2022-2023學(xué)年山東省青島市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省青島市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時(shí)需在2s內(nèi)完成剎車，其位移(單位：m)關(guān)于時(shí)間(單位：s)的函數(shù)為s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實(shí)際意義為（

）A．汽車剎車后1s內(nèi)的位移B．汽車剎車后1s內(nèi)的平均速度C．汽車剎車后1s時(shí)的瞬時(shí)速度D．汽車剎車后1s時(shí)的位移【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義判斷．【詳解】解：由導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義知，位移關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為該時(shí)刻的瞬時(shí)速度．故選：C.2．的展開式的中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．15 B．20 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的二項(xiàng)式，確定展開式的項(xiàng)數(shù)即可求出中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)作答.【詳解】的展開式共7項(xiàng)，中間一項(xiàng)是第4項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)是.故選：B3．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】解析由已知可得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，，所以，故．故選：C4．已知一組樣本點(diǎn)，其中，根據(jù)最小二乘法求得的回歸直線方程是，則下列說法正確的是（）A．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線方程上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為1B．至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線方程上C．對(duì)所有的（），預(yù)測(cè)值一定與實(shí)際值有誤差D．若的斜率，則變量與正相關(guān)【答案】D【分析】選項(xiàng)A，相關(guān)系數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，樣本點(diǎn)可能都不在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，可以存在；對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值沒有誤差，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，樣本點(diǎn)的分布從左至右上升，變量與正相關(guān)，故D正確.【詳解】選項(xiàng)A，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為1，相關(guān)系數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，但樣本點(diǎn)可能都不在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本點(diǎn)可能在直線上，即可以存在；對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值沒有誤差，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，相關(guān)系數(shù)與符號(hào)相同，若的斜率，則，樣本點(diǎn)的分布從左至右上升，變量與正相關(guān)，故D正確.故選：D5．曲線在點(diǎn)處的切線截圓所得弦長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切點(diǎn)處切線的斜率，利用點(diǎn)斜式得出切線方程，而圓心到直線的距離為0，即直線過圓心，那么弦即為直徑，故弦長(zhǎng)為4.【詳解】解：∵曲線，∴，∴切線方程的斜率為：，又因?yàn)榍€過點(diǎn)（1，2）∴切線方程為：，即，圓心到直線的距離，∴切線截圓所得弦長(zhǎng)為4．故選：A【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的幾何意義要理解，利用點(diǎn)斜式求切線方程，都要熟練掌握，直線和圓相交以后，弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，用勾股定理來列方程.6．6名研究人員在3個(gè)無菌研究艙同時(shí)進(jìn)行工作，由于空間限制，每個(gè)艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（

）A．360種 B．180種 C．720種 D．450種【答案】D【分析】方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案，共有（種）不同的安排方案.【詳解】方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案.所以共有（種）不同的安排方案.故選：D.7．已知函數(shù)存在零點(diǎn)，函數(shù)存在零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，，得到，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算值域得到答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故函數(shù)的零點(diǎn)，由，可得，存在零點(diǎn)，即方程在有解，令，則．所以在單調(diào)遞增，則的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D8．盲盒里有大小、形狀完全相同的個(gè)綠球，個(gè)紅球，現(xiàn)拋擲一枚均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從盲盒里取出幾個(gè)球．則取出的球全是綠球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)“取出的球全是綠球”，“擲出點(diǎn)”，則，求出，利用全概率公式可求得的值.【詳解】設(shè)“取出的球全是綠球”，“擲出點(diǎn)”，則，又因?yàn)閺拿ず欣锩看稳〕鰝€(gè)球的所有取法是，即基本事件總數(shù)為，而從袋中每次取出個(gè)綠球的所有取法是，即事件所含基本事件數(shù)為，所以擲出點(diǎn)，取出的球全是綠球的概率為，所以，.故選：B.二、多選題9．已知隨機(jī)變量的分布列如下，且，則下列說法正確的是（

）123A．， B．，C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)期望的公式以及分布列的性質(zhì)列方程，求得，計(jì)算出，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以，結(jié)合，解得，所以B選項(xiàng)正確.，所以C選項(xiàng)正確.故選：BC【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量的分布列、期望和方差的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．C．在區(qū)間內(nèi)有個(gè)極值點(diǎn)D．的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率大于【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可得單調(diào)性，由單調(diào)性可判斷AB正誤；由極值點(diǎn)定義可知C正確；由可知D正確.【詳解】由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由極值點(diǎn)定義可知：為的極大值點(diǎn)；為的極小值點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)有個(gè)極值點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，在點(diǎn)處的切線的斜率大于，D正確.故選：ACD.11．下列說法正確的是（

）A．在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)，，…，而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好B．若隨機(jī)變量，則C．現(xiàn)安排，，三名同學(xué)到五個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有61種D．從10名男生、5名女生中隨機(jī)選取4人，則其中至少有一名女生的概率【答案】AC【分析】由殘差的概念即可判斷A；由二項(xiàng)分布的方差公式及方差的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)正難則反思想，求出滿足條件的安排方法種數(shù)，即可判斷C；求出至少有一名女生的對(duì)立事件的概率，即可得出至少有一名女生的概率，從而判斷D．【詳解】對(duì)于A：由殘差的概念知，殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好，故A正確；對(duì)于B：由隨機(jī)變量得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題可知，所有可能的方法有種，工廠甲沒有同學(xué)去的方法有種，所有工廠甲必須有同學(xué)去的不同的安排方法有種，故C正確；對(duì)于D：從10名男生、5名女生中隨機(jī)選取4人，沒有女生的概率為，故至少有一名女生的概率為，又，故D錯(cuò)誤，故選：AC．12．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】令，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，所以在上遞減，所以，即，所以，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題13．某單位為了了解用電量(度)與氣溫(度)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了如下的對(duì)照表：氣溫(度)181310用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)，得回歸直線方程，若，則________．【答案】【分析】根據(jù)給定數(shù)表，求出樣本的中心點(diǎn)，再利用回歸直線方程求解作答.【詳解】依題意，，，即樣本中心點(diǎn)，代入回歸直線方程，得，解得.故答案為：14．已知，則______．【答案】【分析】用賦值法，令和，分別求出和，即可求出答案．【詳解】令，則，令，則，所以，故答案為：．15．從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則______．【答案】【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率計(jì)算公式求出事件A的概率，同樣利用古典概型概率計(jì)算公式求出事件的概率，然后直接利用條件概率公式求解．【詳解】，．由條件概率公式得．故答案為：．16．已知函數(shù)若在區(qū)間上存在個(gè)不同的數(shù)，，，…，，使得成立，則的最大值為______．【答案】4【分析】由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解【詳解】，當(dāng)時(shí)，，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，作出圖象，數(shù)形結(jié)合可得與在最多有4個(gè)交點(diǎn)，故答案為：4四、解答題17．為了了解一個(gè)智力游戲是否與性別有關(guān)，從某地區(qū)抽取男女游戲玩家各200名，其中游戲水平分為高級(jí)和非高級(jí)兩種．性別高級(jí)非高級(jí)合計(jì)女40m男n140合計(jì)（1）根據(jù)題意分別求出m，n，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%以上的把握認(rèn)為智力游戲水平高低與性別有關(guān)？（2）按照性別用分層抽樣的方法從這些人中抽取10人，從這10人中抽取3人作為游戲參賽選手,設(shè)抽取的3名選手中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和期望．附表：，其中．0.0100.050.0016.6357.87910.828【答案】（1），；沒有99％以上的把握認(rèn)為智力游戲水平高低與性別有關(guān)；（2）分布列見解析；期望為．【分析】（1）先求出列聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算并判斷；（2）由題意可知男、女各抽取5人，再得到女生的所有可能取值，根據(jù)超幾何分布求出分布列及期望.【詳解】（1），.，所以沒有99％以上的把握認(rèn)為智力游戲水平高低與性別有關(guān).（2）根據(jù)分層抽樣的特征10人中男女各5人，女生的人數(shù)X的所有取值為0，1，2，3；，，，；所以X的分布列為X0123P．18．5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)稱，是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一.2020年初以來，我國(guó)5G網(wǎng)絡(luò)正在大面積鋪開.A市某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民對(duì)該市5G網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量的滿意程度，從使用了5G手機(jī)的市民中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行問卷調(diào)查，并將這200人根據(jù)其滿意度得分分成以下6組：???…，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：(1)由直方圖可認(rèn)為A市市民對(duì)5G網(wǎng)絡(luò)滿意度得分Z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得.若A市恰有2萬名5G手機(jī)用戶，試估計(jì)這些5G手機(jī)用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)該調(diào)查機(jī)構(gòu)為參與本次調(diào)查的5G手機(jī)用戶舉行了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人最多有3輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每一輪抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，中獎(jiǎng)率均為.每一輪抽獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為100元話費(fèi)且繼續(xù)參加下一輪抽獎(jiǎng)；若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)活動(dòng)結(jié)束.現(xiàn)小王參與了此次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求小王所獲話費(fèi)總額X的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，即，則，.【答案】(1)（人）(2)（元）【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布所提供的數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（2）先得X的可能取值，再求概率，然后用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知樣本平均數(shù)為，∴，∵，所以，，而故2萬名5H手機(jī)用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數(shù)約為（人）（2）由題意可知X的可能取值有0?100?200?300，∴（元）19．已知函數(shù)(1)若和是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，解方程組可求出實(shí)數(shù)的值，然后再驗(yàn)證可，（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可【詳解】（1）由，得，因?yàn)楹褪堑臉O值點(diǎn)，所以，解得，所以，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以（2）由，得在上恒成立，所以在上恒成立，令，，則令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為20．某科技公司為制訂下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對(duì)年銷售額y（單位：億元）的影響，對(duì)近10年研發(fā)資金投入量和銷售額數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售額y關(guān)于年研發(fā)資金投入量x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)①根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.001）；②若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量x約為多少億元？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.參考數(shù)據(jù)：其中.20303.29003003.78160058.21【答案】(1)(2)①；②40億元【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可得答案；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）適宜作為年銷售量額關(guān)于年研發(fā)資金投入量的回歸方程類型.（2）①由，得，即，則關(guān)于的回歸方程為所以，即②若下一年銷售額需達(dá)到90億元，則由，得，，所以預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量約為40億元.21．某醫(yī)藥開發(fā)公司實(shí)驗(yàn)室有瓶溶液，其中瓶中有細(xì)菌，現(xiàn)需要把含有細(xì)菌的溶液檢驗(yàn)出來，有如下兩種方案：方案一：逐瓶檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次；方案二：混合檢驗(yàn)，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果不含有細(xì)菌，則瓶溶液全部不含有細(xì)菌；若檢驗(yàn)結(jié)果含有細(xì)菌，就要對(duì)這瓶溶液再逐瓶檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)次數(shù)總共為.(1)假設(shè)，采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定哪兩瓶溶液含有細(xì)菌的概率；(2)現(xiàn)對(duì)瓶溶液進(jìn)行檢驗(yàn)，已知每瓶溶液含有細(xì)菌的概率均為.若采用方案一.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為,若采用方案二.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為.(i)若與的期望相等.試求關(guān)于的函數(shù)解析式;(ii)若,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望.求的最大值.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）（2）（?。╥i）8【分析】（1）對(duì)可能的情況分類：<1>前兩次檢驗(yàn)出一瓶含有細(xì)菌第三次也檢驗(yàn)出一瓶含有細(xì)菌，<2>前三次都沒有檢驗(yàn)出來，最后就剩下兩瓶含有細(xì)菌；（2）(i)根據(jù)，找到與的函數(shù)關(guān)系；(ii)根據(jù)得到關(guān)于的不等式式，構(gòu)造函數(shù)解決問題.【詳解】解：（1）記所求事件為，“第三次含有細(xì)菌且前2次中有一次含有細(xì)菌”為事件，“前三次均不含有細(xì)菌”為事件，則，且互斥，所以（2），的取值為，，所以，由得，所以；（ii）,所以，所以，所以設(shè)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減又，所以的最大值為8【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的均值以及隨機(jī)事件的概率計(jì)算，難度較難.計(jì)算兩個(gè)事件的和事件的概率，如果兩個(gè)事件互斥，可將結(jié)果寫成兩個(gè)事件的概率之和；均值（或期望）的相關(guān)計(jì)算公式要熟記..22．已知函數(shù).(1)設(shè)，求函數(shù)的極值；(2)設(shè)，求證：存在唯一的，使得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象也相切；(3)設(shè)，對(duì)于任意，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值；(2)見解析；(3).【分析】(1)由題意可得，令，得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性從而即可得函數(shù)的