第十章考點直線與圓錐曲線的位置關系x

考點51直線與圓錐曲線的位置關系第十章

平面解析幾何第1頁，共61頁1．直線與圓錐曲線的位置關系有________、________和________.2．判斷直線與圓錐曲線的位置關系第2頁，共61頁知識要點相交相切相離第3頁，共61頁知識要點第4頁，共61頁知識要點3．計算直線與圓錐曲線的相交弦長聯(lián)立ax2＋bx＋c＝0，當a≠0，Δ≥0時，由韋達定理得x1＋x2＝，x1·x2＝，則弦長＝(其中k為直線的斜率，x1，x2為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根)第5頁，共61頁知識要點4．直線與圓錐曲線相交弦的中點問題：常用中點坐標公式、韋達定理、點差法等．5．關于對稱性問題：可根據(jù)點的對稱性的求法類推．第6頁，共61頁基礎過關1．直線y＝x＋2與拋物線y2＝4x的公共點有()A．1個

B．2個C．0個

D．無法確定C123456第7頁，共61頁基礎過關2．經(jīng)過橢圓的一個焦點，且垂直于y軸的弦長為()A．

B．

C．

D．C123456第8頁，共61頁基礎過關3．直線與雙曲線的交點有()A．0個

B．1個

C．2個

D．3個B【提示】雙曲線的漸近線方程為y＝±x，直線y＝x＋1與漸近線平行，∴與雙曲線有1個交點．123456第9頁，共61頁基礎過關4．若經(jīng)過點(0，1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，則這樣的直線有()A．1條

B．2條

C．3條

D．4條C123456【提示】滿足題意的直線有3條，如：直線x＝0、直線y＝1及經(jīng)過點(0，1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0).第10頁，共61頁基礎過關5．若直線2x－y－2＝0與拋物線y2＝8x相交于A，B兩點，則弦AB的中點坐標的橫坐標為________.2【提示】由得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，∴x中＝＝2.123456第11頁，共61頁基礎過關6．已知直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓(a>b>0)的左焦點F1(－c，0)和上頂點B(0，b)，則橢圓的離心率為________.123456【提示】F1(－2，0)，B(0，1)，即c＝2，b＝1，∴a2＝b2＋c2＝5，∴a＝，∴

.典例剖析例1變1例2例1已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：.試問：(1)當m取何值時，直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點？(2)當m取何值時，直線l與橢圓C有且只有一個公共點？變2第12頁，共61頁【思路點撥】判斷直線與二次曲線的位置關系，即判斷直線方程與二次曲線方程聯(lián)立消元后所得一元二次方程的解的個數(shù)問題，即通過判別式Δ判斷即可．例3變3例4變4典例剖析【解】由直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，∴Δ＝(8m)2－36(2m2－4)＝144－8m2.第13頁，共61頁例1變1例2變2例3變3例4變4典例剖析(1)當Δ>0時，即－3<m<3時，方程組有兩組不同的實數(shù)解，即直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．(2)當Δ＝0，即m＝±3時，方程組有兩組相同的實數(shù)解，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點．第14頁，共61頁例1變1例2變2例3變3例4變4第15頁，共61頁變式訓練1

(1)判斷直線x－y－1＝0與雙曲線x2－2y2＝2的交點個數(shù)；(2)已知直線y＝kx－2與拋物線y2＝6x只有一個公共點，求k的值．典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第16頁，共61頁典例剖析解：(1)由得x2－4x＋4＝0，∴Δ＝0，∴只有一個交點．(2)由消去y得k2x2－(4k＋6)x＋4＝0.∴當k＝0時，直線方程為y＝－2，符合條件；當k≠0時，Δ＝(4k＋6)2－4×4k2＝0，解得k＝.綜上所述，k的值為0或.例1變1例2變2例3變3例4變4第17頁，共61頁例2已知直線x－y＋1＝0與橢圓相交于A，B兩點，求弦AB的長．典例剖析【思路點撥】直線方程與曲線方程聯(lián)立，消去x或y得到一元二次方程，通過韋達定理，利用弦長公式，減小運算量．例1變1例2變2例3變3例4變4第18頁，共61頁【解】由得7x2＋8x－8＝0，由韋達定理得x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝即弦AB的長為.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第19頁，共61頁典例剖析變式訓練2

設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，經(jīng)過點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且|AB|＝8，求直線l的方程．例1變1例2變2例3變3例4變4解：由題意得F(1，0).設直線l的方程為y＝k(x－1)(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴Δ＝16k2＋16>0，∴x1＋x2＝.第20頁，共61頁典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由題意得＝8(k>0)，解得k＝1.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.第21頁，共61頁典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第22頁，共61頁例3

已知某直線與橢圓4x2＋9y2＝36相交于A，B兩點，弦AB的中點為M(1，1)，求直線AB的方程．典例剖析【思路點撥】求中點弦所在直線方程，已知一點再求其斜率即可，根據(jù)題意應該考慮弦的端點坐標和弦的中點坐標之間的關系，于是可以利用韋達定理或點差法求解．例1變1例2變2例3變3例4變4第23頁，共61頁典例剖析【解】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)題意x1≠x2.∵弦AB的中點為M(1，1)，∴＝1，＝1，即x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.由作差得4(x22－x12)＋9(y22－y12)＝0.例1變1例2變2例3變3例4變4第24頁，共61頁典例剖析∴4(x2＋x1)(x2－x1)＋9(y2＋y1)(y2－y1)＝0，∴8(x2－x1)＋18(y2－y1)＝0，∴，即kAB＝，由點斜式得y－1＝(x－1)，即直線AB的方程為4x＋9y－13＝0.例1變1例2變2例3變3例4變4第25頁，共61頁典例剖析變式訓練3

已知經(jīng)過點A(2，1)作直線l交雙曲線

于P，Q兩點，點A平分弦PQ，求直線l的方程．例1變1例2變2例3變3例4變4第26頁，共61頁典例剖析解：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1≠x2，且＝2，＝1，即x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.由作差得2(x22－x12)－(y22－y12)＝0，例1變1例2變2例3變3例4變4第27頁，共61頁典例剖析∴2(x2＋x1)(x2－x1)－(y2＋y1)(y2－y1)＝0，∴8(x2－x1)－2(y2－y1)＝0，∴8(x2－x1)＝2(y2－y1)，∴，即kPQ＝4，由點斜式，得y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.例1變1例2變2例3變3例4變4第28頁，共61頁例4

已知拋物線y2＝2px(p>0)有內(nèi)接直角三角形OAB，直角頂點在原點，一條直角邊所在直線方程是y＝2x，直角三角形的斜邊長為5，求p的值．典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4【思路點撥】先利用直線OA，OB的方程與拋物線方程聯(lián)立，可以求出A，B兩點的坐標，再與斜邊AB的長結合距離公式建立關于p的方程，即可求出參數(shù)p的值．第29頁，共61頁【解】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＝2x1.∵OA⊥OB，∴y2＝－x2.∵典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第30頁，共61頁∴∴A，B(8p，－4p)，∴|AB|＝∴p＝.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第31頁，共61頁典例剖析變式訓練4

已知等邊三角形ABC的三個頂點在拋物線y2＝2x上，其中點A與原點O重合，求△ABC的邊長．例1變1例2變2例3變3例4變4解：kOB＝tan30°＝，kOC＝tan150°＝，且BC⊥x軸，第32頁，共61頁典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4∴直線OB的方程為y＝x，由得x＝6，y＝2.∴B(6，2)，C(6，－2)，∴△ABC的邊長|AB|＝|AC|＝|BC|＝4.第33頁，共61頁回顧反思1．直線與圓錐曲線的題目最常見的步驟是：聯(lián)立方程組?消元(消去x或y)?得到一元二次方程，再根據(jù)題意，結合韋達定理和弦長公式解決交點個數(shù)、弦長、中點等相關問題．2．點差法是解直線與圓錐曲線相交問題的一種常用方法，其適用范圍是有關弦的中點問題，可以根據(jù)已知中點坐標求其他條件，也可以根據(jù)其他條件求中點的軌跡方程．第34頁，共61頁回顧反思3．直線與拋物線有一個公共點時，包括與對稱軸平行的直線與拋物線相切的直線；直線與雙曲線有一個公共點時，包括與漸近線平行的直線及與雙曲線相切的直線．檢測練習12345678一、單項選擇題1．直線y＝kx＋k與橢圓的位置關系是()A．相交

B．相切

C．相離

D．與k有關第35頁，共61頁9101112123AA組B組4第36頁，共61頁2．直線y＝2x＋1與雙曲線的公共點有()A．0個

B．1個

C．2個

D．4個檢測練習B123456789101112123A組B組4第37頁，共61頁3．若經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點作直線l交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，且x1＋x2＝6，則|AB|等于()A．8

B．6

C．4

D．2檢測練習A【提示】|AB|＝|x1＋x2|＋p＝8.123456789101112123A組B組4第38頁，共61頁4．經(jīng)過雙曲線的左焦點，且垂直于x軸的弦長為()A．6

B．2

C．1

D．2檢測練習D【提示】經(jīng)過左焦點且垂直于x軸的直線方程為x＝－2，代入雙曲線方程得y2＝1，∴弦長為2.123456789101112123A組B組4第39頁，共61頁5．拋物線y＝x2上的點到直線2x－y＝4的距離最短的點的坐標是()A．

B．(1，1)

C．

D．(2，4)檢測練習B123456789101112123A組B組4第40頁，共61頁檢測練習A組【提示】設點(x0，x02)到直線2x－y－4＝0的距離d＝＝，當x0＝1時，d最大＝，此時點的坐標為(1，1).123456789101112123B組4第41頁，共61頁6．已知橢圓，則以M(－1，1)為中點的弦所在的直線方程為()A．3x－4y＋7＝0

B．3x＋4y－1＝0C．4x－3y＋7＝0

D．4x＋3y＋1＝0檢測練習123456789101112123A組B組A4第42頁，共61頁檢測練習【提示】設弦的兩個端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴兩式相減得∴，∴直線方程為y－1＝(x＋1)即3x－4y＋7＝0.123456789101112123A組B組4第43頁，共61頁二、填空題7．若斜率為2的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，與橢圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為________．檢測練習123456789101112123A組B組4第44頁，共61頁檢測練習【提示】∵橢圓的右焦點坐標為(1，0)，∴直線AB的方程為y＝2(x－1).由方程組消去y，整理得3x2－5x＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理得x1＋x2＝，x1x2＝0，∴弦長|AB|＝123456789101112123A組B組4第45頁，共61頁8．若直線l：y＝kx＋1與拋物線y2＝4x只有一個公共點，則k的值為_________．檢測練習【提示】當直線l平行于x軸時，即k＝0顯然滿足；當k≠0時，由?ky2－4y＋4＝0.∵Δ＝16－16k＝0，∴k＝1.故k＝0或1.123456789101112123A組B組0或14第46頁，共61頁9．已知經(jīng)過點M(1，1)作斜率為的直線與橢圓C：(a＞b＞0)相交于A，B兩點．若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為_________．檢測練習123456789101112123A組B組4第47頁，共61頁檢測練習【提示】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得作差得，∴，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，123456789101112123A組B組4∴，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2

，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴.第48頁，共61頁檢測練習123456789101112123A組B組4第49頁，共61頁10．若經(jīng)過拋物線y＋2x2＝0的焦點的直線交拋物線于A，B兩點，則xA·xB＝________.檢測練習123456789101112123A組B組4第50頁，共61頁檢測練習【提示】拋物線方程為x2＝y(tǒng)，焦點為，設經(jīng)過焦點的直線方程為，由消去y，整理得，∴xA·xB＝.123456789101112123A組B組4第51頁，共61頁三、解答題11．設拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C相交于A，B兩點．若P(1，1)為線段AB的中點，求拋物線C的標準方程．檢測練習123456789101112123A組B組4第52頁，共61頁檢測練習解：設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2.由兩式作差得y12－y22＝2px1－2px2，∴，∴p＝1，∴拋物線C的標準方程為y2＝2x.123456789101112123A組B組4第53頁，共61頁12．已知經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點作傾斜角為的直線l.(1)求直線l的方程；(2)設直線l與拋物線相交于A，B兩點，O是坐標原點，求△AOB的面積．檢測練習123456789101112123A組B組解：(1)∵F(1，0)，k＝tan＝1，∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.4第54頁，共61頁(2)由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|x1＋x2|＋p＝6＋2＝8.∵O(0，0)到直線x－y－1＝0的距離d＝，∴S△AOB＝.檢測練習123456789101112123A組B組4第55頁，共61頁1．若直線y＝x－3與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，經(jīng)過