2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升微專題幾何篇第16講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的討論含解析

Page1第16講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的討論一、知識與方法 判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，通常是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量得到關(guān)于（或）的一元方程：（或）． （1）當(dāng)時， （2）當(dāng)時，即得到一個一次方程，則與相交，且只有一個交點，此時，若為雙曲線，則平行于雙曲線的漸近線；若為拋物線，則平行于拋物線的對稱軸．需要特別強(qiáng)調(diào)：當(dāng)直線與雙曲線只有一個公共點時，直線與雙曲線也可能相交．同樣，當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點時也可能相交．二、典型例題【例1】已知拋物線方程為，直線過定點，斜率為，為何值時，直線與拋物線只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點?【分析】用代數(shù)方法判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，將直線方程代入圓錐曲線方程得到關(guān)于（或）的一元二次方程后用判別式大于、等于、小于零求出參數(shù)的范圍或值，確定直線與圓錐曲線相交、相切、相離3種情況．在本題中，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行（或重合）時，也恰有一個交點，即討論直線與開放型曲線（拋物線、雙曲線）的關(guān)系時，有一個交點必須考慮知識概要中所歸納的特殊情況，當(dāng)討論直線與封閉曲線（圓、橢圓）有一個交點時，只要消元后的一元二次方程判別式為零即可．【解析】由題意，得直線的方程為，由得．①（1）當(dāng)時，由①式得．方程組有一個解，此時，直線與拋物線只有一個公共點．（2）當(dāng)時，①式的判別式為．①由，即，解得或．∴當(dāng)或時，方程組有一解．此時，直線與拋物線只有一個公共點．②由，即，解得．∴當(dāng)且時，方程組有兩解，此時，直線與拋物線有兩個公共點．③由，即，解得或．∴當(dāng)或時，方程組無解，此時，直線與拋物線沒有公共點．綜上所述，當(dāng)或或時，直線與拋物線只有一個公共點；當(dāng)且時，直線與拋物線有兩個公共點；當(dāng)或時，直線與拋物線沒有公共點．【例2】拋物線的動弦和圓相切，過兩點作拋物線的兩條切線相交于點，求點的軌跡方程（要求求出方程）．【分析】本例研究圓錐曲線的切線問題．把相關(guān)知識歸納如下：（1）圓上一點處的切線方程為．（2）拋物線上一點處的切線方程為．（3）過拋物線外一點引拋物線的兩條切線，切點弦所在直線的方程為．【解析】如圖所示，設(shè)拋物線的弦與圓切于點．過點的圓的切線的方程為．由得，令點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，其中．∵過兩點的拋物線的切線的方程分別為，．.∴兩切線的交點的坐標(biāo)是方程組的解．－②，得，∴，③②，得，∴．④由③④，得，．∵在圓上，∴，即．【例3】設(shè)直線與雙曲線的右支交于不同的兩點．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【分析】第（1）問，解題的關(guān)鍵是如何解讀條件“直線與雙曲線的右支交于不同兩點”，即當(dāng)聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消元后得到關(guān)于的一元二次方程兩個不同的解必須滿足怎樣的條件．對于第（2）問，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件：“以為直徑的圓過右焦點”，轉(zhuǎn)化為，也可用，將它們坐標(biāo)化即可獲解．【解析】（1）如圖所示．將直線的方程代入雙曲線的方程后，整理得．①依題意，直線與雙曲線的右支交于不同兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，，故解得的取值范圍是．（2）由①式得②假設(shè)存在實數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點，則由，即得．即，整理得．③把②式及代入③式化簡得，解得或（舍去）．可知時，以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點．三、易錯警示【例1】過點的直線與拋物線相交于兩點，求以為鄰邊的平行四邊形第四個頂點的軌跡．【錯解】設(shè)平行四邊形的對角線交點為，，，，直線的方程是（是參數(shù)，顯然）．由方程組消去，得，由根與系數(shù)關(guān)系知，．由于是的中點，又是的中點，∴，，即（為參數(shù)），消去得．【評析及正解】過點的直線與拋物線有兩個交點，才有可能求以，為鄰邊的平行四邊形第四個頂點的軌跡方程，這一點非常重要又極易被疏忽．正確的解法如下：【解析】設(shè)平行四邊形的對角線交點為，，，，直線的方程是（是參數(shù)，顯然）．由方程組消去，得，由根與系數(shù)關(guān)系知，．由于是的中點，又是的中點，∴，，即（為參數(shù)），消去得．由于直線和拋物線有兩個不同的交點，∴，又，解得或．由知或．∴點的軌跡方程是（或）．【例2】若圓與拋物線沒有公共點，求的取值范圍．【錯解】由于圓的半徑為2，當(dāng)圓與拋物線外切時，．∴當(dāng)時，圓與拋物線沒有公共點．當(dāng)圓與拋物線內(nèi)切時，由得．①則，解得．然而，把代入方程①，得，解得．∵是負(fù)根，∴圓與拋物線不能內(nèi)切．因此，的取值范圍為．【評析及正解】上述解法中，討論圓與拋物線沒有公共點的問題不一定需要討論圓與拋物線內(nèi)切的情形．因為畢竟存在圓與拋物線不能內(nèi)切時，仍然可以使得圓與拋物線沒有公共點（通過畫圖很容易發(fā)現(xiàn)這種情形），那么如何來解決呢?可運用拋物線上點與圓心距離大于半徑時來解決，原問題就轉(zhuǎn)化為最值問題．正確的解法如下：【解析】當(dāng)圓心位于軸的負(fù)半軸時，由上述解得．當(dāng)圓心位于軸的正半軸時，原問題等價于圓心到拋物線的距離的最小值大于，求的取值范圍．．設(shè)．當(dāng)，即時，最小，．∴，解得，又∵，∴，當(dāng)，即時，最小，，∴，此時．∴當(dāng)圓心位于軸的正半軸時，．于是，圓與拋物線沒有公共點時，的取值范圍為或．四、難題攻略【例】設(shè)橢圓的兩個焦點是，．（1）設(shè)是直線與橢圓的一個公共點，求使得取最小值時橢圓的方程；（2）已知，設(shè)斜率為的直線與條件（1）下的橢圓交于不同的兩點，，點滿足，且，求直線在軸上截距的取值范圍．【分析】在研究直線與曲線相交問題時，需要有判別式大于零或大于等于零這一條件進(jìn)行保證．在本題中，無論是第（1）問還是第（2）問，在解答過程中都必須牢牢?住這一點，一般而言，解決有關(guān)最值問題或求范圍時，首先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞浚ㄈ琰c的坐標(biāo)、角、斜率、截距等），建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用有關(guān)函數(shù)或不等式的知識與方法求解．【解析】（1）由題意，知，即．由得．由，解得或（舍去）．∴，此時．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，此時橢圓方程為．（2）設(shè)直線的方程為．由方程組消去得．∵直線與橢圓交于不同兩點，，，即．①設(shè)，，則，由得為線段的中點，則，．∵，∴，即，化簡得．代入①得，解得．又由，得．∴直線在軸上的截距的取值范圍是．五、強(qiáng)化訓(xùn)練1.（1）若曲線與直線恰有一個公共點，求實數(shù)的值；（2）已知雙曲線與，求過的直線的斜率的取值范圍，使與分別有一個交點、兩個交點、沒有交點．【解析】（1）聯(lián)立方程組當(dāng)時，此時方程組恰有一組解當(dāng)時，消去，得．(i)當(dāng)，即時，方程變?yōu)橛?ii)當(dāng)，即時，由，得，解得．這時直線與曲線相切，只有一個公共點．綜上可知，當(dāng)時，直線與曲線恰有一個公共點．(2)當(dāng)垂直于軸時，此時直線與雙曲線相切，即與雙曲線有一個交點．當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為，代人雙曲線的方程并整理，得(1)當(dāng)，即時，(1)為一次方程，顯然只有一解．(2)當(dāng)時，．令，可解得;令，即，此時;令，即，此時．當(dāng)或或不存在時，與只有一個公共點;當(dāng)或或時，與有兩個交點;當(dāng)時，與沒有交點．2.如圖所示，直線與拋物線交于、兩點，線段的垂直平分線與直線交于點．（1）求點的坐標(biāo)；（2）