浙江省杭州市城西中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析

浙江省杭州市城西中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，則

等于(

)．A．{1，2}

B．{3，4，5}

C．{1，2，6，7}

D．{1，2，3，4，5}參考答案：A2.設(shè)集合=

(

）A．{1}

B．{1，2}

C．{2}

D．{0，1，2}參考答案：D3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是A． B． C．

D．參考答案：D四個選項中的函數(shù)的定義域均為，它關(guān)于原點對稱.對于A，因為，為奇函數(shù)，故A錯；對于B，因為，為奇函數(shù)，故B錯；對于C，因為，為偶函數(shù)，當時，，它是減函數(shù)，故C錯；對于D，因為，為偶函數(shù)，當時，在是增函數(shù)，故D正確；綜上，選D.

4.設(shè)集合A={－1，1，2}，B={a+1，a2+3}，A∩B={2}，則實數(shù)a的值為（---）A.1

B.2

C.3

D.0

參考答案：A略5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是A．

B．C．

D．參考答案：A略6.三角函數(shù)值，，的大小順序是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】先估計弧度角的大小，再借助誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到上的正弦值，借助正弦函數(shù)在的單調(diào)性比較大?。驹斀狻拷猓骸?弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．∴sin1≈sin57°，sin2≈sin114°＝sin66°．sin3≈171°＝sin9°∵y＝sinx在上是增函數(shù)，∴sin9°＜sin57°＜sin66°，即sin2＞sin1＞sin3．故選：B．【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及弧度角的大小估值，是基礎(chǔ)題．7.同時滿足以下三個條件的函數(shù)是（

）①圖像過點； ②在區(qū)間上單調(diào)遞減； ③是偶函數(shù)．A、B、

C、D、參考答案：C略8.（5分）已知，則sina=（） A． B． C． D． 參考答案：B考點： 誘導(dǎo)公式的作用；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．專題： 計算題．分析： 利用誘導(dǎo)公式求出cosα=﹣，再利用誘導(dǎo)公式求出sinα的值．解答： ∵，∴cosα=﹣，故sinα==，故選B．點評： 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.已知sinα?cosα=，且＜α＜，則cosα﹣sinα=（）A．B．C．D．參考答案：D【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．【分析】利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性可知當＜α＜，時，則cosα﹣sinα＜0，于是可對所求關(guān)系式平方后再開方即可．【解答】解：∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，設(shè)cosα﹣sinα=t（t＜0），則t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．故選：D．10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(

)

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓與圓相外切，則半徑r的值為

．參考答案：4圓的圓心為(0,0)，半徑為，圓的圓心為，半徑為1，圓心距為，兩圓外切，，解得，故答案為4.

12.已知等腰三角形的頂角的余弦值等于，則這個三角形底角等于（用反三角函數(shù)值表示）．參考答案：考點：解三角形．專題：計算題；解三角形．分析：設(shè)△ABC中AB=AC，作AD⊥BC于D，設(shè)∠CAD=α，則∠ABC=2α．利用二倍角的余弦公式列式，解出cosα=．進而在Rt△ACD中算出sinC=，由此即可得到此等腰三角形的底角大?。獯穑航猓涸O(shè)等腰三角形為△ABC，AB=AC，如圖所示作AD⊥BC于D，設(shè)∠CAD=α，則∠ABC=2α∵cos∠ABC=，即cos2α=∴2cos2α﹣1=，解之得cosα=（舍負）因此，Rt△ACD中，sin∠C=cosα=，可得角C=即此等腰三角形的底角等于故答案為：點評：本題給出等腰三角形的頂角大小，叫我們用反三角函數(shù)表示底角的大小．著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式和解三角形等知識，屬于中檔題．13.化簡=

．參考答案：【考點】9B：向量加減混合運算及其幾何意義．【分析】利用向量的減法運算即可得出．【解答】解：原式==．故答案為．14.在正三棱錐（頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,過作與分別交于和的截面，則截面的周長的最小值是______參考答案：11略15.給出下列命題：①若，則；②若，，則；③若，則；④；⑤若，，則，；⑥正數(shù)，滿足，則的最小值為．其中正確命題的序號是__________．參考答案：②③④⑤①令，，，，，不符合．②若，，則（當且僅當時，取等號），又，，∴，綜上，．③若，則，，因此，，故③正確．④，，故④正確．⑤若，，∴，則，∴，，⑤正確．⑥正數(shù)，滿足，則，，⑥錯，∴②③④⑤正確．16.設(shè)函數(shù),則滿足=的x的值__________．參考答案：函數(shù)，可得當時，，解得舍去．當時，，解得．故答案為．

17.過點A（4，a）和B（5，b）的直線與y=x+m平行，則|AB|的值為．參考答案：．【分析】由兩點表示的斜率公式求出AB的斜率，再根據(jù)AB的斜率等于1，得到b﹣a=1，再代入兩點間的距離公式運算．【解答】解：由題意，利用斜率公式求得kAB==1，即b﹣a=1，所以，|AB|==，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線，，是三條不同的直線，其中.（1）求證：直線恒過定點，并求出該點的坐標；（2）若以，的交點為圓心，為半徑的圓C與直線相交于A，B兩點，求的最小值.參考答案：（1）證明見解析；定點坐標；（2）【分析】（1）將整理為：，可得方程組，從而求得定點；（2）直線方程聯(lián)立求得圓心坐標，將問題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線距離的最大值的問題，根據(jù)圓的性質(zhì)可知最大值為，從而求得最小值.【詳解】（1）證明：，可化為：令，解得：，直線恒過定點（2）將，聯(lián)立可得交點坐標設(shè)到直線的距離為，則則求的最小值，即求的最大值由（1）知，直線恒過點，則最大時，，即【點睛】本題考查直線過定點問題的求解、直線被圓截得弦長的最值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)確定求解弦長的最小值即為求解圓心到直線距離的最大值，求得最大值從而代入求得弦長最小值.19.（本小題滿分12分）已知點A、B、C的坐標分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα)，α∈(,).（1）若||=||，求角α的值；（2）若·=-1，求的值.參考答案：解：（1）∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),∴||=，||=.由||=||,得sinα=cosα.又∵α∈(,)，∴α=.（2）由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=.①又=2sinαcosα.由①式兩邊平方,得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=.∴=.20.某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機抽取容量為50的學(xué)生成績樣本，得頻率分布表如下：組號分組頻率頻數(shù)第一組80.16第二組①0.24第三組15②第四組100.20第五組50.10合計501.00

（1）寫出表中①、②位置的數(shù)據(jù)；（2）估計成績不低于240分的學(xué)生約占多少；（3）為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取名學(xué)生進行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核的人數(shù).參考答案：（1）12，0.3；（2）0.6；（3）3、2、1【分析】（1）利用頻數(shù)之和為得出①中的數(shù)據(jù)，利用頻率之和得出②中的數(shù)據(jù)；（2）將第三組、第四組、第五組頻率相加得出答案；（3）分別計算出第三、四、五組在樣本中所占的比例，再分別乘以可得出第三、四、五各組參加考核的人數(shù).【詳解】（1）由頻數(shù)之和為，可知①中的數(shù)據(jù)為，由頻率之和為，可知②中的數(shù)據(jù)為；（2）由題意可知，成績不低于分的學(xué)生所占比為前三組頻率之和，因此，成績不低于分的學(xué)生所占比為；（3）由分層抽樣的特點可知，第三組參加考核的人數(shù)為，第四組參加考核的人數(shù)為，第五組參加考核的人數(shù)為，因此，第三、四、五各組參加考核的人數(shù)分別為、、?！军c睛】本題考查頻率分布表中頻數(shù)和頻率的計算，考查分層抽樣，要熟悉頻率、頻率和總?cè)萘恐g的關(guān)系，另外要熟悉分層抽樣的基本特點，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。

21.如圖，在半徑為40cm的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中A，B在直徑上，點C，D在圓周上、（1）設(shè)AD=x，將矩形ABCD的面積y表示成x的函數(shù)，并寫出其定義域；（2）怎樣截取，才能使矩形材料ABCD的面積最大？并求出最大面積．參考答案：【考點】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】（1）OA=2=2，可得y=f（x）=2x，x∈（0，40）．（2）平方利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）AB=2OA=2=2，∴y=f（x）=2x，x∈（0，40）．（2）y2=4x2（1600﹣x2）≤4×=16002，即y≤1600，當且僅當x=20時取等號．∴截取AD=20時，才能使矩形材料ABCD的面積最大，最大面積為1600．【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、矩形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.某中學(xué)組織了一次高二文科學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測試，學(xué)校從測試合格的男、女生中各隨機抽取100人的成績進行統(tǒng)計分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖．（Ⅰ）若所得分數(shù)大于等于80分認定為優(yōu)秀，求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率．參考答案：【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；B8：頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖求出男、女生優(yōu)秀人數(shù)即可；（Ⅱ）求出樣本中的男生和女生的人數(shù)，求出所有的基本事件以及滿足條件的基本事件的個數(shù)，從而求出滿足條件的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×（0.01+0.02）×10=30人，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×（0.015+0.03）×10=45人．（Ⅱ）因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是，所以樣本中包含男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為人，設(shè)兩名男生為A1，A2，三名女生為B1，B2，B3，則從5人中任意選取2人構(gòu)成的所有基本事件為：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B