD.

如圖,用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個三角尺的60°角頂點與點A重合,兩邊分別與AB、AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉.（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時(如圖1),通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結？并證明你的結論；(2)當三角尺的兩邊分別與菱的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時(如圖2),你在(1)中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由.

試題改編四：試題改編五：

如圖，AC是正六邊形外接圓的直徑，EF=BE+DF，求∠EAF的度數(shù)．試題改編六：進一步推廣為正偶數(shù)多邊形．如圖，正方形ABCD，E、F分別是BC、CD邊延長線上的點，且EF=BE－DF，AG⊥EF于G，求證：AG=AD。試題改編七：試題改編八：如圖，四邊形ABCD,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是BC、CD邊延長線上的點,且EF=BE+DF，AG⊥EF于G，求證：AG=AD。

原型2：(人教版義務教育課程標準實驗教科書九上第二十三章《旋轉》第三節(jié)習題拓廣探索第8題)：過菱形對角線交點的一條直線，把菱形分成了兩個梯形，這兩個梯形是全等的嗎？為什么？經過摸索、探究，命題組確定以“120°的菱形疊加等邊三角形”為模型，讓等邊三角形旋轉，考查幾何核心知識，這樣的試題載體源于教材，能體現(xiàn)公平性。載體遴選反思數(shù)學試題載體的遴選原則是選擇核心內容與方法。選材是根據(jù)立意進行的，但立意與選材往往交織在一起，不管誰先誰后，二者須同時考慮、相互兼顧，經過反復多次的“修剪”，使選材符合立意。選材有兩種思路：一是由低到高、由簡到繁、由淺到深；二是由高到低，由繁到簡、由深到淺。建立試題的框架結構時，應注意主干硬朗、層次分明、清楚，有了架構，再形成題坯，把題設和提問寫出。命題教師切勿忙于文字處理，只須寫出要點，提問可以分步進行，當然，也可一步到位只提出一個問題。命題教師須將基本解法和各種可能出現(xiàn)的解法一一列出，以便比較。作為試題模坯，應力求留有余地，使之具有一定的彈性和伸縮性，也即題設條件要便于增加或減少，提問有多種角度可供調換，這樣，試題的難度容易調節(jié)。調整設問（裝修優(yōu)化）

由創(chuàng)意得到雛形，由推敲完成編題。成題目標：合乎課標與學生，簡明易懂又公平，無錯誤來無歧義，廣泛認同有品味。推敲維度：語句與字詞，解答與時間，難度與效度，清晰與完美。調整設問反思審題定稿1、試題的科學性

2、試題的適綱性3、試題的有效性4、試題的發(fā)展性5、試題的技術性……保證試題的質量要求考生答題情況分析

對命題及教學的啟示主要存在問題成因及其對策試題內在質量分析（內部分析）實測數(shù)據(jù)分析（外部分析）考試目的、性質、要求及考生情況分析試題質量分析與評價基于標準的試題評價模型例2（2008年莆田市初三質檢第24題）：（1）探究：如圖4，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，請猜測并寫出線段BE、EF、FD之間的等量關系（不必證明）；（2）變式：如圖5，E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，∠EAF＝∠BAD，則線段BE、EF、FD的等量關系又如何？請予以證明。（3）應用：在條件（2）中，若∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，BC＝CD（如圖6），求此時△CEF的周長。

[試題評析]：

本題體現(xiàn)了研究一個問題時比較全面的過程,突出模型的探究、抽象、概括、應用，比較全面地體現(xiàn)了研究問題的過程：

：

第一，對問題情景分析的基礎上先形成猜想．第二，對猜想進行驗證(或證明成立，或予以否定)．第三，在經過證明肯定了猜想之后，再做進一步的推廣．第四，本題詣在讓學生經歷一個科學探究的全過程，人們要研究一個數(shù)學問題時常常要借助已有的數(shù)學知識和相應的數(shù)學活動經驗對這個問題進行各種各樣的猜測（因為數(shù)學建模的最高層次是借助知覺思維創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)數(shù)學事實，正如物理學家、數(shù)學家牛頓說：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的創(chuàng)新”），這些猜測可能是正確的，也可能是錯誤的，例3（2008年莆田市中考數(shù)學卷第25題）

[試題評析]：(2008年福建省中考數(shù)學評價組的評析)

本題通過“閱讀理解——模型探究——拓展應用”三個環(huán)節(jié)問題的設置，向學生展示了一般性問題的較完整的研究過程：從“特殊情況”（圖1為直角情形）入手，到“一般情況”（圖2為非直角情形），再到“一般情況”中的特殊情形（由問題（2）①上升到新背景中的“特殊”問題（2）②）。考生經歷了“特殊——一般——特殊”的由淺入深、歸納思維與演繹思維交替使用的思維過程。題干給出了“易證△ABP∽△PCD”的提示，考生在“易證”中得出具有廣泛意義的思考或研究方法（即一般性方法）后，就能類比解決后續(xù)的各個問題。本題的價值不僅在于環(huán)環(huán)相扣、層層推進的精彩設問，更在于試題本身展現(xiàn)出的“一般性方法”的深刻含義和普遍適用性.例4:

（2003年莆田市中考試題26題）操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處．將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC，CB于D，E兩點．圖中的(1),(2),(3)是旋轉三角板得到的圖形中的其中3種．探究：(1)三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么大小關系?它們的關系為

，并以圖(2)為例，加以證明．(2)三角板繞點P旋轉，△PBE是否能成為等腰三角形?若能，指出所有情況(即求出△PBE為等腰三角形時的CE的長)；若不能，請說明理由．(3)若將三角板直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM:MB=1:3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間又有什么關系?請直接寫出結論，不必證明．(圖(4)供操作、實驗用)結論為：

．

[試題評析]：

（全國中考數(shù)學評價組評析）1、本題通過三角板的旋轉來構造問題，各問題的難度層次分明，逐級遞進，可以引導學生逐步深人思考——數(shù)學思維活動特征．2、學生在解決這一系列問題的過程中，可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、數(shù)學表達、猜想、證明等數(shù)學活動方面的能力——數(shù)學思維活動能力發(fā)展特征．3、試題讓學生經歷一次數(shù)學研究活動，而且在活動中有意識引導學生獲取并積累數(shù)學活動經驗形成數(shù)學能力——活動中獲取經驗（簡單的數(shù)學方法），經驗經過量的積累并進一步升華形成能力（數(shù)學思想）．4、試題進一步改編與研究體現(xiàn)數(shù)學問題的產生特征——“是借助于邏輯組合、一般化、特殊化巧妙地對概念進行分析與綜合，提出新的富有成果的問題”（希爾伯特）．改編之一：1、△ABC中，AC=BC，P是AB邊的中點，∠DPE+∠C=180o，求證：PD=PE．改編之二:在Rt△ABC中，P是AB邊的中點，PD⊥PE，求證：．改編之三：如圖，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN與AB交于F，AD與QM交于E．（1）求證ME=MF；

（2）如圖，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，試探索ME與MF的關系，并加以證明；（3）如圖，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB=mBD，其他條件不變，試探索ME與MF的關系，并加以證明；（4）根據(jù)前面探索和如圖，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．例5．（2009年莆田市質檢24題）（1）如圖1，△ABC的周長為l，面積為s，其內切圓的圓心為O，半徑為r，求證：r=2s/l；（2）如圖2，在△ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A（-3，0）、B(3，0)、C（0，4）．若△ABC的內心為D，求點D的坐標；（3）若與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓叫旁心圓，圓心叫旁心．請求出（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標。

三角形的內心為三角形角平分線的交點,由三角形其內切圓組成的圖形是初中幾何的基本圖形之一.學過三角形的內切圓后,幾乎每個學生都做過如下的題目:設⊿ABC的三邊分別為a,b,c,內切圓半徑為r,求證:s＝1／2（a+b+c）r.此題正是在上述圖形和結論的基礎上進行了拓展與延伸:首先第⑴小題的變換結論為r=2s/l,考查了學生的基礎知識;接著第（2）小題將第⑴小題的基本圖形置于平面直角坐標系中,進行了恰當?shù)耐卣?考查學生知識遷移的能力和靈活應用知識的能力;最后第（3）小題又在第（2）小題的基礎上進一步延伸,知識的應用也由形內擴展到了形外,而解決問題的方法也呈現(xiàn)出多樣性和靈活性,較好地考查了學生的數(shù)學思維能力和綜合應用知識分析、解決問題的能力。整個試題的設計以三角形的內切圓為背景，由簡單到復雜，由單一到綜合，層次分明，梯度合理，拓展適度，延伸自然，符合學生的認知規(guī)律，具有較好的效度和區(qū)分度。[試題評析]：

（引自《中國數(shù)學教育》2009年第10期中考試題研究張衛(wèi)東老師的評析）

[試題反思]：本題要求學生應用新定義探索解決問題，需要學生閱讀題目給出的相對于學生來說是新知識的材料，并在理解的基礎上加以運用，以解決新問題．考查了學生自己閱讀材料獲取新知識，學習理解新知識和應用新知識的能力，考查層次豐富，不同水平的學生可以充分展示自己不同的探究深度，較好地考查了學生綜合運用數(shù)學知識、思想方法去探索規(guī)律、獲取新知的能力。試題在知識遷移的同時關注方法遷移，而且是多題一解，從而讓學生經歷學習、探索、問題解決的整個過程。這里將考試過程與學習過程結合起來，體現(xiàn)了一種較好的理念。借助問題解決的過程實現(xiàn)對所直接考查知識和技能的再抽象到一般意義下該能力和思想方法的考查，考題顯現(xiàn)出新的問題模式策略，對于改進、提高中考的科學有效性、引導課堂教學改革具有積極的作用。例6（2012年莆田市質檢24題）

例7:2013年莆田市中考試題25題中考二次函數(shù)壓軸題命題分享一、二次函數(shù)考查的知識點及要求層次

1．解析式（掌握不同條件確定解析式的方法）

2．圖象與變換（掌握圖象的特征、圖象的正向和逆向變換）

3．自變量的取值范圍（了解）

4．函數(shù)值的取值范圍（了解），重點是函數(shù)的最大（?。┲担ㄕ莆眨?/p>

5．函數(shù)的性質（掌握）

6．函數(shù)與方程的關系（掌握）

7．函數(shù)與不等式的關系（掌握）

8．函數(shù)的實際應用（靈活應用）

9．函數(shù)與幾何（綜合應用）二、二次函數(shù)的命題設計技巧（1）考慮題型：

1.基本題型:單一函數(shù)、單一知識點構成的基本題型。

2.復合題型:多個函數(shù)、多個知識點構成。常見的有函數(shù)的實際應用與函數(shù)與幾何的綜合應用兩大類。（2）考慮命題的載體

1．二次函數(shù)

2．二次函數(shù)+一次函數(shù)

3．二次函數(shù)+變換（平移、旋轉等）

4．二次函數(shù)+幾何（三角形、四邊形、圓等）

5．二次函數(shù)的應用（建模）1．代數(shù)方面①求解析式②求相關點的坐標點在直線上，點在拋物線上③建立函數(shù)關系式，求函數(shù)的最值或研究函數(shù)圖象與性質等2．幾何方面給定幾何的一些特定條件，如角平分線、中線、垂線、三角形的內心、外心、重心等。①判定圖形形狀從而確定位置或證明，如等腰三角形、等邊三角形、梯形、平行四邊形、矩形、正方形等②判定圖形關系從而確定位置或證明，幾何中常見的圖形關系有全等、相似、平行、垂直、平分③判定圖形大小從而確定位置或證明，如線段長度、角度大小、周長、面積大小等（3）考慮命題考查的內容（4）考慮命題考查的思想方法常見用到的方法有待定系數(shù)法、配方法、圖象法、數(shù)學結合法、分類討論法。數(shù)學思想有數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想。案例（構造法）編一道有關拋物線平移的題目，作為倒數(shù)第2題。方式一：方式二：方式三：(――方式三先淘汰。)xyDACOP編題基本思路：﹙1﹚能產生哪些問題？﹙2﹚是否具有需要的考查價值？﹙3﹚選擇任務與設問方式，使之符合需要。方式一：﹡﹡問題情景：現(xiàn)將它向右平移m個單位﹙1﹚選定特殊、需要的拋物線――可調整，且一般從待定的解析式出發(fā)，如何選定解，可遵循由一般到特殊的思路。﹙2﹚遵循從特殊到一般的思路：――求m＝1時的拋物線的解析式；﹙3﹚選定產生問題的基本圖形，并產生需要的問題：①由平移產生的直接問題：如：x軸上是否存在兩條相等的線段？等等如：△PCA，△POA，△PCD。問題：形狀;坐標；設點P到x軸的距離為h；△的面積;給定面積，求m的值；求函數(shù)關系式；畫圖象；任務：說理，不說理；求解。②由平移構造出的非直接問題：四邊形MCAM的形狀與m的關系。例8:2011年莆田市質檢試題25題例9（2006年莆田市中考第27題）如圖：拋物線經過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點.（1）求拋物線的解析式；（2）已知AD=AB（點D在線段AC上），有一動點P從點A出發(fā)沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B出發(fā)沿線段BC移動，經過t秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最??？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。（本題被重慶市綦江縣2010年初中畢業(yè)暨高中招生考試采用）

如圖，拋物線c1:y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），c1

與y軸交于點C．點P為線段BC上一點,過點P作直線l⊥x軸于點F，交拋物線c1

于點E．（1）求A、B、C三點的坐標；（2）當點P在線段BC上運動時，求線段PE長的最大值；（3）當PE取最大值時，把拋物線c1向右平移得到拋物線c2，拋物線c2與線段BE交于點M，若直線CM把△BCE的面積分為1:2兩部分，則拋物線c1

應向右平移幾個單位長度可得到拋物線c2

？例10（2008年莆田市中考26題）例11（2009年莆田市九年級質檢第25題）如圖，拋物線y=ax2+3ax+c與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點，A點在B點的左側，點B的坐標為（1，0），OC=3?OB．（1）求拋物線的解析式；（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由。（2011年北京市房山區(qū)中考第24題采用）例12（2011年莆田市中考24題）

評析：本題作為試卷的壓軸題之一，試題呈現(xiàn)科學性、思想性和導向性。試題以二次函數(shù)為載體，條件簡潔、內涵豐富；在代數(shù)與幾何的核心知識交匯，融幾何性質與代數(shù)運算為一體。試題通過面積相等與角度相等兩個條件，通過點的運動帶來的面積變化以及圖形變化，考查的知識有函數(shù)、相似、全等、面積等內容。試題的設計都由簡單到復雜的三個問題組成，由淺入深，一題多問，逐層遞進，涵蓋了圖形與坐標、圖形與變換、函數(shù)圖像與性質等核心知識，突出了對待定系數(shù)法、配方法、數(shù)形結合、歸納概括、轉化化歸、分類討論、函數(shù)與方程、演繹推理、函數(shù)建模等主要數(shù)學思想方法的考查。試題重視方法，思維的考查，重視一題多解、重視用運動的觀點來分析問題，解決問題的能力考查。本題結論開放、方法開放、思路開放，因而能有效地反映高層次思維，能給予優(yōu)秀學生充分施展才能的空間。同時該試題的考核也與過程性的目標相一致，體現(xiàn)出一定的數(shù)學思考和解決問題能力方面的要求，因而能更好地培養(yǎng)學生的獨立思考能力和探索精神，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造意識與創(chuàng)新能力。1.一道二次函數(shù)綜合題的命題分享.doc例13（2012年莆田市質檢24題）例14（2013年莆田市中考24題）

命題啟示篇1、命題方面適度淡化幾何的推理與證明，適當滲透合情推理、猜證結合與算證結合的思想，讓考生經歷探究、猜想、驗證的科學發(fā)現(xiàn)與研究的一般過程，培養(yǎng)學生歸納、猜想、證明的思維品質與習慣。進一步滲透幾何與代數(shù)相融合的觀念，幾何題中有代數(shù)解法，代數(shù)題中有幾何解法，體現(xiàn)數(shù)學的整體性與不可分割。命題中對幾何基本圖形進行加工、改造時，常用的策略有：原題條件的弱化或強化、結論的延伸與拓展、條件與結論的互換；或對圖形進行平移、翻折、旋轉等操作，使之形成一系列的變式與拓展問題。同時也可變靜態(tài)情境為動態(tài)情境，由特殊位置到一般情形，改變試題的設問形式等。2、關注對數(shù)學活動過程的評價是命題基本要求。中考命題對數(shù)學活動考查的評價指標：數(shù)學活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關知識與方法的理解深度；從事探究、證明等活動的意識、能力和信心等。能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想，并尋求證明猜想的合理性；能否使用恰當?shù)臄?shù)學語言有條理地表達自己的數(shù)學思考過程。經歷數(shù)學研究活動過程，形成較強的合情推理意識，發(fā)展學生的創(chuàng)新能力.命題也從知識立意、能力立意過渡到過程立意。試題的考核應與過程性的目標相一致，體現(xiàn)出一定的數(shù)學思考和解決問題能力方面的要求。3、試題應繼續(xù)加強對問題形成過程的考查，這樣做有助于引導課標所倡導的教學方式，加強探索性問題考查有利于引導教學實踐中讓學生有更多的自主探究的機會，完善教學方式。在實施過程中命題者應該關注：怎樣設問才能較好地讓學生展現(xiàn)自己認識問題和選擇解題策略的過程、探究問題和說理的思維活動過程、提出問題與解決問題的過程；什么樣的試題形式比較適合于考查學生的數(shù)學活動過程等。4、試題應重視數(shù)學思想方法的考查．試題能圍繞一個數(shù)學核心內容設計思維含量由淺入深的問題串，問題不斷拓展延伸，學生對問題認識的深度也在不斷地遞進，學生研究問題的方法也在逐步地熟悉與掌握．學生通過比較研究獲得一類問題的解決方法的共同特點——即獲得數(shù)學方法，當學生這種數(shù)學活動經驗豐富到一定程度時轉化為學生的一種思想觀念——學生也就領悟其數(shù)學思想．

動手操作，感悟過程命題對教學的啟示合情推理，演繹推理重視基礎，回歸教材數(shù)學思想，自主探究重視基礎，回歸教材要重視基礎，回歸教材，突出數(shù)學基本概念和基本原理的教學，注意數(shù)學各部分知識之間的銜接與聯(lián)系，努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展背景、過程和本質。初中數(shù)學教學必須面向全體學生，教學中要突出主干知識內容，落實基本概念知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的要求，特別要關心數(shù)學學習困難的學生，通過學習興趣培養(yǎng)和學習方法指導，使他們達到學習的基本要求，努力提高合格率。動手操作，感悟過程關注數(shù)學知識的形成過程,培養(yǎng)學生的動手、實驗、歸納、操作能力。《數(shù)學課程標準》非常重視學習過程和動手操作能力。要培養(yǎng)一個人的創(chuàng)新能力，必須注重過程，啟發(fā)思考，總結經驗，教會反思?！斑^程的教育”不是指在授課時要講解、或者讓學生經歷知識產生的過程，甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式。而是學生探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等等。老師必須幫學生總結，不是總結結論對還是錯，而是討論過程中孩子的思考對還是不對，思考的是符合常理還是不符合常理。老師幫助孩子反思總結，積累經驗，這是我們的目的。我們必須清楚，世界有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經歷，比如智慧。智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用、依賴經驗，你只能讓學生在實際操作中磨練，自己去感悟，去積累去反思。合情推理，演繹推理數(shù)學教學的實質是思維過程的教學。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論。經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能。在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。演繹能力，歸納能力思維訓練主要靠兩個能力，一個是演繹能力，一個是歸納能力。現(xiàn)在，有的老師提出來，數(shù)學問題應該“一看就會、一做就對”。怎么能這樣呢？不經過思考的不是數(shù)學，數(shù)學不是技能訓練。一定程度的熟練是必要的，但是過分強調就走向反面。拉普拉斯說，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比。演繹推理表現(xiàn)為一種知識，歸納推理則表現(xiàn)為一種智慧。知識和智慧有什么不同呢？史寧中在一篇文章中談到，“知識在本質上是一種結果，可能是經驗的結果，也可能是思考的結果?！眴渭冏非笾R的教育是一種結果的教育，這種教育要走在時代的前面是不可能的?！爸腔鄄⒉槐憩F(xiàn)在經驗的結果上，也不表現(xiàn)在思考的結果上，而表現(xiàn)在經驗的過程，表現(xiàn)在思考的過程中?！薄爸腔郾憩F(xiàn)于對問題的處理，對危難的應付，對實質的思考以及實驗的技巧等等。”歸納能力是建立在實踐的基礎上的，更多地依賴于過程，依賴于經驗的積累。數(shù)學思想，自主探究突出數(shù)學思想方法的教學，增強學生的自主探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新和實踐能