2024屆安徽省合肥市一中、六中、八中高二上數(shù)學期末檢測試題含解析

2024屆安徽省合肥市一中、六中、八中高二上數(shù)學期末檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.為的極大值點B.為的極大值點C.為的極大值點D.為的極小值點2．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊3．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，則“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知橢圓的右焦點為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.216．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．在某市第一次全民核酸檢測中，某中學派出了8名青年教師參與志愿者活動，分別派往2個核酸檢測點，每個檢測點需4名志愿者，其中志愿者甲與乙要求在同一組，志愿者丙與丁也要求在同一組，則這8名志愿者派遣方法種數(shù)為（）A.20 B.14C.12 D.68．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.9．化學中，將構(gòu)成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體.在結(jié)構(gòu)化學中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個個包含等同內(nèi)容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，O原子位于棱的中點）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點，直線與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.1211．我國古代數(shù)學典籍《四元玉鑒》中有如下一段話：“河有汛，預差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉(zhuǎn)多七人，今有三日連差三百人，問已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續(xù)派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人12．已知分別是等差數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若動直線分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點，則的最小值為______14．已知實數(shù)，滿足不等式組，則目標函數(shù)的最大值為__________.15．設分別是平面的法向量，若，則實數(shù)的值是________16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，右頂點為，為雙曲線上一點，且，線段的垂直平分線恰好經(jīng)過點，則雙曲線的離心率為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，是的一個極值點.（1）求b的值；（2）當時，求函數(shù)的最大值.18．（12分）已知二次函數(shù)，令，解得.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當關于的不等式恒成立時，求實數(shù)的范圍.19．（12分）已知拋物線的焦點為F，直線l交拋物線于不同的A、B兩點.（1）若直線l的方程為，求線段AB的長；（2）若直線l經(jīng)過點P(-1，0)，點A關于x軸的對稱點為A'，求證：A'、F、B三點共線.20．（12分）已知直線和直線（1）若時，求a的值；（2）當平行，求兩直線，的距離21．（12分）已知橢圓與直線相切，點G為橢圓上任意一點，，，且的最大值為3（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線與橢圓C交于不同兩點E，F(xiàn)，點O為坐標原點，且，當?shù)拿娣e取最大值時，求的取值范圍22．（10分）已知函數(shù)（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由導函數(shù)的圖像可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值【題目詳解】由的圖像可知，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以為的極大值點，和為的極小值點，不是函數(shù)的極值點，故選：A2、C【解題分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【題目詳解】設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關的計算問題，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題.3、A【解題分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由導函數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性之間關系，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，若“對任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A4、B【解題分析】先分析充分性：假設特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對和進行分類討論即可判斷.【題目詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不恒成立，當，時，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時成立，所以必要性成立.故選：B.5、A【解題分析】由直接可得.【題目詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A6、C【解題分析】根據(jù)題意，由為原點到直線上點的距離的平方，再根據(jù)點到直線垂線段最短，即可求得范圍.【題目詳解】由，，視為原點到直線上點的距離的平方，根據(jù)點到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.7、B【解題分析】分（甲乙）、（丙丁）再同一組和不在同一組兩種情況討論，按照分類、分步計數(shù)原理計算可得；【題目詳解】解：依題意甲乙丙丁四人再同一組，有種；（甲乙），（丙?。┎辉谕唤M，先從其余4人選2人與甲乙作為一組，另外2人與丙丁作為一組，再安排到兩個核酸檢測點，則有種，綜上可得一共有種安排方法，故選：B8、B【解題分析】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題9、C【解題分析】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，求出的值，即可得到答案；【題目詳解】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.10、C【解題分析】設兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長的表達式，根據(jù)基本不等式求出最小值【題目詳解】拋物線的焦點坐標為，設直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點弦，同理得：，所以，因為，所以，故選：C11、B【解題分析】根據(jù)題意，設每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項，公差數(shù)7的等差數(shù)列，解方程可得所求值【題目詳解】解：設第天派出的人數(shù)為，則是以65為首項、7為公差的等差數(shù)列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數(shù)為人，故選：B12、D【解題分析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.【題目詳解】分別是等差數(shù)列的前項和，故，且，故，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用導數(shù)求出與平行的曲線的切線，再利用兩點間距離公式進行求解即可.【題目詳解】設曲線的切點為，由，所以曲線的切線的斜率為，直線的斜率為，當切線與平行時，即，即切點為，當直線過切點時，有最小值，即，此時，解方程組：，，故答案為：【題目點撥】關鍵點睛：利用曲線的切線性質(zhì)進行求解是解題的關鍵.14、##【解題分析】畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界來求得的最大值.【題目詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當時，取得最大值.故答案為：15、4【解題分析】根據(jù)分別是平面的法向量，且，則有求解.【題目詳解】因為分別是平面的法向量，且所以所以解得故答案為：4【題目點撥】本題主要考查空間向量垂直，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.16、【解題分析】在中求出，再在中求出，即可得到的齊次式，化簡即可求出離心率【題目詳解】設雙曲線：，，不妨設為雙曲線右支上一點因為線段的垂直平分線恰好經(jīng)過點，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化簡得，，即，而，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）先求出導函數(shù)，再根據(jù)x=2是的一個極值點對應x=2是導數(shù)為0的根即可求b的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點值的大小從而確定出最大值.【小問1詳解】由題設，.∵x=2是的一個極值點，∴x=2是的一個根，代入解得：.經(jīng)檢驗，滿足題意.【小問2詳解】由（1）知：，則.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+遞減遞增∵當x∈(1,2)時，即在(1,2)上單調(diào)遞減；當x∈(2,3)時，即在(2,3)上單調(diào)遞增.∴當x∈[1,3]時，函數(shù)的最大值為與中的較大者.∴函數(shù)的最大值為.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關系，即可求，；（2）根據(jù)題意，得出不等式恒成立，則，解不等式即可求出實數(shù)的范圍.詳解】解：（1）由題可知，，解得：，則-3，2是方程的兩個根，且，所以由根與系數(shù)之間的關系得，解得，所以二次函數(shù)的解析式為：；（2）由于不等式恒成立，即恒成立，則，解得：，所以實數(shù)的范圍為.【題目點撥】本題考查由一元二次不等式的解集求函數(shù)解析式，以及不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，考查根與系數(shù)的關系和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡運算能力19、（1）8；（2）證明見解析.【解題分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，應用韋達定理及弦長公式求線段AB的長；（2）設為，聯(lián)立拋物線由韋達定理可得，，應用兩點式判斷是否為0即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，則，，∴，，所以.【小問2詳解】由題設，，又直線l經(jīng)過點P(-1,0)，此時直線斜率必存在且不為0，可設為，聯(lián)立拋物線得：，則，，又，故，而，所以，所以A'、F、B三點共線.20、（1）（2）【解題分析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關系，即可得關于實數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關系，即可得關于實數(shù)a的方程，進而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【小問1詳解】∵，且，∴，解得【小問2詳解】∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為21、（1）（2）【解題分析】（1）設點，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；（2）設，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，由弦長公式，以及點到直線距離公式，求出的面積的最值，得到；得出點的軌跡為橢圓，且點為橢圓的左、右焦點，記，則，得到，根據(jù)對勾函數(shù)求出最值.【小問1詳解】設點，由題意知，所以：，則，當時，取得最大值，即，故橢圓C的標準方程是【小問2詳解】設，，，則由得，，點O到直線l的距離，對用均值不等式，則：當且僅當即，①，S取得最大值．此時，，，即，代入