浙江省教育綠色評價聯盟2024學年高二上數學期末考試試題含解析

浙江省教育綠色評價聯盟2024學年高二上數學期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.2．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°3．已知直線和互相垂直，則實數的值為（）A. B.C.或 D.4．已知是等比數列，，，則（）A. B.C. D.5．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點、滿足，，則（）A. B.C.2 D.6．若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.7．若，，且，則（）A. B.C. D.8．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）9．已知等差數列的前n項和為，，，若（），則n的值為（）A.15 B.14C.13 D.1210．“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知數列的前n項和為，，，則=（）A. B.C. D.12．設是定義在R上的函數，其導函數為，滿足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無法判斷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率14．下列是某廠1~4月份用水量（單位：百噸）的一組數據，由其散點圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關關系，其線性回歸方程是，則_______.月份1234用水量4.5432.515．已知為坐標原點，、分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上不同于、的動點，直線、與軸分別交于點、兩點，則________16．若橢圓的焦點在軸上，過點作圓的切線，切點分別為，，直線恰好經過橢圓的上焦點和右頂點，則橢圓的方程是________________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點D是BC的中點；（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值18．（12分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點E，F分別在棱，上，且，（1）證明：點在平面BEF內；（2）若，，，求直線與平面BEF所成角的正弦值19．（12分）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數）交于兩點.（1）將曲線的參數方程轉化為普通方程；（2）求長.20．（12分）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.（1）求動點的軌跡方程；（2）記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，在軸上是否存在一點，使若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.21．（12分）【2018年新課標I卷文】已知函數（1）設是的極值點．求，并求的單調區(qū)間；（2）證明：當時，22．（10分）2017年5月27日當今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰(zhàn)中中盤棄子認輸，至此柯潔與的三場比賽全部結束，柯潔三戰(zhàn)全負，這次人機大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關注，某學校社團為調查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調查，根據調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.（1）請根據已知條件完成下面列聯表，并據此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關？非圍棋迷圍棋迷合計男女1055合計（2）為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學生組隊參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學生出賽，若從5名學生中隨機抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.參考數據:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】建立合適的空間直角坐標系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對值，利用夾角公式求出即可.【題目詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系.有圖知，由題得、、、.，，.設平面的一個法向量，則，，令，得，，.設直線與平面所成的角為，則.故選：C.【題目點撥】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡化分析過程，直接用計算的方式解決問題，是基礎題.2、C【解題分析】根據正弦定理將化為邊之間的關系，再結合余弦定理可得答案.【題目詳解】若,則根據正弦定理得：，即,而，故，故選：C.3、B【解題分析】由兩直線垂直可得出關于實數的等式，求解即可.【題目詳解】由已知可得，解得.故選：B.4、D【解題分析】由，，可求出公比，從而可求出等比數的通項公式，則可求出，得數列是一個等比數列，然后利用等比數的求和公式可求得答案【題目詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數列是一個等比數列.所以=.故選：D5、D【解題分析】以向量為基底向量，則，根據條件由向量的數量積的運算性質，兩邊平方可得答案.【題目詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D6、A【解題分析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進而判斷所給命題的真假【題目詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：7、A【解題分析】由于對數函數的存在，故需要對進行放縮，結合（需證明），可放縮為，利用等號成立可求出，進而得解.【題目詳解】令，，故在上單調遞減，在上單調遞增，，故，即，當且僅當，等號成立．所以，當且僅當時，等號成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A8、A【解題分析】直接根據空間向量的線性運算，即可得到答案；【題目詳解】，故選：A9、B【解題分析】由已知條件列方程組求出，再由列方程求n的值【題目詳解】設等差數列的公差為，則由，，得，解得，因為，所以，即，解得或（舍去），故選：B10、A【解題分析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據充分必要條件的定義判斷.【題目詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選:A11、D【解題分析】利用公式計算得到，得到答案【題目詳解】由已知得，即，而，所以故選：D12、A【解題分析】首先構造函數，再利用導數判斷函數的單調性，即可判斷選項.【題目詳解】設，，所以函數在單調遞增，即，所以，那么，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、e＝2.【解題分析】先求出直線的方程，利用原點到直線的距離為，，求出的值，進而根據求出離心率【題目詳解】由l過兩點(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應舍去e＝.故所求離心率e＝2.【題目點撥】本題考查雙曲線性質，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構造出關于的等式，屬于中檔題14、25【解題分析】根據表格數據求出，代入，即可求出.【題目詳解】解：由題意知：，，將代入線性回歸方程，即，解得：.故答案為：5.25.15、3【解題分析】求得坐標，設出點坐標，求得直線的方程，由此求得兩點的縱坐標，進而求得.【題目詳解】依題意，設，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：16、【解題分析】設過點的圓的切線為，分類討論求得直線分別與圓的切線，求得直線的方程，從而得到直線與軸、軸的交點坐標，得到橢圓的右焦點和上頂點，進而求得橢圓的方程.【題目詳解】設過點的圓的切線分別為，即，當直線與軸垂直時，不存在，直線方程為，恰好與圓相切于點；當直線與軸不垂直時，原點到直線的距離為，解得，此時直線的方程為，此時直線與圓相切于點，因此，直線的斜率為，直線的方程為，所以直線交軸交于點，交于軸于點，橢圓的右焦點為，上頂點為，所以，可得，所以橢圓的標準方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（II）【解題分析】（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標系A﹣xyz，可得和的坐標，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進而可得答案解：（I）以，，x，y，z軸建立空間直角坐標系A﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設平面C1AD的法向量為=（x，y，z），則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），設直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：考點：異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）設、、、AC與BD的交點為O，由直四棱柱的性質構建空間直角坐標系，確定、的坐標可得，即可證結論.（2）由題設，求出、、的坐標，進而求得面BEF的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面BEF所成角的正弦值【小問1詳解】由題意，，設，，，設AC與BD的交點為O，以O為坐標原點，分別以BD，AC所在直線為x，y軸建立如下空間直角坐標系，則，，，，所以，，得，即，因此點在平面BEF內【小問2詳解】由（1）及題設，，，，，所以，，設為平面BEF的法向量，則，令，即設直線與平面BEF所成角為，則19、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用公式直接將橢圓的參數方程轉化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數方程的幾何意義求弦長即可.【題目詳解】（1）因為曲線（為參數），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數方程為（為參數），將直線的參數方程代入，得.，.所以.20、（1）；（2）存在，.【解題分析】（1）利用拋物線的定義即求；（2）由題可設直線的方程為，利用韋達定理法結合條件可得，即得.【小問1詳解】因為動點到點的距離等于點到直線的距離，所以動點到點的距離和它到直線的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，設拋物線方程為，由，得，所以動點的軌跡方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，故設直線的方程為，.聯立，得，恒成立，由韋達定理，得，，假設存在一點，滿足題意，則直線的斜率與直線的斜率滿足，即，所以，所以解得，所以存在一點，滿足，點的坐標為.21、(1)a=；f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增．(2)證明見解析.【解題分析】分析：(1)先確定函數的定義域，對函數求導，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數的解析式，之后觀察導函數的解析式，結合極值點的位置，從而得到函數的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結合指數函數的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構造新函數g（x）=，利用導數研究函數的單調性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–由題設知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當0<x<2時，f′（x）<0；當x>2時，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增（2）當a≥時，f（x）≥設g（x）=，則當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點故當x>0時，g（x）≥g（1）=0因此，當時，點睛：該題考查的是有關導數的應用問題，涉及到的知識點有導數與極值、導數與最值、導數與函數的單調性的關系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數的生存權，先確定函數的定義域，之后根據導數與極值的關系求得參數值，之后利用極值的特點，確定出函數的單調區(qū)間，第二問在求解的時候構造新函數，應用不等式的傳遞性證得結果.22、(1)沒有95%把握認為“圍棋迷”與性別有關.(2).【解題分析】（1）由頻率分布直方圖求得頻率與頻數，填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；（2）根據分層抽樣原理，用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值【題目詳解】